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【三維設(shè)計】高中數(shù)學(xué) 第二章 3 3.2 雙曲線的簡單性質(zhì)應(yīng)用創(chuàng)新演練 北師大版選修1-1
1．(2011湖南高考)設(shè)雙曲線－＝1(a＞0)的漸近線方程為3x2y＝0，則a的值為
( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：雙曲線－＝1的漸近線方程為3xay＝0，與已知方程比較系數(shù)得a＝2.
答案：C
2．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m等于( )
A．－ B．－4
C．4 D.
解析：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2－＝1，
∴a2＝1，b2＝－.
由題意b2＝4a2，∴
2、－＝4，∴m＝－.
答案：A
3．(2012福建高考)已知雙曲線－＝1的右焦點為(3,0)，則該雙曲線的離心率等于
( )
A. B.
C. D.
解析：由題意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故該雙曲線的離心率e＝＝.
答案：C
4．中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸且經(jīng)過點P(1,3)，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由離心率為，∴e2＝＝＝2，∴a＝b.
設(shè)其方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，
∴12－32＝λ，即λ＝－8，
故雙曲線方程為
3、－＝1.
答案：D
5．已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點與橢圓＋＝1的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標(biāo)為________；漸近線方程為________．
解析：橢圓焦點為(4,0)，(－4,0)，∴c＝4.
又e＝＝2，∴a＝2.
∴b2＝c2－a2＝12，∴b＝2.
∴雙曲線的漸近線方程為y＝x.
答案：(－4,0)和(4,0)，y＝x
6．雙曲線＋＝1的離心率為e，e∈(1,2)，則k的取值范圍是________．
解析：由題意k<0，且a＝2，c＝，
∴1<<2，解得－12
4、－)，離心率為；
(2)與橢圓＋＝1有公共焦點，且離心率e＝.
解：(1)若雙曲線的焦點在x軸上，
設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴＝2即a2＝b2. ①
又過點P(3，－)有：－＝1， ②
由①②得：a2＝b2＝4，
雙曲線方程為－＝1，
若雙曲線的焦點在y軸上，
設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．
同理有：a2＝b2， ①
－＝1， ②
由①②得a2＝b2＝－4(不合題意，舍去)．
綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1
(2)由橢圓方程＋＝1，
知長半軸a1＝3，短半軸b1＝2，
半焦距
5、c1＝＝，
所以焦點是F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．
因此雙曲線的焦點也為(－，0)和(，0)，
設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．
由題設(shè)條件及雙曲線的性質(zhì)，有
解得
即雙曲線方程為－y2＝1.
8．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點P(4，－)．
(1)求雙曲線方程；
(2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：＝0；
(3)在(2)的條件下，求△F1MF2的面積．
解：(1)∵e＝，
∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴雙曲線方程為x2－y2＝6.
(2)證明：法一：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，
∴k MF＝，k MF＝，
kMFkMF＝＝－.
∵點(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故k MFk MF＝－1，∴MF1⊥MF2，∴＝0.
法二：∵＝(－3－2，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M點在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△FMF＝6.
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