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1、Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,單擊此處編輯母版標題樣式,內(nèi)容提要,1.,元素法；,2.,平面圖形的,面積；,3.,立體的體積。,教學(xué)要求,1.,熟練掌握應(yīng)用微元法去解決積分中的實,際應(yīng)用題；,2.,熟悉各種平面面積的積分表達方法；,3.,熟練掌握應(yīng)用微元法求體積的方法；,4.,能用定積分表達某些物理量。,定積分的應(yīng)用,回顧,用定積分求曲邊梯形面積的問題：,及直線,所圍成的
2、曲邊梯形的面積,其求解步驟如下：,a,b,x,y,o,一、定積分的微元法,a,b,x,o,第一步：分割,將區(qū)間,任意分成,個小區(qū)間,由此曲邊梯形就相應(yīng)地分成,個小曲邊梯形。,第二步：近似,形面積之和,即,所求的曲邊梯形面積,A,為每個小曲邊梯,為底,的小矩形面積,近似代替小曲邊梯形面積,第三步：求和,第四步：取極限,總結(jié)：,上述四步中，由第一步知，,有關(guān)，,部分量的和，,可加性,.,分成許多小區(qū)間，,的面積,A,這個量就相應(yīng)地分成許多部分量，,如果把區(qū)間,具有,這種性質(zhì)稱為所求量,A,對區(qū)間,則所求,而,A,是所有,a,b,x,o,所求面積,A,這個量與,就是定積分的被積表達式,a,b,x,o
3、,上述第二步中的近似表達式,可確定定積分的被積表達式,方法是：,于是有,再將區(qū)間,則,可寫為,稱,為面積,A,的微元，,于是,即,記為,一般地，當所求量,F,符合下列條件：,以上方法稱為,這就給出了定積分的被積表達式,于是,“,微元法”,微元法解決實際問題的一般步驟如下：,(1),根據(jù)問題的具體情況，,選取一個變量,例如取,為積分變量，,并確定它的變化區(qū)間,以上步驟要熟練掌握,!,如：平面圖形的面積；,引力和平均值,;,液體的壓力；,變力做功；,平面曲線的弧長；,體積；,注意,微元法解決實際問題的使用對象：,具有可加性的量,等等,.,二、平面圖形的面積,1,）如果,則,S,S,即,（一）、在直
4、角坐標系下的面積問題,如圖,則,熟記,用微元法：,c,d,熟記,用微元法：,所圍成的圖形,例,1,計算由拋物線,的面積,A.,解,用微元法,確定積分區(qū)間：,解,方法一：選擇,x,作積分變量,1,從而得到積分區(qū)間,區(qū)間上任取一小區(qū),間,dA,面積微元,o,x,y,確定積分區(qū)間：,面積微元,方法二：選擇,y,作積分變量,解得,y=0,y=1,從而得到積分區(qū)間,區(qū)間上任取一小區(qū),間,1,y,y+dy,dA,解,求兩曲線的交點,選 為積分變量,選,x,作積分變量時，需求,兩塊面積,y,y+dy,作面積微元,dA,dA,成的圖形的面積,.,解,由對稱性知總面積等于,4,倍第一象限部分面積,注意：,如果曲
5、邊梯形的曲邊,的方程為參數(shù)方程：,o,曲邊梯形的面積,由上例可知：,解,由對稱性知總面積等于,4,倍第一象限部分面積,注意：,練習(xí),面積微元,曲邊扇形的面積,（二）、在極坐標系下的面積問題,所圍成的圖形，,稱為曲邊扇形,.,解,用微元法,解,解,所圍平面圖形的面積,A.,例,2,求心形線,解,由對稱性知總面積,=4,倍第一象限部分面積,求雙紐線,所圍平面圖形的面積,.,練習(xí),2.,在極坐標系下的面積問題,三、體積,旋轉(zhuǎn)體,圓柱,圓錐,圓臺,（一）、旋轉(zhuǎn)體的體積,由一個平面圖形繞這個平面內(nèi)一條,直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,這直線叫做,旋轉(zhuǎn)軸,取橫坐標,x,為積分變量,一般地,軸所圍成的曲邊梯形,及,
6、x,軸旋轉(zhuǎn)一周而成,繞,x,由連續(xù)曲線,直線,的立體,它的變化區(qū)間為,相應(yīng)于,上任一小區(qū),小曲邊梯形,繞,x,軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片,近似地等于以,f(x),為底面半徑、,dx,為高的圓柱體的,體積，,即體積微元為,于是，在閉區(qū)間,a,b,上作定積分，,得所求旋轉(zhuǎn)體,體積為,的體積,例,1,圓錐體的體積,解,直線 的方程為,利用旋轉(zhuǎn)體體積公式，,知：,例,2,計算橢圓,繞,x,軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)體,的體積,.,解,這個旋轉(zhuǎn)體可以看成,以半個橢圓,繞,x,軸旋轉(zhuǎn)而成的立體,取積分變量為,x,利用,旋轉(zhuǎn)體體積公式,，知：,所求的體積為,求星形線,繞,x,軸旋轉(zhuǎn),構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積,.,解,由,旋轉(zhuǎn)體的體積
7、公式,，知：,練習(xí),類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線,),(,y,x,j,=,直線,c,y,=,、,d,y,=,及,y,軸所圍成的曲邊梯形,繞,y,軸旋轉(zhuǎn),體積為,熟記,一周而成的立體，,例,3,旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的,體積,.,圖形,解,（二）、平行截面面積為已知的立體的體積,設(shè)一立體位于 過點,x=a,x=b 且垂直于 x 軸的兩平面之間，,從而,用垂直于,x,軸的任一平面截此立體所得的截面積,A(x),是,x,的已知函數(shù)，,x,取,x 為積分變量，在區(qū)間 a,b 上任取一小區(qū)間,過其端點作垂直 x 軸的平面，,x,x+dx,作體積微元：,x,x+dx,x,x+dx,，,以,A(x),為底，,dx,為高作柱體，,用微元法：,解,取坐標系如圖,底半圓方程為,截面面積,立體體積,而垂直于底面上一條固,定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積,.,解,設(shè)截面面積為,取坐標系如圖,底圓方程,練習(xí),解,設(shè)截面面積為,c,d,恰當?shù)?選擇積分變量,有助于簡化積分運算,.,小結(jié),1.,在直角坐標系下的面積問題,注意：,
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