高中數(shù)學(xué) 模塊復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修21

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1、 模塊復(fù)習(xí)課 [核心知識(shí)回顧] 一、常用邏輯用語 1．命題及其關(guān)系 (1)原命題：若p，則q.則 逆命題：若q，則p. 否命題：若﹁p，則﹁q. 逆否命題：若﹁q，則﹁p. (2)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性． 2．充分條件與必要條件 (1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件． (2)若p?q，則p是q的充要條件． (3)若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件． (4)若pq，q?p，則p是q的必要不充分條件． (5)若pq，qp，則p是q的既不充分也不必要條件． 3．簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞 (1)命題p∧q的真假：“全真則真”，“一假

2、則假”． (2)命題p∨q的真假：“一真則真”，“全假則假”． (3)命題﹁p的真假：p與﹁p的真假性相反． 4．全稱命題與特稱命題的否定 (1)全稱命題的否定 p：?x∈M，p(x)． ﹁p：?x0∈M，﹁p(x0)． (2)特稱命題的否定 p：?x0∈M，p(x0)． ﹁p：?x∈M，﹁p(x)． 二、圓錐曲線與方程 1．橢圓 (1)橢圓的定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓． (2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在x軸上：＋＝1(a>b>0)， 焦點(diǎn)在y軸上：＋＝1(a>b>0)． (3)橢圓的幾何性質(zhì) ①范圍

3、：對(duì)于橢圓＋＝1(a>b>0)，－a≤x≤a，－b≤y≤b. ②對(duì)稱性：橢圓＋＝1或＋＝1(a>b>0)， 關(guān)于x軸，y軸及原點(diǎn)對(duì)稱． ③頂點(diǎn)：橢圓＋＝1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． ④離心率：e＝，離心率的范圍是e∈(0,1)． ⑤a，b，c的關(guān)系：a2＝b2＋c2. 2．雙曲線 (1)雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡，叫做雙曲線． (2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在x軸上：－＝1(a>0，b>0)， 焦點(diǎn)在y軸上：－＝1(a>0，b>0)； (3)雙曲線的幾

4、何性質(zhì) ①范圍：對(duì)于雙曲線－＝1(a>0，b>0)，y≥a或y≤－a，x∈R， ②對(duì)稱性：雙曲線－＝1或－＝1(a>0，b>0)關(guān)于x軸，y軸及原點(diǎn)對(duì)稱． ③頂點(diǎn)：雙曲線－＝1(a>0，b>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－a,0)，A2(a,0)，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1′(0，－a)，A2′(0，a)， ④漸近線：雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x. ⑤離心率：e＝，雙曲線離心率的取值范圍是e∈(1，＋∞)， ⑥a，b，c的關(guān)系：c2＝a2＋b2. 3．拋物線 (1)拋物線的定義 平面內(nèi)與一個(gè)

5、定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線． (2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)在x軸上：y2＝2px(p>0)， 焦點(diǎn)在y軸上：x2＝2py(p>0)． (3)拋物線的幾何性質(zhì) ①范圍：對(duì)于拋物線x2＝2py(p>0)， x∈R，y∈[0，＋∞) ②對(duì)稱性：拋物線y2＝2px(p>0)，關(guān)于x軸對(duì)稱， 拋物線x2＝2py(p>0)，關(guān)于y軸對(duì)稱． ③頂點(diǎn)：拋物線y2＝2px和x2＝2py(p>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)． ④離心率：拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義知e＝1. 三、空間向量與立體幾何 1．空間

6、向量及其運(yùn)算 (1)共線向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0) (2)P，A，B三點(diǎn)共線?＝x＋y(x＋y＝1) (3)共面向量定理：p與a，b共面?p＝xa＋yb (4)P，A，B，C四點(diǎn)共面?＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)， (5)空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底． (6)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則 ①ab＝(a1b1，a2b2，a3b3)， ②λa＝(λa1，λa2，λa3)， ③ab＝a

7、1b1＋a2b2＋a3b3， ④a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3， ⑤a⊥b?ab＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0， ⑥|a|＝＝， ⑦cos〈a，b〉＝＝， ⑧若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，||＝. 2．立體幾何中的向量方法 (1)異面直線所成的角 兩條異面直線所成的角為θ，兩條異面直線的方向向量分別為a，b，則cos θ＝|cos〈a，b〉|＝， (2)直線與平面所成的角 直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為a，平面的法向量為n，則sin θ＝|cos〈a，n〉|＝ (

8、3)二面角 二面角為θ，n1，n2為兩平面的法向量，則|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ [易錯(cuò)易混辨析] 1．一個(gè)命題的逆命題和否命題有相同的真假性．(√) [提示]　一個(gè)命題的逆命題和否命題互為逆否命題，因此具有相同的真假性． 2．使a>b成立的充分不必要條件是a>b－1.() [提示]　a>b－1a>b. 3．“p∧q”的否定為“(﹁p)∨(﹁q)”，“p∨q”的否定為“(﹁p)∧(﹁q)”．(√) [提示]　“且”的否定為“或”，“或”的否定為“且”． 4．命題p：?x∈(0，＋∞)，則x2＋2x＋1>0，則﹁p為：?x0∈(－∞，0]，使x＋2x0＋1

9、≤0.() [提示]　﹁p應(yīng)為?x0∈(0，＋∞)，使x＋2x0＋1≤0. 5．命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是“若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)”．() [提示]　命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是“若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)”． 6．命題“菱形的兩條對(duì)角線相等”是全稱命題且是真命題．() [提示]　此命題是全稱命題，但是是假命題． 7．“x>6”是“x>1”的充分但不必要條件．(√) [提示]　x>6?x>1，但x>1x>6. 8．若命題p∧q為假，且﹁p為假，則q假．(√) [提示]　由p為真，

10、p∧q為假知，q為假． 9．橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為a＋c，最小距離為a－C．(√) [提示]　橢圓長軸的端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離有最大值或最小值． 10．已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓．() [提示]　|F1F2|＝8，故點(diǎn)的軌跡是線段F1F2. 11．橢圓2x2＋3y2＝12的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)．() [提示]　橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1，c2＝a2－b2＝2，故橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)． 12．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(m>0)，焦距為6，則實(shí)數(shù)m的值為4. () [提示]　當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由25－m2＝9得m＝4，

11、當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m2－25＝9得m＝. 13．已知F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支．() [提示]　點(diǎn)P的軌跡是一條射線． 14．“0≤k<3”是方程＋＝1表示雙曲線的充要條件．() [提示]　當(dāng)0≤k<3時(shí)，方程＋＝1表示雙曲線，若方程＋＝1表示雙曲線，則有(k＋1)(k－5)<0，即－1

12、7．到定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．() [提示]　當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)點(diǎn)的軌跡是一條直線． 18．拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.() [提示]　拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 19．拋物線y2＝2px(p>0)中過焦點(diǎn)的最短弦長為2p.(√) [提示]　拋物線中通徑是最短的弦長． 20．拋物線y＝ax2(a≠0)的準(zhǔn)線方程為y＝2，則實(shí)數(shù)a的值是.() [提示]　拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，則－＝2，解得a＝－. 21．若空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C滿足＝＋－，則點(diǎn)P與A，B，C共面．(√) [提示]　＋－1＝1，故四點(diǎn)共面． 22．a(chǎn)，b為空間向

13、量，則cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．(√) [提示]　〈a，b〉＝〈b，a〉，則cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉． 23．兩個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面的法向量也垂直．(√) [提示]　由平面法向量的定義可知． 24．直線與平面垂直，則直線的方向向量與平面的法向量垂直．() [提示]　直線的方向向量與平面的法向量平行． 25．若向量e1，e2，e3是三個(gè)不共面的向量，且滿足k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0.(√) [提示]　假設(shè)k1≠0，則e1＝－e2－e3，則e1，e2，e3共面． 26．若直線的方向向量與平面的法向量所成的角為150，則直線與平面

14、所成的角為30.() [提示]　直線與平面所成的角為60. 27．若直線與平面所成的角為0，則直線在平面內(nèi)．() [提示]　直線與平面也可能平行． 28．兩個(gè)平面的法向量所成的角為120，則兩個(gè)平面所成的二面角也是120.() [提示]　二面角的度數(shù)是120或60. 29．兩條異面直線所成的角為30，則兩條直線的方向向量所成的角可能是150.(√) [提示]　根據(jù)向量所成角的定義知正確． 30．若二面角是30，則在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)與二面角的棱垂直的直線的方向向量所成的角也是30.() [提示]　在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量所成的角是30或150. [高

15、考真題感悟] 1．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為(　　) A．－＝1　　　　 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 B　[由y＝x可得＝.① 由橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(3,0)，(－3,0)， 可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程為－＝1. 故選B．] 2．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342195】 A． B． C． D． A

16、　[由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a. 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝， ∴e＝＝＝＝＝. 故選A．] 3．若雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為(　　) A．2 B． C． D． A　[設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝x， 圓的圓心為(2,0)，半徑為2， 由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為＝. 根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得＝，解得b2＝3a2. 所以C的離心率e＝＝＝＝2. 故選A．] 4．已知直三棱柱ABCA1

17、B1C1中，∠ABC＝120，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　) A． B． C． D． C　[方法1：將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖①所示，連接AD1，B1D1，BD． 圖① 由題意知∠ABC＝120，AB＝2，BC＝CC1＝1， 所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60. 在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－221cos 60＝3，所以BD＝，所以B1D1＝. 又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角θ， 所以cos θ＝＝＝. 故選C． 方法2：

18、以B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，B1C1所在的直線為x軸，垂直于B1C1的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖②所示． ② 由已知條件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，，1)，則＝(1,0，－1)，＝(1，－，－1)． 所以cos〈，〉＝＝＝. 所以異面直線AB1與BC1所成的角的余弦值為. 故選C．] 5．已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 A　[因?yàn)镕為y

19、2＝4x的焦點(diǎn)，所以F(1,0)． 由題意直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為－，故直線l1，l2的方程分別為y＝k(x－1)，y＝－(x－1)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1， 所以|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝＝. 同理可得|DE|＝4(1＋k2)． 所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2) ＝4 ＝8＋4≥8＋42＝16， 當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝1時(shí)，取得等號(hào)． 故選A．] 6．如圖1，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面A

20、BCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90，E是PD的中點(diǎn)． 圖1 (1)證明：直線CE∥平面PAB； (2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45，求二面角MABD的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342196】 [解]　(1)證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF. 因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD，EF＝AD． 由∠BAD＝∠ABC＝90得BC∥AD， 又BC＝AD，所以EFBC， 四邊形BCEF是平行四邊形，CE∥BF. 又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB． (2)由已知得BA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|

21、|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)． 設(shè)M(x，y，z)(0

22、 ② 由①②解得(舍去)，或 所以M，從而＝. 設(shè)m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則 即 所以可取m＝(0，－，2)． 于是cos〈m，n〉＝＝. 因此二面角MABD的余弦值為. 7．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上． (1)求C的方程． (2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過定點(diǎn)． [解]　(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn)． 又由＋＞＋知，橢圓C不經(jīng)過點(diǎn)P1， 所以

23、點(diǎn)P2在橢圓C上． 因此解得故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2. 如果l與x軸垂直，設(shè)l：x＝t，由題設(shè)知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐標(biāo)分別為，，則k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合題設(shè)． 從而可設(shè)l：y＝kx＋m(m≠1)． 將y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由題設(shè)可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝. 而k1＋k2＝＋ ＝＋ ＝. 由題設(shè)k1＋k2＝－1， 故(2k＋1)x1x2＋(m－1

24、)(x1＋x2)＝0. 即(2k＋1)＋(m－1)＝0，解得k＝－. 當(dāng)且僅當(dāng)m＞－1時(shí)，Δ＞0， 于是l：y＝－x＋m， 即y＋1＝－(x－2)， 所以l過定點(diǎn)(2，－1)． 8．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足＝. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x＝－3上，且＝1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342197】 [解]　(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)， 則N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)． 由＝得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因?yàn)镸(x0，y0)在C

25、上，所以＋＝1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)由題意知F(－1,0)．設(shè)Q(－3，t)，P(m，n)，則＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)， ＝3＋3m－tn， ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1， 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. 所以＝0，即⊥. 又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375