《幾何與代數(shù)》期中試卷(答案)729617751115083223

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1、北 京 交 通 大 學 2012-2013學年 第一學期 《幾何與代數(shù)》 期中考試卷(A) 答案 一．填空題（本題滿分24分，共8道小題，每道小題3分，少填、多填或填錯均不得分） 1．設矩陣，且，則，． 2．向量，滿足，，則內積 ． 3．若三點，，共線，則、． 4．． 5．設、為階方陣，且，，則． 6．若4階行列式，則． 7．是矩陣，其秩，，則． 8．階行列式． 二．應用題（每題8分，共40分） 9．計算階行列式 ． 解： 10．已知，證明：及都可逆，并求及． 解：由，得，因此，可逆，且 ； 由，得，因此，可逆，

2、且 ． 11．當為何值時，線性方程組 有唯一解，并求出該解． 解：線性方程組的增廣矩陣 因此，當且時，，方程組有唯一解，且 因此， 12．已知向量為單位向量，垂直于，垂直于，試求向量與向量的夾角． 解：由條件，得 即 得，，故， 因此，． 13．設階方陣滿足：．證明：可以表示成個秩為的矩陣之和． 解：由已知，存在階可逆陣、，使得 因此，， 且，． 三．應用題（每題12分，共36分） 14．求通過直線且垂直于的平面方程．

3、 解：顯然，待求平面過點，而其法向量及， 即 ． 故所求平面方程為 或 ． 15．平面與是否相交？若相交，求出它們的交線在平面上的投影的直線方程；若不相交，請給出證明． 解：因為，，因此，與相交． 設交線為，并設為通過直線且垂直于的平面，則交線在平面上的投影直線就是與的交線． 設通過直線的平面的方程為 ， 即 ． 由于與垂直，故 ， 解得，，因此，得平面的方程為 ：， 因此，所求投影直線方程為 16．已知矩陣 ， ，且矩陣滿足： ，其中為三階單位陣，求． 解：化簡矩陣方程，有 ，即 ． 由于 ，所以可逆，且 所以，． 附加題：（滿分10分）已知階方陣，下列等式是否成立，若成立，證明之；若不成立，說明原因或給出其成立的條件． ． 解：成立．因為 ． 第 5 頁 共 8 頁