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1、一階微分方程的一題多解
摘要】本文采用不同的方法對一道一階微分方程的題目進行求解，并由此體現(xiàn)出初等解法在一階微分方程求解中的多樣性.【關鍵詞】積分因子法；分項組合；一階微分方程；常數(shù)變易本文采用五種方法求解微分方程ydx-〔x+y3〕dy=0.具體如下：解法一〔積分因子公式法〕由方程知M=y，N=-〔x+y3〕，又My≠Nx，故原方程為非恰當方程，又由My-Nx-M=-2y只和y有關，所以原方程有只和y有關的積分因子μ〔y〕=e∫-2ydy=1y2，原方程兩邊同乘1y2得1ydx-xy2+ydy=0，其中，M=1y，N=-xy2-y，My=Nx=-1y2，故此方程為恰當方程.設u〔x，y〕
2、=∫1ydx+φ〔y〕，那么uy=y∫1ydx+φ′〔y〕=-xy2-y，得φ′〔y〕=-y，那么φ〔y〕=∫-ydy=-12y2+c，從而原方程的通解為-12y2+xy=c〔c為任意常數(shù)〕.解法二〔觀察法〕通過觀察得積分因子μ=1y2，將1y2乘原方程兩邊得1ydx-xy2+y=0，即-ydy+ydx-xdyy2=d-12y2+xy，故原方程的通解為-12y2+xy=c〔c為任意常數(shù)〕.解法三〔常數(shù)變易法〕原方程可變形為dydx=yx+y3，將y看作自變量，x看作因變量，原方程可化為dxdy=xy+y2，下面分兩步進行求解：〔1〕先求對應齊次線性微分方程dxdy=1y的解.由公式x=ce∫p
3、〔x〕dy得x=ce∫1ydy=cy.〔2〕利用常數(shù)變易：設x=c〔y〕y為原方程的解，代入dxdy=xy+y2得c′〔y〕y+c〔y〕=c〔y〕+y2，易得c′〔y〕=y，那么c〔y〕=∫ydy=12y2+c，故原方程的通解為-12y2+xy=c〔c為任意常數(shù)〕.解法四〔一階非齊次線性公式法〕將x看作因變量，y看作因變量，原方程可化為dxdy=xy+y2，其中，p〔y〕=1y，q〔y〕=y2，由公式x=e∫p〔y〕dy∫q〔y〕e-∫p〔y〕dydy+c得x=e∫1ydy∫y2e-∫1ydydy+c=y12y2+c，故原方程的通解為-12y2+xy=c〔c為任意常數(shù)〕.解法五〔曲線積分法〕通過觀察得積分因子μ=1y2，將1y2乘原方程兩邊得1ydx-xy2+y=0，為恰當方程，用曲線積分法求解.取x0=0，y0=0，那么u〔x，y〕=∫x01ydx+∫y0-ydy=1yx-12y2，故原方程的通解為-12y2+xy=c〔c為任意常數(shù)〕.【參考文獻】【1】趙臨龍.常微分方程[M].武漢：華中師范大學出版社，2021.【2】王克，潘家齊.常微分方程學習指導[M].北京：高等教育出版社，2021.
一階微分方程的一題多解
