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1、1第五節(jié)第五節(jié) 利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分r),(rP),(zrzr,三個(gè)數(shù)稱為點(diǎn)M的柱坐標(biāo)柱坐標(biāo).其變化范圍為其變化范圍為: r020z三組坐標(biāo)面分別為 ,常數(shù)r常數(shù)， 常數(shù)，z即以z軸為軸的圓柱面圓柱面;即過z軸的半平面半平面;即與xoy面平行的平面平面.直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系為:zzryrxsincosxyzo),(zyxMxyz2三重積分在柱面坐標(biāo)中的計(jì)算法三重積分在柱面坐標(biāo)中的計(jì)算法dvzyxf),(將將化為柱面坐標(biāo)形式化為柱面坐標(biāo)形式.被積函數(shù)被積函數(shù)),s
2、in,cos(),(zrrfzyxfrddzrdrddvdvzyxf),(dzrdrdzrrf),sin,cos(化為三次積分計(jì)算化為三次積分計(jì)算,積分次序積分次序是是:先對(duì)先對(duì)z ,再對(duì)再對(duì)r, 最后對(duì)最后對(duì)drrddzxyzo32為例例1.計(jì)算zdv, 其中422zyxz ,所圍成的閉區(qū)域.解解 畫草圖202042rzr:zdv420202rzrdzdrdxyz20416212drrr)(2062618rr.364另解另解zdvdxdyzdzzD4040zdzz.3644為例例2.計(jì)算zdv, 其中0 , 1222zzyx解解 畫草圖201010:2rrzzdv2101020rzrdzdr
3、ddrrr)1 (2122104另解另解1, 10),(222zyxzzyxzdvdxdyzdzzD10102)1 (dzzz4xyz52xyD例例3 計(jì)算dvyx)(22 其中由曲面5),(254222zyxz所圍.解解 畫草圖4:22 yxDxy2020525:rzrdvyx)(2220525220rdzrdrrd203)255(2drrr8xyz562例例4 求曲面22224yxzyxz與所圍立體體積.解解 畫草圖, 聯(lián)立22224yxzyxz得2:22 yxDxy20204:22rrzrdvv2242020rrdzrdrd202)24(2drrr4xyz4224yxz22yxz24rz
4、2rz7解解 畫草圖,az 020cos20:rDxydvyxz22azdzrrdrd0cos2020da2032)cos2(3121229832382aa例例5. 計(jì)算dvyxz22, 其中是由平面)0(, 0, 0aazzy)0(0222yxyx所圍閉區(qū)域.及圓柱面xyDxyz2a8二二. 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分xyz),(zyxMorP, r稱作點(diǎn)M 的球面坐標(biāo)球面坐標(biāo).),(r r0020r常數(shù), 表球面;常數(shù), 表錐面;常數(shù), 表平面.直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)間的關(guān)系直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)間的關(guān)系:xyzcosrz cossinrx sinsinry 可以推得體積元素
5、體積元素:ddrdrdvsin29例例6 計(jì)算2222222222: , sinazyxdvzyxzyxI解解 畫草圖xyz2000:arIardrdd0020sinsin)cos1 (4addrdrrrsinsin2210另解例另解例2 計(jì)算0, 1: , 222zzyxzdvI畫草圖, 用球面坐標(biāo).202010:rIdrrd10320cossin241022020sincosdrrrddxyz11例例7 計(jì)算dvyxz)(22.,4 2222所圍由yxzyxz解解 畫草圖204020:rdvyxz)(22202224020sinsincosdrrrrdd205403cossin2drrd3
6、42xyzo2r412例例8 求半徑為a的球面與半頂角為的內(nèi)接錐面所圍 立體的體積.解解 建立坐標(biāo)系如右圖. 球面方程為:azzyx2222即cos2ar 20 ,0 ,cos20:ardvvcos202020sinadrrdd033sincos382da)cos1 (3443axyoza213例例9 求均勻球體對(duì)于過球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解解 取球心為坐標(biāo)原點(diǎn),z 軸與l軸重合,并設(shè)球半徑為RxyzozlII dvyx)(22ddrdrrsinsin222Rdrrdd040320sin34525RMR252334RM 為球體質(zhì)量.14例例10. 選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計(jì)算下列三重積分：選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計(jì)算下列三重積分：00011122yxzzyxxydv,: , ).(.: , ).(zzyxdvzyx2222222所圍所圍.所圍所圍.xyz11 ).(xydv1101020rdzrrdrdsincos10320drrdsincos.811xyz1 ).(dvzyx2222cossin022020drrrdd204412dcossin.10
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