專題17三角形與全等三角形

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1、 中國領先的個性化教育品牌 精銳教育學科教師輔導講義 年 級：初三 輔導科目：數(shù)學 課時數(shù)： 學生姓名：陳銥 學科教師：俞健聰 課 題 三角形與全等三角形 教學目的 熟悉常見題型，掌握常見的技巧，加深對概念的理解 教學內容 一、【中考要求】 了解三角形的有關概念（內角、外角、中線

2、、高、角平分線），會畫任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性，探索并掌握三角形中位線的性質，了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個三角形全等的條件。 二、【三年中考】 1．(2009溫州)下列長度的三條線段能組成三角形的是(　　) A．1 cm，2 cm，3. 5 cm B．4 cm，5 cm，9 cm C．5 cm，8 cm，15 cm D．6 cm，8 cm，9 cm 2．(2008嘉興)如圖，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位線，則DE＝(　　) A．4 B．3 C．

3、2 D．1 3．(2010寧波)《幾何原本》的誕生，標志著幾何學已成為一個有著嚴密理論系統(tǒng)和科學方法的學科，它奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎．它是下列哪位數(shù)學家的著作(　　) A．歐幾里得 B．楊輝 C．費馬 D．劉徽 4．(2008金華)如圖，在△ABC和△DCB中，AC與BD相交于點O，AB＝DC，AC＝BD. (1)求證：△ABC≌△DCB； (2)△OBC的形狀是________．(直接寫出結論，不需證明) 5．(2010金華)如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點(不與B，C重合)，F(xiàn)，E分別是AD及其延長線上的點，CF∥B

4、E.請你添加一個條件，使△BDE≌△CDF(不再添加其他線段，不再標注或使用其他字母)，并給出證明． (1)你添加的條件是：_________________________________； (2)證明： 三、【考點知識梳理】 （一）三角形的概念與分類 1．由三條線段首尾順次連接所圍成的平面圖形，叫做三角形． 2．三角形按邊可分為：不等邊三角形和等腰三角形；按角可分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形． （二）三角形的性質 1．三角形的內角和是180，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角． 2．三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之

5、差小于第三邊． 3．三角形中的重要線段 (1)角平分線：三角形的三條角平分線交于一點，這點叫做三角形的內心，它到三角形各邊的距離相等． (2)中線：三角形的三條中線交于一點，這點叫做三角形的重心． (3)高：三角形的三條高交于一點，這點叫做三角形的垂心． (4)三邊垂直平分線：三角形的三邊垂直平分線交于一點，這點叫做三角形的外心，外心到三角形三個頂點距離相等． (5)中位線：三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半． 溫馨提示： 三角形的邊、角之間的關系是三角形中重要的性質，在比較角的大小、線段的長短及求角或線段中經常用到。學習時應結合圖形，做到熟練、準確地應用。 三角形的

6、角平分線、高、中線均為線段。 （三）全等三角形的概念與性質 1．能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性質 (1)全等三角形的對應邊、對應角分別相等； (2)全等三角形的對應線段(包括角平分線、中線、高)相等、周長相等、面積相等． （四）全等三角形的判定 1．一般三角形全等的判定 (1)如果兩個三角形的三條邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等，簡記為“SSS”； (2)如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應相等，那么這兩個三角形全等，簡記為“SAS”； (3)如果兩個三角形的兩角及其夾邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等，簡記為“ASA”； (4)如果三

7、角形的兩角及其中一角的對邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等，簡記為“AAS”． 2．直角三角形全等的判定 (1)兩直角邊對應相等的兩直角三角形全等； (2)一邊一銳角對應相等的兩個直角三角形全等； (3)如果兩個直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對應相等，那么這兩個直角三角形全等，簡記為“HL”． 3．證明三角形全等的思路 (1)已知兩邊 (2)已知一邊一角 (3)已知兩角 溫馨提示： （1） 判定三角形全等必須有一組對應邊相等； （2） 判定三角形全等時不能錯用“SSA”，“AAA” （五）定義、命題、定理、公理有關概念 (1)定義是能明確指出概念含義或特征的句

8、子，它必須嚴密． (2)命題：判斷一件事情的語句． ①命題由題設和結論兩部分組成． ②命題的真假：正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題． ③互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的題設，那么這兩個命題稱為互逆命題．每一個命題都有逆命題． (3)定理：經過證明的真命題叫做定理．因為定理的逆命題不一定都是真命題，所以不是所有的定理都有逆定理． (4)公理：有一類命題的正確性是人們在長期的實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真?zhèn)蔚脑家罁?jù)，這樣的真命題叫公理． 溫馨提示： 對命題的正確性理解一定要準確，判定命題不

9、成立時，有時可以舉反例說明道理；命題有正、誤，錯誤的命題也是命題。 （六）證明 1．證明：根據(jù)題設、定義、公理及定理，經過邏輯推理來判斷一個命題是否正確，這一推理過程稱為證明． 2．證明的一般步驟：①審題，找出命題的題設和結論；②由題意畫出圖形，具有一般性；③用數(shù)學語言寫出已知、求證；④分析證明的思路；⑤寫出證明過程，每一步應有根據(jù)，要推理嚴密． 溫馨提示： 命題證明應根據(jù)證明的步驟一步步進行；圖形證明需要分析好已知條件，無需再畫圖重新寫已知、求證，用學過的知識經過嚴密的推理，推導出結論。 四、【中考典例精析】 類型一 三角形的有關知識 (1)下列長度的三條線段能組成三角

10、形的是(　　) A．1、2、3.5 B．4、5、9 C．20、15、8 D．5、15、8 (2)在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點，若BC＝5，則DE的長是(　　) A．2.5 B．5 C．10 D．15 (3)如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點，∠B＝40，∠ACD＝120，則∠A等于(　　) A．60 B．70 C．80 D．90 方法總結： （1） 考查三角形的邊或角時，一定要注意三角形形成的條件：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差

11、小于第三邊； （2） 在求三角形內角和外角時，要明確所求的角屬于哪個三角形的內角和外角，要抓住題目中的等量關系； 類型二 全等三角形 (1)如圖，已知AC＝FE，BC＝DE，點A、D、B、F在一條直線上，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個條件，這個條件可以是_________________________. (2)如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，點A、D在直線BE的兩側，AB∥DE，AC∥DF，BF＝CE.求證：AC＝DF. (3)已知命題：如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，則△ABC≌△DEF. 判

12、斷這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請給出證明；如果是假命題，請?zhí)砑右粋€適當條件使它成為真命題，并加以證明． 方法總結： （1） 判定兩個三角形全等時，常用下面的思路： ① 有兩角對應相等時找夾邊或任一邊對應相等； ② 有兩邊對應相等時找家教或另一邊對應相等。 （2） 結論不唯一的開放型試題，是近幾年中考試題中的熱點題型，主要考察對一些知識點掌握的熟練性、系統(tǒng)性。這類題型要注意多琢磨、多領悟。 五、【易錯題探究】 如圖，C是線段AB的中點，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE. (1)求證：△ACD≌△BCE； (2)若∠D＝50， 求∠B的度數(shù)．

13、 六、【課堂基礎檢測】 1．下列長度的三條線段能組成三角形的是(　　) A．1 cm，2 cm，3. 5 cm B．4 cm，5 cm，9 cm C．5 cm，8 cm，15 cm D．6 cm，8 cm，9 cm 2．如圖，∠BDC＝98，∠C＝38，∠B＝23，∠A的度數(shù)是(　　) A．61 B．60 C．37 D．39 3．如圖，△ABC中，∠A＝70，∠B＝60，點D在BC的延長線上，則∠ACD等于(　　) A．100 B．120 C．130

14、 D．150 4．如圖，D、E分別為△ABC的邊AC、BC的中點，將此三角形沿DE折疊，使點C落在AB邊上的點P處．若∠CDE＝48，則∠APD等于(　　) A．42 B．48 C．52 D．58 5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB. 求證：BD＝CE. 七、【課后達標練習】 一、選擇題 1．如圖，D、E分別是△ABC的邊AC和BC的中點，已知DE＝2，則AB＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．一個三角形三個內角的度數(shù)之比為2∶3

15、∶7，這個三角形一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形 3．如果三角形的兩邊長分別為3和5，那么這個三角形的周長可能是(　　) A．15 B．16 C．8 D．7 4．如圖，為估計池塘岸邊A、B的距離，小方在池塘的一側選取一點O，測得OA＝15米，OB＝10米，A、B間的距離不可能是(　　) A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 5．如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A、B，下列結

16、論中不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP 6．兩根木棒的長分別為5 cm和7 cm，要選擇第三根木棒，將它們釘成一個三角形，如果第三根木棒的長為偶數(shù)，那么第三根木棒的選取情況有(　　) A．3種 B．4種 C．5種 D．6種 7．如圖，∠1＝100，∠2＝145，則∠3＝(　　) A．55 B．65 C．75 D．85 8．如圖，點P是AB上任意一點，∠ABC＝∠ABD，還應補充一個條件，

17、才能推出△APC≌△APD.從下列條件中補充一個條件，不一定能推出△APC≌△APD的是(　　) A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB 9．以下圖形中，面積最大的是(　　) A．對角線長為6和10的菱形 B．邊長為6的正三角形 C．半徑為的圓 D．邊長分別為6、8、10的三角形 10．如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處，且DE∥BC，下列結論中，一定正確的個數(shù)是(　　) ①△BDF是等腰三角形； ②DE＝BC； ③四邊形ADFE是菱形； ④∠BDF＋∠

18、FEC＝2∠A. A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空題 11．如圖所示，將△ABC沿著DE翻折，B點落到了B′點處．若∠1＋∠2＝80，則∠B′＝________. 12．如圖，D是AB邊上的中點，將△ABC沿過點D的直線折疊，使點A落在BC邊上的F處，若∠B＝50，則∠BDF＝________度． 13．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若△ABC的周長為10 cm，則△DEF的周長是________ cm. 14．如圖，三角形紙片ABC中，∠A＝65，∠B＝75，將紙片的一角折疊，使點C落在△

19、ABC內，若∠1＝20，則∠2的度數(shù)為________． 15．如下圖，觀察圖中每一個大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個大三角形中白色三角形有________個． … 三、解答題 16．如圖，點B、E、C、F在一條直線上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D. 求證：△ABC≌△DEF. 17．已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，EA⊥AD，F(xiàn)D⊥AD，AE＝DF，AB＝DC. 求證：∠ACE＝∠DBF. 精銳教育網(wǎng)站：www.1smart.org - 6 - 精銳教育 考試研究院