高二數(shù)學(xué)：選修2-2 綜合檢測(cè) （人教A版選修2-2）【含解析】

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1、 選修2－2綜合檢測(cè) 時(shí)間120分鐘，滿分150分。 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(2010全國Ⅱ理，1)復(fù)數(shù)2＝(　　) A．－3－4i　　 B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i [答案]　A [解析]　2＝＝－3－4i. 2．用反證法證明“如果a>b，那么>”假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是(　　) A.＝ B.< C.＝且< D.＝或< [答案]　D [解析]　“若a>b，則>”的否定是“若a>b，則≤”，所以假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是＝或<.故應(yīng)選D. 3．函數(shù)y＝2－

2、x2－x3的極值情況是(　　) A．有極大值，沒有極小值 B．有極小值，沒有極大值 C．既無極大值也無極小值 D．既有極大值也有極小值 [答案]　D [解析]　y′＝－3x2－2x＝－x(3x＋2)， 當(dāng)x>0或x<－時(shí)，y′<0， 當(dāng)－0， ∴當(dāng)x＝－時(shí)取極小值，當(dāng)x＝0時(shí)取極大值． 4．曲線y＝cosx 與坐標(biāo)軸所圍圖形面積是(　　) A．4　　　　 B．2　　　　 C.　　　　 D．3 [答案]　D [解析]　由y＝cosx圖象的對(duì)稱性可知， y＝cosx與坐標(biāo)軸所圍圖形面積是 3∫0cosxdx＝3sinx＝3. 5．若點(diǎn)P在曲線y

3、＝x3－3x2＋(3－)x＋上移動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)P的切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是(　　) A．[0，) B．[0，)∪[，π) 1 / 7 C．[，π) D．[0，)∪(，] [答案]　B [解析]　∵y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－，∴tanα≥－ α∈(0，π)， ∴α∈[0，)∪[，π)，故選B. 6．將8分為兩數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為(　　) A．2和6 B．4和4 C．3和5 D．以上都不對(duì) [答案]　B [解析]　設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x， 則y＝x3＋(8－x)3(0≤x≤8)， y′＝3x

4、2－3(8－x)2， 令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4 當(dāng)0≤x<4時(shí)，y′<0；當(dāng)40，所以當(dāng)x＝4時(shí)，y最小，故應(yīng)選B. 7．設(shè)x＝3＋4i，則復(fù)數(shù)z＝x－|x|－(1－i)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]　B [解析]　∵x＝3＋4i，∴|x|＝＝5 ∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i. ∴復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限，故應(yīng)選B. 8．k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則k＋1棱柱的對(duì)角面?zhèn)€數(shù)f(k＋1)為(　　) A．f(

5、k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1 C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2 [答案]　A [解析]　增加的一條側(cè)棱與其不相鄰的k－2條側(cè)棱形成k－2個(gè)對(duì)角面，而過與其相鄰的兩條側(cè)棱的截面原來為側(cè)面，現(xiàn)在也成了一個(gè)對(duì)角面，故共增加了k－1個(gè)對(duì)角面，∴f(k＋1)＝f(k)＋k－1.故選A. 9．(2010江西理，5)等比數(shù)列{an}中a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，則f′(0)＝(　　) A．26 B．29 C．212 D．215 [答案]　C [解析]　令g(x)＝(x－a1)(x－a2)……(x－a8)

6、， 則f(x)＝xg(x) f′(x)＝g(x)＋g′(x)x，故f′(0)＝g(0)＝a1a2……a8 ＝(a1a8)4＝212. 10．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…

7、3i [答案]　D [解析]　∵z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i， ∴＝4－3i， ∵f(z)＝，∴f(4－3i)＝＝4＋3i. 12．已知f(x)＝x3＋x，若a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　　) A．一定大于0 B．一定等于0 C．一定小于0 D．正負(fù)都有可能 [答案]　A [解析]　解法1：f(a)＋f(b)＋f(c)＝a3＋b3＋c3＋(a＋b＋c)＝(a3＋b3)＋(b3＋c3)＋(a3＋c3)＋(a＋b＋c)，因?yàn)閍3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)>0，同理b3＋

8、c3>0，a3＋c3>0，又因?yàn)閍＋b>0，b＋c>0，a＋c>0，故2(a＋b＋c)>0，即a＋b＋c>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0，故選A. 解法2：∵f′(x)＝3x2＋1>0， ∴f(x)在R上是增函數(shù)． 又a＋b>0，∴a>－b，∴f(a)>f(－b)． 又f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)， ∴f(a)>－f(b)，即f(a)＋f(b)>0. 同理：f(b)＋f(c)>0，f(c)＋f(a)>0， ∴f(a)＋f(b)＋f(c)>0，故選A. 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上) 13．在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則

9、＝(＋)，將命題類比到四面體中得到一個(gè)類比命題為________________． [答案]　在四面體A－BCD中，G為△BCD的重心，則＝(＋＋) 14．若x

10、α＋1； ③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推測(cè)，m－n＋p＝________. [答案]　962 [解析]　由題易知：m＝29＝512，p＝510＝50 m－1280＋1120＋n＋p－1＝1， ∴m＋n＋p＝162. ∴n＝－400，∴m－n＋p＝962. 三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

11、驟) 17．(本題滿分12分)設(shè)復(fù)數(shù)z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求實(shí)數(shù)a、b的值． [解析]　z＝＝＝ ＝＝1－i. 將z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得 (1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i， (a＋b)－(a＋2)i＝1＋i， ∴，∴ 18．(本題滿分12分)已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有極大值32，求a的值． [解析]　f(x)＝ax(x－2)2＝a(x3－4x2＋4x)． ∴f′(x)＝a(3x2－8x＋4)＝a(3x－2)(x－2)． 由f′(x)＝0，得x＝或x＝2， 當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x＝時(shí)，取極大值； 由f＝

12、32，得a＝27， 當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在x＝2時(shí)，取極大值， 由f(2)＝32，得a不存在，∴a＝27. 19．(本題滿分12分)證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是嚴(yán)格的增函數(shù)，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個(gè)實(shí)根． [分析]　函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是嚴(yán)格的增函數(shù)，就是表明對(duì)區(qū)間[a，b]上任意x1，x2，若x1

13、則有f(α)＝f(β)＝0. 因?yàn)棣痢佴?，不妨設(shè)α>β， 又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是嚴(yán)格的增函數(shù)，所以f(α)>f(β)． 這與假設(shè)f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個(gè)實(shí)根． [點(diǎn)評(píng)]　原命題和逆否命題是一組等價(jià)命題，反證法的實(shí)質(zhì)是通過逆否命題來證明原命題的正確性． 20．(本題滿分12分)(2010安徽文，20)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0

14、)＝－， 解之得x＝π或x＝π. x，f′(x)以及f(x)變化情況如下表： x (0，π) π (π，π) π (π，2π) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 遞增 π＋2 遞減 遞增 ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，π)和(π，2π)單調(diào)減區(qū)間為(π，π)． f極大(x)＝f(π)＝π＋2，f極小(x)＝f(π)＝. 21．(本題滿分12分)已知數(shù)列，，…，，…，Sn為該數(shù)列的前n項(xiàng)和，計(jì)算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝. 觀察上述結(jié)果，推測(cè)出Sn(n∈N*)，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明． [解析]　推測(cè)Sn＝(n∈N*)．用數(shù)學(xué)歸納

15、法證明如下： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝＝，等式成立； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立， 即Sk＝，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， Sk＋1＝Sk＋ ＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 也就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 根據(jù)(1)和(2)，可知對(duì)一切n∈N*，等式均成立． 22．設(shè)函數(shù)f(x)＝－a＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R*. (1)若f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍； (2)求f(x)在(0,1]上的最大值． [分析]　(1)由f(x)在(0,1]上為增函數(shù)，知f′(x)≥0在(0,1]上恒成立，即a≤在(0,1]上恒成立，故a只需小于或等于在(0,1]上的

16、最小值. (2)求f(x)在(0,1]上的最大值時(shí)由(1)的結(jié)論可對(duì)a分類討論，分0兩種情況，當(dāng)0時(shí)，可由導(dǎo)數(shù)求f(x)在(0,1]上的極大值點(diǎn)． [解析]　(1)f′(x)＝－a＋1. 因?yàn)閒(x)在(0,1]上是增函數(shù)， 所以f′(x)＝－＋1≥0在(0,1]上恒成立， 即a≤＝在(0,1]上恒成立， 而在(0,1]上的最小值為， 又因?yàn)閍∈R*，所以0

17、時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝∈(0,1]， 因?yàn)楫?dāng)00， 當(dāng)時(shí)，f(x)max＝a－. [點(diǎn)評(píng)]　①已知f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)可推得x∈[a，b]時(shí)，f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令f′(x)>0(或f′(x)<0)．②求f(x)的最大值時(shí)，要比較端點(diǎn)處函數(shù)值與極值的大?。?dāng)f′(x)的符號(hào)不確定時(shí)，可對(duì)待定系數(shù)進(jìn)行分類討論． 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！