【備考】高考數學 （真題模擬新題分類匯編） 計數原理 理

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1、 計數原理 J1　基本計數原理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5．J1[2013福建卷] 滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數解的有序數對(a，b)的個數為(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 5．B　[解析] 當a＝0時，2x＋b＝0x＝－，有序數對(0，b)有4個；當a≠0時，Δ＝4－4ab≥0ab≤1，有序數對(－1，b)有4個，(1，b)有3個，(2，b)有2個，綜上共有4＋4＋3＋2＝13個，故選B. 12．J1[2013北京卷] 將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1

2、張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數是________． 12．96　[解析] 5張參觀券分為4堆，有2個連號有4種分法，然后每一種全排列有A種方法，所以不同的分法種數是4A＝96. 14．J1、J2[2013全國卷] 6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有________種．(用數字作答) 14．480　[解析] 先排另外四人，方法數是A，再在隔出的五個位置安插甲乙，方法數是A，根據乘法原理得不同排法共有AA＝2420＝480種． 22．A1、A2，J1[2013重慶卷] 對正整數n，記In＝{1，2，…，n}，Pn＝. (1)求集合P7中元素的個數；

3、 (2)若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數的平方，則稱A為“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并． 22．解：(1)當k＝4時，m∈I7中有3個數與I7中的3個數重復，因此P7中元素的個數為77－3＝46. (2)先證：當n≥15時，Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并．若不然，設A，B為不相交的稀疏集，使A∪B＝PnIn.不妨設1∈A，則因1＋3＝22，故3A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，這與A為稀疏集矛盾． 再證P14符合要求，當k＝1時，m∈I14＝I14可分成兩個稀疏集之并，事實上，只要取A1＝{1，2，4，6

4、，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，則A1，B1為稀疏集，且A1∪B1＝I14. 當k＝4時，集m∈I14中除整數外剩下的數組成集，可分解為下面兩稀疏集的并：A2＝，B2＝. 當k＝9時，集m∈I14中除正整數外剩下的數組成集，可分解為下面兩稀疏集的并：A3＝， B3＝. 最后，集C＝m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9中的數的分母均為無理數，它與P14中的任何其他數之和都不是整數，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，則A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14. 綜上，所求n的最大值為14. 注：對P14的分拆方法不是唯一的．

5、 J2　排列、組合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8．J2[2013遼寧卷] 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n＝10，則輸出S＝(　　) 圖1－2 A. B. C. D. 8．A　[解析] 由程序框圖可以得到S＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋ ＝＝，故選A. 14．J1、J2[2013全國卷] 6個人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有________種．(用數字作答) 14．480　[解析] 先排另外四人，方法數是A，再在隔出的五個位置安插甲乙，方法數是A，根據乘法原理得不同排法共有AA＝2420＝480種． 10．J2[2013山東卷] 用0

6、，1，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為(　　) A．243 B．252 C．261 D．279 10．B　[解析] (排除法)十個數排成不重復數字的三位數求解方法是：第一步，排百位數字，有9種方法(0不能作首位)，第二步，排十位數字，有9種方法，第三步，排個位數字，有8種方法，根據乘法原理，共有998 ＝ 648(個)沒有重復數字的三位數．可以組成所有三位數的個數：91010＝900，所以可以組成有重復數字的三位數的個數是：900－648＝252. 8．J2[2013四川卷] 從1，3，5，7，9這五個數中，每次取出兩個不同的數分別為a，b，共可得到lga－l

7、gb的不同值的個數是(　　) A．9 　B．10 　C．18 　D．20 8．C　[解析] 從1，3，5，7，9中，每次取出兩個不同的數作為a，b可以得到不同的差式lg a－lg b共計A＝20個，但其中l(wèi)g 9－lg 3＝lg 3－lg 1，lg 3－lg 9＝lg 1－lg 3，故不同的值只有18個． 14．K2，J2[2013新課標全國卷Ⅱ] 從n個正整數1，2，3，…，n中任意取出兩個不同的數，若取出的兩數之和等于5的概率為，則n＝________． 14．8　[解析] 和為5的只有兩種情況，1＋4，2＋3，故＝C＝28n＝8. 14．J2[2013浙江卷] 將A，

8、B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有________種(用數字作答)． 14．480　[解析] 先在6個位置找3個位置，有C種情況，A，B均在C的同側，有CAB，CBA，ABC，BAC，而剩下D，E，F(xiàn)有A種情況，故共有4CA＝480種． 13．J2[2013重慶卷] 從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數是________．(用數字作答) 13．590　[解析] 從12名醫(yī)生中選出5名的選法有C＝792種，其中只不選骨科醫(yī)生的選法有C－1＝125種；只不選腦外科醫(yī)生

9、的選法有C－1＝55種；只不選內科醫(yī)生的選法有C＝21種；同時不選骨科和腦外科醫(yī)生的選法有1種，故骨科、腦外科和內科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數有792－(125＋55＋21＋1)＝590. J3　二項式定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9．J3[2013新課標全國卷Ⅰ] 設m為正整數，(x＋y)2m展開式的二項式系數的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數的最大值為b.若13a＝7b，則 m＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 9．B　[解析] (x＋2y)2m展開式的二項式系數的最大值是C，即a＝C；(x＋2y)2m＋1展開式的二項

10、式系數的最大值是C，即b＝C，∵13a＝7b，∴13C＝7C，∴13＝7，易得m＝6. 11．J3[2013安徽卷] 若x＋8的展開式中x4的系數為7，則實數a＝________. 11.　[解析] 二項式展開式的通項為Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，解得a＝. 15．B13，J3，M1[2013福建卷] 當x∈R，|x|<1時，有如下表達式： 1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝. 兩邊同時積分得：∫01dx＋∫0xdx＋∫0x2dx＋…＋∫0xndx＋…＝∫0dx， 從而得到如下等式： 1＋＋＋…＋＋…＝ln 2. 請根據以上材料所蘊含的數學思想方

11、法，計算： C＋C2＋C3＋…＋C＝__________． 15.　[解析] (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn， 兩邊同時積分得C∫01dx＋C∫0xdx＋C∫0x2dx＋…＋C∫0xndx＝∫0(1＋x)ndx， 得C＋C2＋C3＋…＋Cn＋1＝n＋1－1. 5．J3[2013江西卷] 展開式中的常數項為(　　) A．80 B．－80 C．40 D．－40 5．C　[解析] Tr＋1＝C(x2)5－r＝C(－2)rx10－5r，當r＝2時，得常數項為40，故選C. 7．J3[2013遼寧卷] 使(n∈N＋)的展開式中含有常數項的最小的n為(　　) A．4

12、B．5 C．6 D．7 7．B　[解析] 由通項Tk＋1＝C(3x)n－k＝C3n－kxn－，所以在展開式中含有常數項時，n－＝0，當k取最小值2時，n取最小值5.故選B. 7．J3[2013全國卷] (1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 7．D　[解析] (1＋x)8展開式中x2的系數是C，(1＋y)4的展開式中y2的系數是C，根據多項式乘法法則可得(1＋x)8(1＋y)4展開式中x2y2的系數為CC＝286＝168. 8．B1，J3[2013陜西卷] 設函數f(x)＝則當x>0時，f[f(x)]表達式的展

13、開式中常數項為(　　) A．－20 B．20 C．－15 D．15 8．A　[解析] 由已知表達式可得：f[f(x)]＝－6，展開式的通項為Tr＋1＝C6－r(－)r＝C(－1)rxr－3，令r－3＝0，可得r＝3，所以常數項為T4＝－C＝－20. 11．J3[2013四川卷] 二項式(x＋y)5的展開式中，含x2y3的項的系數是________．(用數字作答) 11．10　[解析] 根據二項展開式的性質可得x2y3的系數為C＝10. 10．J3[2013天津卷] x－6的二項展開式中的常數項為________． 10．15　[解析] 由二項式的展開式得Tk＋1＝Cx6－k＝

14、(－1)kCx6－k，令6－k＝0，解之得k＝4，T5＝(－1)4C＝15. 5．J3[2013新課標全國卷Ⅱ] 已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數為5，則a＝(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 5．D　[解析] 已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展開式中，x2的系數為C＋aC ＝5，則a＝－1，故選D. 11．J3[2013浙江卷] 設二項式－5的展開式中常數項為A，則A＝________． 11．－10　[解析] Tr＋1＝Cx(－1)rx－＝(－1)rCx，則＝0，r＝3，故常數項A＝T4＝(－1)3C＝－10. J4　單元綜合　　　　　

15、　　　　　　　　　　　　　　 23．J4[2013江蘇卷] 設數列{an}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)k－1k，k個…，即當

16、1＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，從而S1＝a1，S4＝0a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的個數為5. (2)先證：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)． 事實上，①當i＝1時，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立； ②假設i＝m時成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)， 則i＝m＋1時，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2

17、＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)． 綜合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)． 由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍數，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1，2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋1)的倍數，又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍數．而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1，2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)

18、(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋2)的倍數，故當l＝i(2i＋1)時，集合Pl中元素的個數為1＋3＋…＋(2i－1)＝i2， 于是，當l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)時，集合Pl中元素的個數為i2＋j. 又2 000＝31(231＋1)＋47. 故集合P2 000中元素的個數為312＋47＝1 008. 1．[2013安徽示范名校聯(lián)考] 如圖K37－1所示，△ABC是一個邊長為3的正三角形，若在每一邊的兩個三等分點中，各隨機選取一點連成三角形．下列命題正確

19、的是________．(寫出所有正確命題的編號) ①依此方法可能連成的三角形一共有8個；②這些可能連成的三角形中，恰有2個是銳角三角形；③這些可能連成的三角形中，恰有3個是直角三角形；④這些可能連成的三角形中，恰有3個是鈍角三角形；⑤這些可能連成的三角形中，恰有2個是正三角形． 1．①②⑤　[解析] 如圖所示編號，邊長為3，則選取三角形的邊長為1，或2三種之一； ①每邊各選1點，三角形共CCC＝8個； ②銳角三角形只有△DHF和△IGE兩個； ③直角三角形有6個(滿足1∶∶2)； ④沒有鈍角三角形； ⑤兩個正三角形△DHF和△IGE(邊長為)． 故選①②⑤. 2．[2013湖

20、南師大附中月考] 的展開式中，系數最大的項為第________項． 2．3或5　[解析] 的展開式中系數與二項式系數只有符號差異，又中間項的二項式系數最大，中間項為第4項其系數為負，則第3，5項系數最大． 3．[2013鄭州質檢] 我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架“殲－15”飛機準備著艦，如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁兩機不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法數是(　　) A．12 B．18 C．24 D．48 3．C　[解析] 分三步：把甲、乙捆綁為一個元素A，有A種方法；A與戊機形成三個“空”，把丙、丁兩機插入空中有A種方法；考慮A與戊機的排法有A種

21、方法．可知共有AAA＝24種不同的著艦方法． 4．[2013皖南八校聯(lián)考] “2012”含有數字0，1，2，且有兩個數字2，則含有數字0，1，2，且有兩個相同數字2或1的四位數的個數為(　　) A．18 B．24 C．27 D．36 4．A　[解析] 由題意可分情況討論：含有兩個1或兩個2的四位數，先排0有3個位置可以選，然后排另外一個不重復的數字有3個位置可以選，剩下的排重復的數字，所以滿足要求的數共有2CCC＝18個． 5．[2013肇慶期末統(tǒng)考] 的展開式中含x的正整數指數冪的項數是(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 5．B　[解析] 二項展開式的通項為Tr

22、＋1＝Cr10()10－r＝Cr10(－1)rx，若展開式中含x的正整數指數冪，即(5－r)∈N*，且0≤r≤10，r∈N，所以r＝2或0.所以一共有兩項，故選B. 6．[2013三門峽一練] 在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實驗6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法種數為________(用數字作答)． 6．96　[解析] 第一步，A程序有C種不同安排方法，第二步，將B和C看成一個程序與其他3個程序有A種不同安排方法，第三步，安排B和C的順序，有A種不同的方法，根據分步計數原理，則不同的安排方法共有CAA＝96種． - 7 -