高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式單元整合素材 新人教A版選修45

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1、 第三講 柯西不等式與排序不等式 單元整合 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 專(zhuān)題探究 專(zhuān)題一　柯西不等式的應(yīng)用 利用柯西不等式證明其他不等式或求最值，關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范圍． 提示：由a2＋b2＋c2＋d2＋e2聯(lián)想到應(yīng)用柯西不等式． 解：∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2， 即4(16－e2)≥(8－e)2,64－4e2≥64－16e＋e2， 即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0，∴

2、0≤e≤. 即e的取值范圍是. 若n是不小于2的正整數(shù)，試證： ＜1－＋－＋…＋－＜. 提示：注意中間的一列數(shù)的代數(shù)和，其奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，可進(jìn)行恒等變形予以化簡(jiǎn)． 證明：1－＋－＋…＋－ ＝－2 ＝＋＋…＋， 所以求證式等價(jià)于＜＋＋…＋＜. 由柯西不等式，有 [(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]＞n2， 于是，＋＋…＋ ＞＝＝ ≥＝， 又由柯西不等式，有＋＋…＋＜ ≤＝. 綜上，原不等式成立． 專(zhuān)題二　排序不等式的應(yīng)用 應(yīng)用排序不等式可以簡(jiǎn)捷地證明一類(lèi)不等式，其證明的關(guān)鍵是找出兩組有序數(shù)組，通?？梢詮暮瘮?shù)單調(diào)性去尋找． 在△ABC中，試證：≤＜

3、. 提示：可構(gòu)造△ABC的邊和角的序列，應(yīng)用排序不等式來(lái)證明． 證明：不妨設(shè)a≤b≤c，于是A≤B≤C，由排序不等式，得： aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得≥，① 又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b， 有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b) ＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C) ＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C) ＝(a＋b＋c)π－2(aA＋

4、bB＋cC)， 得＜.② 由①②得原不等式成立． 專(zhuān)題三　利用不等式解決最值問(wèn)題 利用不等式解決最值問(wèn)題，尤其是含多個(gè)變量的問(wèn)題，是一種常用方法．特別是條件最值問(wèn)題，通常運(yùn)用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及冪平均不等式等，但要注意取等號(hào)的條件能否滿足． 設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值． 解：根據(jù)柯西不等式，知 (a＋2b＋3c) ≥2＝(＋＋)2， ∴(＋＋)2≤， 則＋＋≤， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)取等號(hào)． 又a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝，c＝時(shí)， ＋＋有最大值. 專(zhuān)題四　利用柯西不等式解決實(shí)際問(wèn)題 數(shù)學(xué)知識(shí)服務(wù)于生活實(shí)踐始終

5、是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問(wèn)題，利用柯西不等式解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是從實(shí)際情景中構(gòu)造出這類(lèi)不等式的模型． 如圖，等腰直角三角形AOB的直角邊長(zhǎng)為1. 在此三角形中任取點(diǎn)P，過(guò)P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點(diǎn)的三個(gè)三角形(圖中陰影部分)，求這三個(gè)三角形的面積和的最小值，以及達(dá)到最小值時(shí)P的位置． 解：分別取OA，OB為x軸、y軸，則AB的方程為x＋y＝1， 記P點(diǎn)坐標(biāo)P(xP，yP)，則以P為公共頂點(diǎn)的三個(gè)三角形的面積和S為S＝x＋y＋(1－xP－yP)2，則 2S＝x＋y＋(1－xP－yP)2. 由柯西不等式，得 [x＋y＋(1－xP－yP)2](12＋12＋12)≥ [xP＋yP＋(1－xP－yP)]2， 即2S3＝6S≥1，所以S≥. 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，等號(hào)成立， 即xP＝y(tǒng)P＝時(shí)，面積S最小，且最小值為. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375