油泵齒輪壓裝機設計【三維CATIA模型】【含11張CAD圖紙】
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利用帶彈簧曲柄滑塊機構(gòu)的運動肢奇異性產(chǎn)生期望的動靜態(tài)非線性剛度特性
摘要：
不同于避免閉環(huán)機構(gòu)的奇異性，本文利用運動奇異性構(gòu)造具有期望非線性剛度特性的柔順機構(gòu)，豐富了柔順機構(gòu)綜合的方法。發(fā)展了由曲柄滑塊機構(gòu)的運動臂的角度產(chǎn)生動靜態(tài)非線性剛度特性的理論?；谔摴υ恚⒘藥椈汕B桿機構(gòu)的運動靜力學模型。分析了摩擦剛度對扭矩-位置角關(guān)系的影響。研究表明，當機構(gòu)在運動肢奇異位置附近工作時，相應的彈簧剛度可以產(chǎn)生四種非線性剛度特性中的一種，包括雙穩(wěn)態(tài)、局部負剛度、零剛度或正剛度。因此，具有期望剛度特性的柔順機構(gòu)可以通過采用機構(gòu)的偽剛體模型來構(gòu)造，該機構(gòu)的關(guān)節(jié)或連桿被相應的撓曲代替。最后，制作了一個三對稱恒扭矩柔順機構(gòu)，通過實驗測試獲得了扭矩-位置角曲線。測量表明，柔順機構(gòu)可以產(chǎn)生幾乎恒定的扭矩區(qū)。
1.導言
帶彈簧的機構(gòu)被定義為一個剛體連桿機構(gòu)，其關(guān)節(jié)是放置彈簧的。對于這種類型的機構(gòu)，這種類型機構(gòu)的動靜態(tài)驅(qū)動力/扭矩相對于位置參數(shù)是非線性的。驅(qū)動力/扭矩和位置參數(shù)之間的非線性關(guān)系稱為動靜態(tài)非線性剛度特性。具有這種特性的彈簧機構(gòu)可應用于恒力機構(gòu)、隔振器和重力平衡器。基于剛體替換法的柔順機構(gòu)類型綜合和基于偽剛體模型。柔順機構(gòu)可以單片制造，并應用于許多需要高精度的應用中，因為沒有間隙和摩擦，例如基于彎曲梁的能量采集器，微動開關(guān)和高精度驅(qū)動器。然而，屈曲梁只產(chǎn)生雙穩(wěn)定性，而產(chǎn)生其他非線性剛度特性。此外，雙穩(wěn)態(tài)屈曲梁的力學模型是非常復雜的。通過采用偽剛體替代，具有放置彈簧的四桿機構(gòu)可用于設計具有雙穩(wěn)態(tài)行為的柔順機構(gòu)，這發(fā)展了雙穩(wěn)態(tài)機構(gòu)的配置。當用剛體替換法綜合加工相應性能的柔順機構(gòu)時，設計者應掌握剛體連桿機構(gòu)的一系列性能。因此，人們應該在連桿設計方面有豐富的經(jīng)驗性能分析。因此，利用一些公共屬性來構(gòu)造具有非線性剛度特性的柔順機構(gòu)是有意義的。運動奇異性是連桿機構(gòu)的一個基本特性，它嚴重影響連桿機構(gòu)的性能，因此許多學者對奇異性分布、奇異性識別和避免奇異性給予了極大的關(guān)注。然而，運動奇點有兩個方面，可以用來構(gòu)造新類型的裝置。空間并聯(lián)機構(gòu)的運動奇異性被用來構(gòu)造幾種類型的可重構(gòu)并聯(lián)機構(gòu)。當并聯(lián)機構(gòu)在奇點附近工作時，它們對外部載荷很敏感。該特性被應用于設計力傳感器。利用四桿機構(gòu)的運動奇異性，合成了一種具有負剛度特性的新型柔順機構(gòu)。當兩個曲柄共線時，平面平行四邊形連桿機構(gòu)被用于通過應用剛體替換方法來構(gòu)造一種可重新配置的柔性夾持器。一種新的醫(yī)療器械是利用并聯(lián)機構(gòu)在奇異時獲得額外自由度的特性設計的。本文以帶彈簧的曲柄滑塊機構(gòu)為例，利用剛體連桿機構(gòu)的一個共同特性——運動肢奇異性來構(gòu)造動靜態(tài)非線性剛度特性。論文的其余部分組織如下:第2節(jié)討論了機構(gòu)的動靜態(tài)模型，第3節(jié)將非線性剛度特性分為四種類型。第4節(jié)分析了彈簧剛度對機構(gòu)從非奇異位置移動并通過運動肢奇異位置時產(chǎn)生的非線性剛度特性的影響。第5節(jié)指出，該機構(gòu)僅在從運動肢體奇異位置移動到非奇異位置時產(chǎn)生正剛度特性。第6節(jié)描述了通過創(chuàng)建機構(gòu)在運動肢體奇異位置周圍工作的預期零剛度(恒定扭矩)特性的方法。第7節(jié)進一步討論了非線性柔順機構(gòu)的設計，并通過實驗測試進行了驗證。最后，第8節(jié)得出了一些重要結(jié)論。
2. 機構(gòu)的動靜態(tài)模型
圖1顯示了帶有彈簧的曲柄滑塊機構(gòu)的示意圖。曲柄AB繞銷接頭A逆時針旋轉(zhuǎn)，帶動滑塊沿水平線移動，連桿AB和滑塊通過聯(lián)軸器BC連接。三個銷接頭放置扭轉(zhuǎn)彈簧，其剛度分別為KRA、KRg和KRc。棱柱形接頭C增加了拉伸彈簧，其剛度為Kpc。
圖一帶彈簧的曲柄滑塊機構(gòu)
笛卡兒坐標系統(tǒng)O-xyz固定在底座上，原點O固定在點A上，x軸的正方向指向水平右側(cè)，y軸的正方向垂直向上，z軸由右手定則確定。
向量AB和BC分別由r1和r2定義。x軸和y軸上的向量位置C相對于框架O-xyz的投影分別由r3和e定義。標量r1和r2分別是鏈路AB和BC的長度。標量r和e分別是點C在x軸和y軸上的坐標。鏈路長度r1和r2以及偏移量e應滿足： -(r1?+r2)0表示Td沿著z軸的正方向，Td<0對應于指向負z軸的Td方向。銷接頭的角位移為
Ψ A = (θA ? θA0)k
其中，e是x軸相對于連桿AB的旋轉(zhuǎn)角度，表示連桿AB的輸入位置角度，θA0對應于初始角度。本文中，θA值不允許彈簧失效。
這里我們考慮θA，作為機構(gòu)的總坐標。因此，關(guān)節(jié)A的虛擬角位移為
δΨ A = （dΨ A /dθA ）δθA = δθAk
驅(qū)動扭矩引起的虛功是
δWd = Td · δΨ A = Tdk · δθAk = TdδθA.
扭簧置于銷上產(chǎn)生的扭矩a是TA = ?KRAΨ A = ?KRA(θA ? θA0)k,
因此由TA引起的虛擬功可以計算為δWTA = T A · δΨ A = ?KRA(θA ? θA0)δθA.
旋轉(zhuǎn)接頭B的角位移為Ψ B = (θB ? θB0)k = (π ? θA ? θC)k,
其中標量θB是從矢量BA到矢量Bc的旋轉(zhuǎn)角度，標量θC是從x軸的負方向到矢量CB的旋轉(zhuǎn)角度。θB 和 θC滿意θB = π ? θA ? θC
如果θB 和θC的初始值分別用θB0 和 θC0, 表示，則有θB0 = π ? θA0 ? θC0.
根據(jù)機構(gòu)的位移分析，可以得出以下結(jié)論
θC = arcsin（r1 sin θA ? e/ r2 ),
θC0 = arcsin(r1 sin θA0 ? e /r2) .
關(guān)節(jié)B的角位移為δΨ B = (dΨ B/ dθA) δθA = {d(θB ? θB0) /dθA }δθAk = (dθB/ dθA) δθAk = ?{d(θA + θC)/ dθA} δθA k = ( ?1 ? r1 cos θA/ a) δθAk
其中a =
在接頭B處增加的扭簧扭矩為TB = ?KRBΨ B = ?KRB(θB ? θB0)k
因此，由玻璃化轉(zhuǎn)變溫度引起的虛功可由下式獲得
對于銷接頭C，角位移為Ψ C = (θC ? θC0)k.
相應的虛擬位移是δΨ C =（ dΨ C/ dθA ）δθA = {d(θC ? θC0)/ dθA }δθAk =（ r1 cos θA/ a ）δθAk
放置在接頭C處的彈簧扭矩為
因此，扭矩引起的虛功Tc可表示為
對于棱柱形關(guān)節(jié)C，根據(jù)機構(gòu)的位移分析，點C在x軸上的坐標投影可以如下獲得r3 = r1 cos θA + a.
相應的初始坐標投影可以寫成r30 = r1 cos θA0 + a0,
其中
點C在x軸上的瞬時投影和初始投影可以表示為以下表達式
r3 = (r1 cos θA + a)i,
r30 = (r1 cos θA0 + a0)i
點C的位移為PC = r3 ? r30.
相應的虛擬位移可以產(chǎn)生為
附著在棱柱形接頭上的平移彈簧的力可由下式獲得δWFC = FC · δPC = ?KPC(r1 cos θA + a ? r1 cos θA0 ? a0) × (?r1 sin θA ? b/a)δθA
根據(jù)虛功原理δWd + δWTA + δWTB + δWTC + δWFC = 0
組合方程(2)至(9)，施加在曲柄AB上的驅(qū)動扭矩的大小為
這意味著該機制的勢能達到局部最小值，那么該機制對應于圖2所示的e和e是穩(wěn)定的。
根據(jù)方程式的構(gòu)造。(10)Eq的物理意義。(10)是驅(qū)動扭矩抵抗由連接在接頭處的彈簧引起的力或扭矩。
該機構(gòu)的彈性勢能可以表示為
根據(jù)虛功原理，下列表達式為
3. 非線性剛度特性的分類
當某些位置滿足方程。(10)等于零，即Td=0，該機構(gòu)處于無外部載荷的靜態(tài)平衡，包括穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡[23]。
如果Td = dU /dθA =0,
當該機制的勢能達到局部最大值時，這意味著
該機構(gòu)位于不穩(wěn)定的平衡位置，對應于θb，如圖2所示。
對于圖1所示的帶彈簧的曲柄滑塊機構(gòu)，當輸入位置角θA滿足以下條件時
θA = arcsin （e/ r1 ? r2） ,
或者θA = arcsin （e /r1 + r2） .
該機構(gòu)位于左極限位置和右極限位置，這兩個位置都是運動奇異位置。
圖二扭矩/能量與位置角的關(guān)系
等式(7a)可以得出以下表達式dr3 / dθA = ?r1 sin θA ? b / a.
等式(14)表明，當機構(gòu)位于由等式(13a)和(13b)表示的兩個極限位置時，以下表達式dr3 / dθA = 0
這表明輸出速度和輸入速度之間的比率為零，并被稱為運動學肢-奇點[24]。
圖3顯示了該機構(gòu)圍繞右極限位置工作的運動，該位置也是兩個運動學肢體奇異位置之一。該機構(gòu)從初始非奇異位置移動，沒有偏轉(zhuǎn)彈簧(圖3(a))，經(jīng)過運動學肢體奇異位置(圖3(b))，然后到達末端非奇異位置(圖3(c))。
如圖3所示，在運動過程中，位于接頭C處的彈簧勢能從零增加到最大值，然后下降到零。因此，如果扭轉(zhuǎn)彈簧的剛度不太大，機構(gòu)的勢能可能有一個局部最大值和兩個局部最小值，這對應于不穩(wěn)定位置(如圖3所示)和兩個穩(wěn)定位置(如圖3所示的θa和θc)。這種動靜態(tài)非線性剛度特性稱為雙穩(wěn)態(tài)特性。
圖三機械的不同位置
并且只有當銷接頭是附接彈簧時，該機構(gòu)才不會表現(xiàn)出勢能先增加然后減少的現(xiàn)象，這意味著在運動期間沒有最大勢能，因為銷接頭在運動期間沿一個方向旋轉(zhuǎn)。因此，該機構(gòu)僅產(chǎn)生正剛度特性，而不產(chǎn)生雙穩(wěn)態(tài)特性。
根據(jù)方程。(10)和(11)中，驅(qū)動扭矩抵抗由所有彈簧引起的所有力/扭矩，并且機構(gòu)的總勢能是每個彈簧勢能的總和。換句話說，該機構(gòu)可以產(chǎn)生四種類型的動靜態(tài)非線性剛度特性，其由放置在接頭處的彈簧的剛度決定。
圖4顯示了四種非線性剛度特性，包括雙穩(wěn)態(tài)特性、局部負剛度特性、局部零剛度特性和正剛度特性，圖4描述了驅(qū)動扭矩隨輸入位置角而變化。與一般的彈性彈簧或結(jié)構(gòu)不同，施加在具有彈簧的機構(gòu)上的驅(qū)動力/扭矩不符合胡克定律。如果機構(gòu)進行圖3(a)-3(c)所示的運動，它可能產(chǎn)生圖4(a)-(d)所示的四種類型的非線性剛度特性，如下所述:
(1)圖4(a)描述了包括三個域的雙穩(wěn)態(tài)特性，其中域I和域iii為正剛度，域ii為負剛度。當Tdmax×Tdmin <0時，該機構(gòu)在運動過程中表現(xiàn)出從位置b到位置c的突變現(xiàn)象，其中位置a和c是穩(wěn)定的，位置b是不穩(wěn)定的。
(2)圖4(b)描述了類似于雙穩(wěn)態(tài)特性的局部負剛度特性。然而，在運動過程中，扭矩是正的，因此該機構(gòu)不會表現(xiàn)出卡入現(xiàn)象。
(3)圖4(c)表示局部零剛度特性，可通過分配適當?shù)膮?shù)進行設計。
(4)圖4(d)顯示了當機構(gòu)從運動學肢體奇異位置移動到非奇異位置時出現(xiàn)的正剛度特性。
值得注意的是，圖4(a)至4(c)所描述的非線性剛度特性存在于當且僅當該機構(gòu)從非奇異位置移動時，通過2e?kinemltid肢體-s(接近度和/Aaches)
圖四機構(gòu)的四個非線性特性
另一個非單數(shù)位置。因此，為了清楚地說明非線性剛度特性，第4節(jié)討論了機構(gòu)的初始位置處于運動肢體奇點的情況，第5節(jié)說明了機構(gòu)從運動肢體奇點位置移動的情況。
當銷接頭處的扭轉(zhuǎn)彈簧剛度過大或棱柱接頭處的平移彈簧剛度為零時，也會產(chǎn)生正剛度特性，這將在第4節(jié)中討論。
4. 具有初始非奇異位置的線性剛度特性
顯然，附加彈簧使機構(gòu)產(chǎn)生非線性剛度特性。此外，不僅彈簧使機構(gòu)表現(xiàn)出非線性剛度特性，而且?guī)缀螀?shù)也影響剛度特性。在本節(jié)中，討論了通過添加彈簧來產(chǎn)生非線性剛度特性的理論，隨后開發(fā)了一種用于構(gòu)造期望剛度特性的方法，其中以局部零剛度(恒定扭矩)特性構(gòu)造為例。
4.1非線性特性生成理論該機構(gòu)有四個接頭，可放置彈簧，產(chǎn)生非線性剛度特性。有必要探索由每個彈簧引起的特定剛度特性，以便分配適當?shù)膹椈蓜偠葋碓O計具有預期非線性剛度特性的機構(gòu)。為了分析產(chǎn)生非線性特性的理論，相應的彈簧剛度被專門設置為非零，而其他彈簧剛度被指定為零。
4.1.1非線性剛度特性
KRA=KRB=KRC=0, KPC≠0
在這種情況下，由等式1表示的驅(qū)動扭矩。(10)簡化為
Td = KPC(r1 cos θA + a ? r1 cos θA0 ? a0) × (?r1 sin θA ? b/a).
比較Eqs后。(10)和(16)，驅(qū)動扭矩抵抗由放置在棱柱形接頭C處的平移彈簧引起的力
由方程式計算的勢能。(11)寫為
求解Eq。(17)相對于eA等于零導致
θA1 = θA0,
θA2 = arcsin （e /r1 + r2） ,
θA3 = arctan （ C1 + C2/ C3 + C4）
其中
θA1 和 θA3是方程公共項的兩個解。(16)和(17)如下式所示
r1 cos θA + a ? r1 cos θA0 ? a0 = 0,
而θA2是方程項的解。(16)如下:
?r1 sin θA ? b/a = 0.
從上面可以看出，如果θA=θA1 或 θA=θA3,，那么U=0。
當θA≠θA1 和 θA≠θ3時，存在U>0。因此，我們可以得出結(jié)論，當θA=θA1 和θA=θA3 時，該機制位于局部最小能量點。分別是。根據(jù)參考文獻。[28]，當θA=θA1 和θA=θA3分別對應于θa 和 θc時，機制處于平衡狀態(tài)，如圖2所示。
微分方程。(16)關(guān)于θA產(chǎn)量
如果機構(gòu)位于θA=θA2，這是方程的解。(20)，然后
等式(17)可導致
U |θA=θA2 > 0.
因此，我們可以得出結(jié)論，如圖2所示，當位于對應于θA=θA2時，該機制處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。
當幾何參數(shù)為r=10?cm、r2=50?cm和e=3?cm，初始輸入位置角設為θA0=?5°時，驅(qū)動扭矩和勢能變化與輸入位置角的關(guān)系如圖5所示。本文中，平移彈簧和扭轉(zhuǎn)彈簧的單位分別為N/cm和N.cm/()。應該指出的是，初始輸入位置角應該滿足
圖五勢能與輸入位置的關(guān)系
arcsin （e /r1 ? r2） < θA0 < arcsin（ e/ r1 + r2） ,
以便允許該機構(gòu)從非奇異位置開始經(jīng)過正確的運動學肢體奇異位置。
圖5表明，當KRA=KRB=KRC=0 時，運動學肢端奇異位置處于不穩(wěn)定平衡點。此外，可以看出，平移彈簧剛度的增加增加了正向和負向的驅(qū)動扭矩值。勢能也隨著平移彈簧剛度的增加而增加。
4.1.2當KRB=KRC=0, KPC=0, ?KRA ≠0時的非線性剛度特性
將彈簧剛度代入方程式。(10)獲得驅(qū)動扭矩為
Td = KRA(θA ? θA0).
很明顯，方程式所代表的驅(qū)動力矩。
(24)是為了抵抗因扭簧置于銷接頭處而產(chǎn)生的扭矩
根據(jù)方程式。(24)上，可以獲得
dTd/dθA = KRA > 0
等式(25)表明驅(qū)動力與輸入位置角θA成正比。在這種情況下，該機構(gòu)表現(xiàn)出正剛度特性。根據(jù)方程式。(11)勢能也可由下式獲得
當r1=10?cm, r2=50?cm, e=3?cm, θA0=?5°時，驅(qū)動力和勢能曲線如圖6所示。
圖6顯示了當扭轉(zhuǎn)彈簧僅放置在旋轉(zhuǎn)接頭A處時，該機構(gòu)表現(xiàn)出正剛度特性。
4.1.3?KRA?=?KRC?=?0、Kpc=0和KRB≠0時的非線性剛度特性
在這種情況下，方程。(10)簡化為
方程之間的比較。(5b)和(27)揭示了方程的物理意義。(27)是驅(qū)動力抵抗由連接在銷接頭B處的扭轉(zhuǎn)彈簧引起的扭矩
將彈簧剛度代入方程式后。(11)產(chǎn)生勢能為
根據(jù)方程，當r1=10?cm, r2=50?cm, e=3?cm, θA0=?5°時。(27)和(28)，我們描述了驅(qū)動扭矩和勢能隨輸入位置角度變化的變化，如圖7所示。
圖7表明，將扭轉(zhuǎn)彈簧放置在主關(guān)節(jié)上，可以使機械裝置產(chǎn)生主動剛度特性。
圖六勢能對輸入位置角的關(guān)系
4.1.4KRA?=?KRB?=?0，Kpc?=0，?KRC≠0時的非線性剛度特性
驅(qū)動力可以簡化為
考慮到Eq。(6)、Eq的物理意義。(29)是驅(qū)動扭矩將抵抗由于在銷接頭C處增加的扭轉(zhuǎn)彈簧而產(chǎn)生的扭矩
將彈簧剛度代入方程式。(11)獲得勢能如下
當r1=10?cm, r2=50?cm, e=3?cm, θA0=?5°,圖8描述了由方程表示的驅(qū)動扭矩和勢能。
圖8顯示了當銷接頭C專門連接扭轉(zhuǎn)彈簧時，該機構(gòu)產(chǎn)生正剛度特性。
此外，當KRA=KRB=KRC時，圖6至圖8表明由KRB引起的驅(qū)動扭矩曲線的剛度最大，由KRA引起的剛度第二大，由KRc引起的剛度最低。
4.2彈簧剛度對非線性剛度特性的影響
第4.1節(jié)說明，Kpc使機構(gòu)產(chǎn)生雙穩(wěn)特性，包括負域，KRA、KRB或KRc僅允許機構(gòu)顯示正剛度特性。總扭矩可通過KRA、KRb、KRc和Kpc扭矩的線性疊加獲得。因此，在KPC≠0的條件下，可以通過設計KRA、KRB、KRC和Kpc的不同值來構(gòu)造期望的非線性剛度特性。
當r1=10?cm, r2=50?cm, e=3?cm, θA0=?5°，Kpc=1?N/cm時，機構(gòu)對于不同KRA、KRb和KRc值的非線性剛度特性如圖9所示，其中KRA=KRB=KRc。
圖9表明，當平移彈簧Kpc不為零時，當扭轉(zhuǎn)彈簧剛度KRA、KRb和KRc設置為不同值時，一個非線性特性可以轉(zhuǎn)換為另一個非線性特性。對于給定的平移彈簧剛度，當扭轉(zhuǎn)彈簧剛度小時，機構(gòu)表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)特性。扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的增加延遲了不穩(wěn)定的平衡位置，并推進了第二穩(wěn)定點。隨著扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的增大，雙穩(wěn)態(tài)特性可能退化為局部負剛度特性，甚至正剛度特性。
此外，局部最大勢能點的存在是雙穩(wěn)態(tài)特性的前提。當扭矩曲線有局部負估計域，但沒有最大勢能點時，機構(gòu)不表現(xiàn)出突跳現(xiàn)象。
當r1=10? cm, r2=50? cm, e=3? cm, θA0=?5° 且Kpc=1?N/cm時，圖10描繪了當一個扭轉(zhuǎn)彈簧剛度完全為零時機構(gòu)的非線性剛度特性。
圖10顯示，當Kpc被給定為常數(shù)時，KRB效應最大，KRA效應第二大，KRc對機械力的非線性日光特性的影響最小。
圖七勢能與位置角的關(guān)系
5. 具有初始肢體奇異位置的非線性剛度特性
第4節(jié)表明，當扭轉(zhuǎn)彈簧剛度足夠大時，機構(gòu)可能產(chǎn)生正剛度。第5節(jié)主要討論了另一種產(chǎn)生正剛度特性的方法，即使機構(gòu)從右運動學邊緣奇異位置(圖3(b))移動到非奇異位置(圖3(c))。
從右極限運動奇異位置開始的機構(gòu)的扭矩對位置角可以通過代入得到
θA0 = arcsin （e/ r1 + r2）
代入公式。(10)，此處不再詳述。
在這種情況下，當放置在棱柱形關(guān)節(jié)C上的平移彈簧沿一個方向移動時，勢能隨著輸入旋轉(zhuǎn)角度的增加而增加，并且除了初始位置之外不存在局部最小值。因此雙穩(wěn)態(tài)特性確實如此
由Kpc引起的不存在。對于連接在三個銷接頭處的三個扭轉(zhuǎn)彈簧，勢能僅增加。因此，總勢能在機構(gòu)運動過程中增加，機構(gòu)僅表現(xiàn)出正剛度特性。
當r1=10?cm, r2=50?cm, e=3?cm時，扭矩曲線與位置角的關(guān)系如圖11所示。圖11驗證了扭矩曲線顯示了每個彈簧產(chǎn)生的正剛度特性。因此，由所有彈簧引起的總扭矩確實呈現(xiàn)正剛度。
6. 預期非線性剛度特性創(chuàng)建
根據(jù)第4節(jié)和第5節(jié)，當機構(gòu)從沒有偏轉(zhuǎn)彈簧的運動肢體奇異位置移動時，機構(gòu)僅產(chǎn)生正剛度特性，并且當從沒有偏轉(zhuǎn)彈簧的非奇異位置向肢體奇異位置移動時，可能產(chǎn)生四個非線性剛度特性，包括雙穩(wěn)態(tài)特性、局部負剛度特性和正剛度特性。從圖9和10中，我們推測在運動學邊緣奇點位置的扭矩的預期剛度(θA2，方程(18b))可以通過設計適當?shù)膹椈蓜偠葋懋a(chǎn)生。這里我們以零剛度特性的產(chǎn)生為例來說明期望剛度構(gòu)造的方法。零剛度特性的設計程序如下:
(1)建立彈簧剛度替代項θA=θA2和其他給定參數(shù)之間的關(guān)系，以微分方程。(10)關(guān)于θA，然后獲得以下表達式
（2）確定預期剛度優(yōu)化彈簧剛度，KRA、KRB、KRc和Kpc，滿足方程。(31)當機構(gòu)圍繞運動學邊緣奇異位置工作時，可以獲得具有期望剛度K的非線性剛度特性，θA=θA2。如果K設置為零，則可以獲得零剛度(恒定扭矩)特性。
(3)搜索零剛度域當機構(gòu)位于運動肢體奇異位置時，扭矩θA=θA2，由下式表示
Td|θA=θA2 .
圖八勢能與輸入位置角的關(guān)系
扭矩側(cè)邊的位置
被認為是恒定扭矩域。
當r1=10?cm, r2=50?cm, e=3?cm and θA0=?5°時，執(zhí)行上述程序(1)獲得
KRA + 1.438020KRB + 0.039670KRC ? 1.359152KPC = K = 0.
通過優(yōu)化方法可以找到合適的彈簧剛度。搜索算法不是主要的主題，這里不詳細介紹。我們認為
KRA = KRB = 0 N · cm/ （ ?） ,
KPC = 1 N/cm.
用方程代替，(34)轉(zhuǎn)化為方程式。(32)求解關(guān)于Kpc的方程，獲得如下解
KRC = 34.261457 N · cm/rad = 0.597975 N · cm/ （ ?） .
將剛度參數(shù)和幾何參數(shù)代入方程。(31)和執(zhí)行過程(3)，獲得恒定轉(zhuǎn)矩域為θA ∈[1.57°, 4.26°].這些參數(shù)條件下的扭矩-位置角度曲線如圖12所示。
7. 進一步討論和實驗驗證
第2節(jié)至第7節(jié)討論了帶有彈簧的曲柄滑塊機構(gòu)的非線性特性，可以通過在關(guān)節(jié)處放置彈簧并使該機構(gòu)圍繞右側(cè)極限運動肢體奇異位置工作來構(gòu)建(圖13(b))。當KPC≠0, KRA?=KRB=KRc時，該機構(gòu)在右極限運動肢奇異位置即不穩(wěn)定平衡位置附近工作時，表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)特性。同樣，對于同樣的彈簧來說，剛度也是一樣的。因此，當機構(gòu)從非奇異位置移動并通過如圖16所示的左側(cè)極限運動肢體奇異位置時，該機構(gòu)產(chǎn)生雙穩(wěn)態(tài)特性，該位置必須是不穩(wěn)定的平衡位置。因此，當曲柄AB圍繞銷A完全旋轉(zhuǎn)時，如果KPC≠0，KRA=KRB=KRc=0，則該機構(gòu)表現(xiàn)出三穩(wěn)定特性，其具有位于兩個運動學肢端奇異位置的兩個不穩(wěn)定平衡位置。
然而，扭轉(zhuǎn)彈簧不能放置在接頭處
在扭簧失效的情況下，當曲柄AB繞著銷a完全旋轉(zhuǎn)時。對于銷接頭C，它在機構(gòu)運動過程中擺動。因此，彈簧剛度可指定為KPC≠0, ，KRA?=KRB=0，以設計三穩(wěn)定特性，如圖14所示。
圖14顯示，當KPC≠0, KRA=KRB=0時，如果KRc很小，該機制產(chǎn)生三穩(wěn)態(tài)特性。KRc的增加減小了第一局部最小力和第二最大力的大小。當KRc與平移彈簧剛度Kpc相比過大時，驅(qū)動力矩主要是抵抗扭轉(zhuǎn)彈簧剛度KRc引起的力矩，三穩(wěn)態(tài)特性退化為雙穩(wěn)態(tài)特性。
值得指出的是，彈簧機構(gòu)的非線性特性分析可以用來綜合具有非線性特性的柔順機構(gòu)。當該機構(gòu)圍繞兩個運動學肢體奇異位置中的一個工作時(圖433(b)或圖13)，解在線特性可以
圖九不同值的非線性特性
圖十不同值的非線性剛度特性
由基于剛體替換法的相應柔順機構(gòu)獲得。另一方面，三穩(wěn)定特性不能通過設計完全柔順的機構(gòu)來獲得，因為沒有柔順的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)能夠完全旋轉(zhuǎn)。然而，如圖15(a)所示，棱柱形接頭C和銷接頭C都可以被柔性接頭代替，而銷接頭A和B是剛性運動副。另一個例子如圖15(b)所示，其中耦合器BC由集總?cè)嵝詶U代替，而棱柱形接頭由復合柔性平行四邊形機構(gòu)代替。
(圖15(a))中彎曲部分的面內(nèi)厚度Ci (i=1, 2, 3) 和桿Bi Ci (i=1, 2，3)(圖15(b))的面內(nèi)厚度可以設置為不同的值，以獲得相應的等效扭轉(zhuǎn)彈簧剛度。柔性旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和輸出平移關(guān)節(jié)的等效剛度可參照參考文獻進行計算。[25]。因此，機構(gòu)的預期非線性剛度可以通過分配合適的柔順元件的面內(nèi)厚度來設計。
通過緩慢的線電極切割制造具有恒定扭矩區(qū)的對稱機構(gòu)，并如圖16所示組裝，以驗證非線性剛度特性的設計。值得指出的是，恒定扭矩柔順機構(gòu)可用于許多應用中，例如動態(tài)扭矩平衡機構(gòu)[26]膝蓋和腳踝輔助裝置[27]以及受傷的人關(guān)節(jié)的康復[28]。參考文獻中開發(fā)了兩種類型的恒扭矩柔順機構(gòu)。[29，30]。但是如果沒有3D打印機，很難用復雜的曲線梁來加工這兩種柔性機構(gòu)。本文設計的恒扭矩柔順機構(gòu)易于制造。這種機構(gòu)中，剛性曲柄和柔性結(jié)構(gòu)通過三個
圖十一初始非奇異位置的非線性剛度特性
圖十二局部剛度特性與恒定扭矩域
圖十三左極限運動肢體——奇異位置
銷接頭，如圖16所示。給出的結(jié)構(gòu)參數(shù)為t=1? mm, L1=38? mm, L2=30? mm, α=3°, b1=8?mm, b2=5?mm，柔順結(jié)構(gòu)的平面外厚度為5?mm。
根據(jù)參考文獻。[25]，每個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)Ci (i=1, 2, 3)和每個平移關(guān)節(jié)的等效剛度可以通過以下兩個方程獲得
KRC = 2.25EI/ L1 ,
KP = 48EI /L2 ,
其中E是楊氏模量，I是關(guān)于z軸面積的第二個矩形。
我們選擇楊氏模量為200?GPa的85彈簧鋼作為柔順結(jié)構(gòu)的材料。實驗測試設備如圖17所示，旋轉(zhuǎn)平臺用于旋轉(zhuǎn)三爪卡盤，該卡盤夾緊連接到柔順機構(gòu)的扭矩傳感器。根據(jù)測微計記錄機構(gòu)的旋轉(zhuǎn)角度，從扭矩傳感器獲得柔順機構(gòu)的驅(qū)動扭矩。
驅(qū)動扭矩可由方程式計算。(10)，其中幾何參數(shù)可以計算為
θA0 = ? arcsin（ L1 sin α/ r1） ,
r2 = gL1,
e = ?(1 ? g)L1sina,
圖十四不同krc的非線性特性
其中γ=0.85
我們可以把圖16所示的對稱柔順機構(gòu)看作是由三個平行的曲柄滑塊機構(gòu)組成的機構(gòu)。因此，施加在圖16所示曲柄上的驅(qū)動扭矩T應該是由方程式計算的扭矩T的三倍。(10)，即
T = 3 × Td.
對應于PRBM、有限元模型和實驗結(jié)果的三條曲線(扭矩變化與曲柄轉(zhuǎn)角的關(guān)系)如圖18所示。這里，水平坐標θ描述了機構(gòu)的曲柄轉(zhuǎn)角，從零開始，可以表示如下:
θ = θA ? θA0.
圖18顯示PRBM結(jié)果、有限元分析(FEA)和實驗測試結(jié)果之間存在誤差。PRBM結(jié)果和
圖十五部分兼容的曲柄滑塊機構(gòu)
圖十六恒扭矩機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)
圖十七實驗測試儀器
圖十八測試結(jié)果
有限元分析很少，表明PRBM能正確描述柔順機構(gòu)的理論模型。理論模型和實驗結(jié)果之間相對較大的差異可能是由于可用的慢線電極系統(tǒng)的束制造誤差和裝配公差。結(jié)果表明，偽剛體模型、有限元分析和實驗結(jié)果都表現(xiàn)出恒轉(zhuǎn)矩特性。
8. 結(jié)論
(1)提出了一種利用附加彈簧的曲柄滑塊機構(gòu)的運動學邊緣奇異位置生成非線性特征的通用方法。
(2)帶彈簧機構(gòu)在繞過運動肢奇異位置時，可能產(chǎn)生四種非線性特性，包括雙穩(wěn)態(tài)特性、局部負剛度特性、局部零剛度特性和正剛度特性。一個非線性特性可以轉(zhuǎn)換成另一個具有不同彈簧剛度的特性。
(3)該機構(gòu)從運動學肢端奇異位置運動時，僅表現(xiàn)出正剛度特性。
(4)當輸入曲柄完全轉(zhuǎn)動且曲柄兩端的兩個扭簧剛度完全為零時，對于連接聯(lián)軸器和滑塊的銷接頭處的小扭簧剛度和大扭簧剛度，機構(gòu)產(chǎn)生三穩(wěn)態(tài)特性和雙穩(wěn)態(tài)特性。
(5)非線性剛度特性生成理論可用于設計具有非線性剛度特性的柔順機構(gòu)。
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