線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,目錄(1/1),目 錄,,,概述,,4.1,線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性,,4.2,線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性,,4.3,線性定常離散系統(tǒng)的能控性和能觀性,,4.4,對(duì)偶性原理,,4.5,線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分解和零極點(diǎn)相消,,4.6,能控規(guī)范形和能觀規(guī)范形,,4.7,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題,,4.8 Matlab,問(wèn)題,,本章小結(jié),,線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性(1/2),4.2,線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性,,,本節(jié)主要討論線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性問(wèn)題。,,,關(guān)鍵問(wèn)題,:,,1. 基本概念,:,狀態(tài)能觀性,,2. 基本方法,:,狀

2、態(tài)能觀性的判別方法,,3. 狀態(tài)能觀性的物理意義和在狀態(tài)空間中的幾何意義,,,線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀性(2/2),本節(jié)首先從物理直觀性來(lái)討論狀態(tài)能觀性的基本含義,,,然后再引出狀態(tài)能觀性的定義。,,下面將看到,,,這種從直觀到抽象的討論,,,對(duì)于理解能觀性嚴(yán)格定義的確切含義是有益的。,,,本節(jié)講授順序?yàn)?:,,能觀性的直觀討論,,狀態(tài)能觀性的定義,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù),,能觀性的直觀討論,(1,/14),4.2.1,能觀性的直觀討論,,,狀態(tài)能觀性反映系統(tǒng)外部可直接或間接測(cè)量的輸出,y,(,t,),和輸入,u,(,t,),來(lái)確定或識(shí)別系統(tǒng)狀態(tài)的能力。,,如果系統(tǒng)的任何內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化

3、都可由系統(tǒng)的外部輸出和輸入唯一地確定,,,那么稱(chēng)系統(tǒng)是能觀的,,,,或者更確切地說(shuō),,,是狀態(tài)能觀的。,,否則,,,就稱(chēng)系統(tǒng)為狀態(tài)不完全能觀的。,,,下面通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明能觀性的意義。,,能觀性的直觀討論,(2,/14),例,,考慮,右圖所示的,電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)由輸出變量的值確定狀態(tài)變量值的能力問(wèn)題。,當(dāng)電阻,R,1,=,R,2,,,電感,L,1,=,L,2,,,輸入電壓,u,(,t,)=0,以及,兩個(gè)狀態(tài)變量的初始狀態(tài),x,1,(,t,0,)=,x,2,(,t,0,),且為任意值時(shí),,,必定有,i,3,(,t,)=0,,即輸出變量,y,(,t,),恒為零。,,因此,,,由恒為零的輸出,y,(,t

4、,),顯然不能確定通過(guò)兩個(gè)電感的電流值,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),,即由輸出,y,(,t,),不能確定狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值。,該電網(wǎng)絡(luò)模型中,,,u,(,t,),為輸入電壓,,,y,(,t,),,=,i,3,(,t,),為輸出變量,,,通過(guò)兩電感的電流,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),分別為狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)。,圖,4-4,電網(wǎng)絡(luò),,能觀性的直觀討論,(3,/14),但當(dāng)電阻,R,1,?,R,2,或電感,L,1,?,L,2,時(shí),,,則上述由輸出,y,(,t,),不能確定狀態(tài)變量,x,1,(,t

5、,),和,x,2,(,t,),的值的特性可能不成立。,,這種能由輸出變量值確定狀態(tài)變,量值的特性稱(chēng)為狀態(tài)能觀,,,若由輸出變量值不能唯一確定出狀態(tài)變量值的特性則稱(chēng)為狀態(tài)不能觀。,,能觀性的直觀討論,(,4/14),從狀態(tài)空間模型上看，,,當(dāng)選擇,兩電感的電流,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),分別為狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)時(shí)，狀態(tài)空間模型為,,能觀性的直觀討論,(,5/14),當(dāng)電路中電阻值,R,1,=,R,2,=,R,,,電感值,L,1,=,L,2,=,L,時(shí),,,若輸入電壓,u,(,t,),突然短路,,,即,u,(,t,)=0,,則狀態(tài)方程為,,,,,

6、,顯然,,,當(dāng)狀態(tài)變量的初始狀態(tài)為,x,1,(,t,0,)=,x,2,(,t,0,),且為任意值時(shí),,,上述狀態(tài)方程的解必有,x,1,(,t,)=,x,2,(,t,),,故有,y,(,t,)=,i,3,(,t,)=0,,即輸出變量,y,(,t,),恒為零。,,因此,,,由觀測(cè)到的恒為零的輸出變量,y,(,t,),不能確定狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值,,,即由輸出,i,3,(,t,),不能確定通過(guò)兩個(gè)電感的電流值,i,1,(,t,),和,i,2,(,t,),。,,能觀性的直觀討論,(,6/14),但當(dāng)電路中電阻值,R,1,≠,R,2,或電感值,L,1,≠,L,2,時(shí)

7、,,,則上述由輸出,y,(,t,),不能確定狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),的值的特性可能不成立。,,這種由可測(cè)量的輸出變量的值能惟一確定狀態(tài)變量的值的特性稱(chēng)為狀態(tài)能觀,,,若不能惟一確定則稱(chēng)為狀態(tài)不能觀。,,能觀性的直觀討論,(,7/14),補(bǔ)充例,1,,右圖所示的電網(wǎng)絡(luò)中,,,電源電壓,u,(,t,),為輸入,,,電壓,y,(,t,),為輸出,,,并分別取電容電壓,u,C,(,t,),和電感電流,i,L,(,t,),為狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,)。,因此,,,由輸出變量,y,(,t,),顯然不能確定電壓值,u,C,(,t,),,即由輸出,y,(

8、,t,),不能確定狀態(tài)變量,x,1,(,t,),的值。,,故,,,該電網(wǎng)絡(luò)在開(kāi)關(guān),K,斷開(kāi)后,,,是狀態(tài)不能觀的。,當(dāng)開(kāi)關(guān),K,在,t,0,時(shí)刻斷開(kāi)后,,,顯然電容,C,和電阻,R,1,構(gòu)成一階衰減電路,,,電容電壓,u,C,(,t,),的變化只與初始狀態(tài),u,C,(,t,0,),有關(guān),,,與衰減電路外其他信號(hào)無(wú)關(guān)。,,能觀性的直觀討論,(,8/14),例,,考慮間歇化學(xué)反應(yīng)器的由輸出變量的值確定狀態(tài)變量的值的能力問(wèn)題。,,設(shè)間歇化學(xué)反應(yīng)器內(nèi)進(jìn)行如下常見(jiàn)的化學(xué)反應(yīng),,,式中，,k,1,和,k,2,為反應(yīng)速率常數(shù)。,,上述化學(xué)反應(yīng)式可代表一大類(lèi)化工操作,,,通常希望中間產(chǎn)物,B,的產(chǎn)量盡可能大,

9、,,副產(chǎn)品,C,盡可能小,,,因而要求防止后面的反應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行下去。,,能觀性的直觀討論,(,9/14),設(shè)上述化學(xué)反應(yīng)式中的第,1,步反應(yīng)是二級(jí)反應(yīng),,,第,2,步反應(yīng)是一級(jí)反應(yīng)。,,這樣,,,可得如下間歇化學(xué)反應(yīng)器內(nèi)的物料平衡方程,(,狀態(tài)方程,),和輸出方程,,,,,,式中，,C,1,(,t,),、,C,2,(,t,),和,C,3,(,t,),分別是,A,、,B,和,C,的濃度。,,能觀性的直觀討論,(,10/14),由上述物料平衡的動(dòng)態(tài)方程可知,,,副產(chǎn)品,C,的濃度,C,3,(,t,),的值不僅決定于產(chǎn)品,B,的濃度,C,2,(,t,),,而且還決定于,C,3,(,t,),在初始時(shí)刻,

10、t,0,的值,C,3,(,t,0,),。,因此,,,若在生產(chǎn)過(guò)程中,,,能直接檢測(cè)到的輸出量為產(chǎn)品,B,的濃度,C,2,(,t,),,,則副產(chǎn)品,C,的濃度,C,3,(,t,),的值是不可知的,,,即為不能觀的。,,若選擇,C,1,(,t,),,,C,2,(,t,),和,C,3,(,t,),為狀態(tài)變量,,,則上述化學(xué)反應(yīng)過(guò)程為狀態(tài)不完全能觀的。,,,上面用實(shí)際系統(tǒng)初步說(shuō)明了能控性的基本含義,,,能控性在系統(tǒng)狀態(tài)空間模型上的反映可由如下兩個(gè)例子說(shuō)明。,,能觀性的直觀討論,(,11/14),補(bǔ)充例,,給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型與結(jié)構(gòu)圖分別為,本例中,,,輸出變量,y,(,t,),即為狀態(tài)變量,x,1,

11、(,t,)。,,因此,,,由,y,(,t,),的測(cè)量值可直接得到,x,1,(,t,),的值,,,即狀態(tài)變量,x,1,(,t,),可由輸出唯一確定。,1/s,-2,-2,1/s,,能觀性的直觀討論,(,12/14),而由狀態(tài)變量,x,2,(,t,),所滿(mǎn)足的狀態(tài)方程及其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的解可知,,,x,2,(,t,),的運(yùn)動(dòng)軌跡由,x,2,(,t,),的初始狀態(tài),x,2,(,t,0,),,x,1,(,t,),和輸入,u,(t),三者共同決定。,因此,,,由測(cè)量到的輸出,y,(,t,),和輸入,u,(t),并不能唯一確定出狀態(tài)變量,x,2,(,t,),的值,,,即狀態(tài),x,2,(,t,),是狀態(tài)不能觀的。

12、,,因此,,,整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全能觀的。,,能觀性的直觀討論,(,13/14),補(bǔ)充例,給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,由狀態(tài)方程可知,:,,狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),可分別由初始狀態(tài),x,1,(,t,0,),和,x,2,(,t,0,),唯一決定,,,并可表示為,,x,i,(,t,)=e,-,t,x,i,(0),i,=1,2,,能觀性的直觀討論,(,14/14),因此,,,輸出變量,y,(,t,),可表示為,,y,(,t,)=e,-,t,[,x,1,(0),+,x,2,(0)],,由,y,(,t,),的解可知,,,由,y,(,t,),并不能唯一地分別確定初始狀態(tài),x,

13、1,(,t,0,),和,x,2,(,t,0,),,進(jìn)而唯一地確定狀態(tài)變量,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),,,即,x,1,(,t,),和,x,2,(,t,),是狀態(tài)不能觀的,,,整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)是不完全能觀的。,,,前面幾個(gè)例子,,,可通過(guò)直觀分析來(lái)討論系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,,,但對(duì)維數(shù)更高、更復(fù)雜的系統(tǒng),,,直觀判斷能觀性是困難的。,,下面將通過(guò)給出狀態(tài)能觀性的嚴(yán)格定義,,,來(lái)導(dǎo)出判定狀態(tài)能觀性的充要條件。,,狀態(tài)能觀性的定義,(1/6),4.2.2,狀態(tài)能觀性的定義,,,對(duì)線性系統(tǒng)而言,,,狀態(tài)能觀性只與系統(tǒng)的輸出,y,(,t,),,以及系統(tǒng)矩陣,A,和輸出矩陣,C,有關(guān),,,與系統(tǒng)

14、的輸入,u,(,t,),和輸入矩陣,B,無(wú)關(guān),,,,即討論狀態(tài)能觀性時(shí),,,只需考慮系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)即可。,上述結(jié)論可證明如下,:,對(duì)線性定常系統(tǒng),?,(,A,,,B,,,C,),,其狀態(tài)和輸出的解分別為,簡(jiǎn)單否?,,狀態(tài)能觀性的定義,(2/6),因?yàn)榫仃?A,,,B,,,C,和,輸入,u,(,t,)均,已知,,,故上式的右邊第二項(xiàng)可以計(jì)算出來(lái),,,也是已知項(xiàng)。故可以定義如下輔助輸出,:,研究狀態(tài)能觀性問(wèn)題,,,即為上式對(duì)任意的初始狀態(tài),x,(,t,0,),能否由輔助輸出,y,-,(,t,),來(lái)唯一確定的問(wèn)題。,,所以線性系統(tǒng)狀態(tài)能觀性?xún)H與輸出,y,(,t,),,以及系統(tǒng)矩陣,A,和輸出矩陣,C

15、,有關(guān),,,與輸入矩陣,B,和輸入,u,(,t,),無(wú)關(guān)。,,也就是說(shuō),,,分析線性系統(tǒng)的能觀性時(shí),,,只需考慮齊次狀態(tài)方程和輸出方程即可。,,因此,,,我們有如下線性系統(tǒng)狀態(tài)能觀性的定義。,,,對(duì)線性連續(xù)系統(tǒng),,,我們有如下?tīng)顟B(tài)能觀性定義。,,狀態(tài)能觀性的定義,(3/6)—能觀性定義,定義,4-3,,若線性連續(xù)系統(tǒng),對(duì)初始時(shí)刻,t,0,(,t,0,?,T,,,T,為時(shí)間定義域)和初始狀態(tài),x,(,t,0,),,,存在另一有限時(shí)刻,t,1,(,t,1,>,t,0,,,t,1,?,T,),,,根據(jù)在有限時(shí)間區(qū)間[,t,0,,,t,1,],內(nèi)量測(cè)到的輸出,y,(,t,),,,能夠唯一地確定系統(tǒng)在,

16、t,0,時(shí)刻的初始狀態(tài),x,(,t,0,),,,則稱(chēng)在,t,0,時(shí)刻的狀態(tài),x,(,t,0,),能觀;,,若對(duì),t,0,時(shí)刻的狀態(tài)空間中的所有狀態(tài)都能觀,,,則稱(chēng)系統(tǒng)在,t,0,時(shí)刻狀態(tài)完全能觀;,,狀態(tài)能觀性的定義,(4/6)—能觀性定義,若系統(tǒng)在所有時(shí)刻狀態(tài)完全能觀,,,則稱(chēng)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀,,,簡(jiǎn)稱(chēng)為系統(tǒng)能觀。,,即,,,若邏輯關(guān)系式,為真,,,則稱(chēng)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。,,若存在某個(gè)狀態(tài),x,(,t,0,),不滿(mǎn)足上述條件,,,稱(chēng)此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀的,,,簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)為狀態(tài)不能觀。 □,,狀態(tài)能觀性的定義,(5/6),對(duì)上述狀態(tài)

17、能觀性的定義有如下注記。,,1.,對(duì)于線性定常系統(tǒng),,,由于系統(tǒng)矩陣,A,(,t,),和輸出矩陣,C,(,t,),都為常數(shù)矩陣,,,與時(shí)間無(wú)關(guān),,,,因此不必在定義中強(qiáng)調(diào)“在所有時(shí)刻狀態(tài)完全能觀”,,,,而為“某一時(shí)刻狀態(tài)完全能觀,,,則系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀”。,,即,,,若邏輯關(guān)系式,為真,,,則稱(chēng)線性定常連續(xù)系統(tǒng),?(,A,,,C,),狀態(tài)完全能觀。,,狀態(tài)能觀性的定義,(6/6),2.,上述定義中的輸出觀測(cè)時(shí)間為[,t,0,,,t,1,],,并要求,t,0,>,t,0,。,這是因?yàn)?,,輸出變量,y,(,t,),的維數(shù),m,一般總是小于狀態(tài)變量,x,(,t,),的維數(shù),n,。,否則,,,若,

18、m,=,n,且輸出矩陣,C,(,t,),可逆,,,則,,x,(,t,)=,C,-1,(,t,),y,(,t,),,即狀態(tài)變量,x,(,t,)可直接由輸出,y,(,t,)確定,。由于,m,<,n,,,為了能唯一地求出狀態(tài)變量的值,,,不得不依靠在一定區(qū)間內(nèi)測(cè)量得的連續(xù)(或有限幾組)輸出值以確定系統(tǒng)狀態(tài)。,,3.,在定義中把能觀性定義為對(duì)初始狀態(tài)的確定,,,這是因?yàn)?,,一旦確定初始狀態(tài),,,便可根據(jù)狀態(tài)方程的解表達(dá)式,,,由初始狀態(tài)和輸入,,,計(jì)算出系統(tǒng)各時(shí)刻的狀態(tài)值。,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù),(1/1),4.2.3,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性判據(jù),,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性

19、判據(jù)有許多不同形式,,,下面分別討論,,代數(shù)判據(jù),和,,模態(tài)判據(jù),。,,代數(shù)判據(jù),(1/13),1.,,代數(shù)判據(jù),,,定理,4-7,(,線性定常離散系統(tǒng)能控性秩判據(jù),),,線性定常連續(xù)系統(tǒng),?,(,A,,,C,),狀態(tài)完全能觀的充要條件為下述條件之一成立,:,,1.,矩陣函數(shù),C,e,At,的各列函數(shù)線性獨(dú)立,,,即不存在非零常數(shù)向量,f,?,R,n,,,使得,,C,e,At,f,?,0,,2.,如下定義的能觀性矩陣,滿(mǎn)秩,,,即,rank,Qo,=,n,,比較一下能控性矩陣,,代數(shù)判據(jù),(2/13)--代數(shù)判據(jù)定理證明,rank,Q,o,=,n,,,□,,,證明,,對(duì)于線性定常系統(tǒng),,,由能

20、觀性定義可知,,,其狀態(tài)能觀性與初始時(shí)刻無(wú)關(guān)。,,因此,,,不失一般性,,,可設(shè)初始時(shí)刻,t,0,為0。,,根據(jù)第,3,章中輸出方程解的表達(dá)式,,,有,,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),,由能觀性的定義可知,,,線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)是否完全能觀,,,等價(jià)于上述方程是否有,x,(0),的唯一解問(wèn)題。,,下面將利用上述方程分別證明判別狀態(tài)能觀性的上述兩個(gè)充要條件。,,代數(shù)判據(jù),(3/13),(1) 證明條件1。 先證充分性(條件,?,結(jié)論)。,,即證明,,,若,C,e,At,的各列函數(shù)線性獨(dú)立,,,則系統(tǒng)狀態(tài)能觀,。,,用反證法證明,:,設(shè)狀態(tài)不能觀,,,但,C,e,At,的各列函數(shù)

21、線性獨(dú)立。,,充分性反證法證明的思路,狀態(tài)不能觀,存在兩個(gè)不同的初始狀態(tài),x,1,(0),和,x,2,(0)所,對(duì)應(yīng)的輸出完全一致,由輸出的解的表達(dá)可得,:,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),與假設(shè)矛盾,,,充分性得證,證明過(guò)程,:,,代數(shù)判據(jù),(4/13),狀態(tài)不能觀,,,則意味著存在某一初始狀態(tài),x,(0),由,有限時(shí)間區(qū)間[,t,0,,,t,1,]內(nèi),觀測(cè)到的輸出,y,(,t,),,由方程,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),得不到,x,(0),的唯一解。,,設(shè),x,1,(0),和,x,2,(0),分別是由方程,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),確定出的兩個(gè)不同初始狀態(tài)

22、,,,即,x,1,(0),和,x,2,(0),分別滿(mǎn)足,,y,(,t,)=,C,e,At,x,1,(0),?,t,?0,,y,(,t,)=,C,e,At,x,2,(0),?,t,?0,,將上述兩式相減,,,可得,,0,=,C,e,At,[,x,1,(0)-,x,2,(0)],?,t,?0,,而,x,1,(0)-,x,2,(0),為非零向量,,,因此上式恒成立的條件為,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān)。這與前面的推論產(chǎn)生矛盾,,,,故原假定系統(tǒng)狀態(tài)不能觀,,,但,C,e,At,的各列函數(shù)線性獨(dú)立是不成立的。,,代數(shù)判據(jù),(5/13),因此,,,充分性得證。,,,再證必要性(結(jié)論,?,條件)。,,

23、即證明,,,若系統(tǒng)狀態(tài)能觀,,,則,C,e,At,的各列函數(shù)線性獨(dú)立。,,用反證法證明,。,設(shè),C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),,,但狀態(tài)能觀。,,必要性的反證法證明思路,:,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),存在某非零初始狀態(tài),f,與零初始狀態(tài)的輸出均為0,由0輸出不能確定初始狀態(tài)是為零或者為,f,狀態(tài)不完全能觀,與假設(shè)矛盾,,,必要性得證,,代數(shù)判據(jù),(6/13),證明過(guò)程,:,,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),,,即存在非零向量,f,?,R,n,,,使得,,C,e,At,f,?,0,,因此,,,若,x,(0)=,f,,,則有,,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0)=0,?,t,

24、?0,,而當(dāng),x,(0)=0,時(shí),,,系統(tǒng)輸出亦恒為零。因此,,,當(dāng)系統(tǒng)輸出恒為零時(shí),,,由方程,y,(,t,)=,C,e,At,x,(0),不能確定出初始狀態(tài),x,(0)=,f,或0,,,即有部分狀態(tài)不能觀。這與前面的假設(shè)矛盾,,,,故原假定,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),,,但狀態(tài)能觀是不成立的。,,因此,,,必要性得證。,,代數(shù)判據(jù),(7/13),(2) 下面通過(guò)證明,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān)等價(jià)于能觀性矩陣,Q,o,非滿(mǎn)秩來(lái)證明定理中的條件(2)。即證明,,(結(jié)論,A),若,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),,,則能觀性矩陣,Q,o,非滿(mǎn)秩,,,以及,,(結(jié)論,B),若能觀

25、性矩陣,Q,o,非滿(mǎn)秩,,,則,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),。,,下面分別加以證明。,,代數(shù)判據(jù),(8/13),先證結(jié)論,A,。,,即需證明,:,若,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),,,則能觀性矩陣,Q,o,非滿(mǎn)秩。,,若,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),,,則存在非零向量,f,使得,,C,e,At,f,?,0,,由于,C,e,At,連續(xù)并有無(wú)窮階導(dǎo)數(shù),,,因此,,,若上式對(duì)任意時(shí)間,t,恒成立,,,則對(duì)該方程的兩邊求任意階導(dǎo)數(shù)方程依然成立,,,即,,CA,e,At,f,?,0,,CA,2,e,At,f,?,0,,……,,CA,n,-1,e,At,f,?,0,,代數(shù)判據(jù),(9/13)

26、,令上述兩式的,t,=0,,則有,,因此,,,若,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān),,,則能觀性矩陣,Q,o,非滿(mǎn)秩,,,即,結(jié)論,A,成立。,,代數(shù)判據(jù),(10/13),再證結(jié)論,B,。,,即需證明,:,若則能觀性矩陣,Q,o,非滿(mǎn)秩,,,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān)。,,若能觀性矩陣,Q,o,非滿(mǎn)秩,,,即式(,4-26),式成立,,,則存在非零向量,f,使得,成立。由凱萊-哈密頓定理,,,有,,代數(shù)判據(jù),(11/13),因此有,即,,,若能觀性矩陣,Q,o,非滿(mǎn)秩,,,則,C,e,At,的各列函數(shù)線性相關(guān)。因此,結(jié)論,B,得證。,,,綜合上述過(guò)程,,,則證明了,C,e,At,的各列函

27、數(shù)線性相關(guān)等價(jià)于能觀性矩陣,Q,o,非滿(mǎn)秩。,,故由定理的條件(1)可知,,,能觀性矩陣,Q,o,滿(mǎn)秩亦為線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能觀的充要條件。,,代數(shù)判據(jù),(12/13),定理,4-7,給出的是線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能觀性充要的兩個(gè)判據(jù),,,可直接用于能觀性判定。,,由于檢驗(yàn),C,e,At,的各列是否函數(shù)線性獨(dú)立相對(duì)困難一些,,,因此實(shí)際應(yīng)用中通常用定理,4-7,的條件(2)。,,條件(2)我們亦稱(chēng)為線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)能觀性的代數(shù)判據(jù)。,,代數(shù)判據(jù),(13/13)—例,7,例,4-7,,試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,解,,由狀態(tài)能觀性的代數(shù)判據(jù)有,而系統(tǒng)的狀態(tài)變量的維數(shù),n,=2,,所以系統(tǒng)狀態(tài)

28、不完全能觀。,,模態(tài)判據(jù)(1,/12),2.,模態(tài)判據(jù),,,在給出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù)之前,,,先討論狀態(tài)能觀性的如下性質(zhì),:,,線性定常系統(tǒng)經(jīng)線性變換后狀態(tài)能觀性保持不變,。,,,下面對(duì)該結(jié)論作簡(jiǎn)單證明。設(shè)線性變換陣為,P,,,則系統(tǒng),?,(,A,,,C,),經(jīng)線性變換 后為,,,,并有,,模態(tài)判據(jù)(2,/12),因此系統(tǒng),,的狀態(tài)能觀性等價(jià)于,?,(,A,,,C,),的狀態(tài)能觀性,,,即線性變換不改變狀態(tài)能觀性。,,基于上述結(jié)論,,,可利用線性變換將一般狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,(,對(duì)角線規(guī)范形為其特例,),,通過(guò)分析約旦規(guī)范形的能觀性來(lái)分析原狀態(tài)

29、空間模型的能觀性。,,下面討論線性定常連續(xù)系統(tǒng)約旦規(guī)范形的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù)。,,2.模態(tài)判據(jù)(3,/12),定理,4-8,,對(duì)為約旦規(guī)范形的線性定常連續(xù)系統(tǒng),?,(,A,,,C,),,有,:,,1.,若,A,為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,,,則系統(tǒng)能觀的充要條件為,,對(duì)應(yīng),A,的每個(gè)約旦塊的,C,的分塊的第一列都不全為零,;,,2.,,若,A,為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,,,則系統(tǒng)能觀的充要條件為,,對(duì)應(yīng),A,的每個(gè)特征值的所有約旦塊的,C,的分塊的第一列線性無(wú)關(guān),。,,2.模態(tài)判據(jù)(4,/12),定理,4-8,的證明可直接由定理,4-7,而得。,,,對(duì)定理,4-8,作

30、兩點(diǎn)說(shuō)明,:,,狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù)討論的是約旦規(guī)范形。,,若系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型不為約旦規(guī)范形,,,則可根據(jù)線性變換不改變狀態(tài)能觀性的性質(zhì),,,先將狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,,,然后再利用定理,4-8,來(lái)判別狀態(tài)能觀性;,,定理,4-8,不僅可判別出狀態(tài)能觀性,,,而且更進(jìn)一步地指出是系統(tǒng)的哪一模態(tài)(特征值或極點(diǎn))和哪一狀態(tài)不能觀。,,這對(duì)于進(jìn)行系統(tǒng)分析、狀態(tài)觀測(cè)器和反饋校正是非常有幫助的。,,2.模態(tài)判據(jù)(5,/12)—,例,8,例,4-8,,試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。,解,,由定理,4-8,可知,,,A,為特征值互異的對(duì)角線矩陣,,,但,C,中的第2列全為零,,,故該系統(tǒng)的狀態(tài),x,2

31、,不能觀,,,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。,狀態(tài)空間,x,1,-x,2,不完全能觀,狀態(tài)變量,x,1,完全能觀,狀態(tài)變量,x,2,完全不能觀,,模態(tài)判據(jù)(6,/12)—,例15,解,,由于,A,為每個(gè)特征值都只有一個(gè)約旦塊,,,且對(duì)應(yīng)于各約旦塊的,C,的分塊的第一列都不全為零,,,故系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀。,,模態(tài)判據(jù)(7,/12)—,例15,解,,由于,A,中特征值-4的兩個(gè)約旦塊所對(duì)應(yīng)的,C,的分塊的第一列線性相關(guān),,,該系統(tǒng)的狀態(tài),x,1,,,x,2,和,x,3,不完全能觀,,,則系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。,狀態(tài)空間,x,1,-x,2,-x,3,-x,4,不完全能觀,狀態(tài)變量,x,1,-x,2,-x,4,

32、不完全能觀,狀態(tài)變量,x,3,完全能觀,還能再分解否？,,模態(tài)判據(jù)(8,/12),由定理,4-8,的結(jié)論(,2),,對(duì)單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性,,,有如下推論。,,,推論,4-2,,若單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng),?,(,A,,,C,),的約旦規(guī)范形的系統(tǒng)矩陣為某個(gè)特征值有多于一個(gè)約旦塊的約旦矩陣,,,則該系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。,,,定理,4-8,所給出的狀態(tài)能觀性的模態(tài)判據(jù)在應(yīng)用時(shí)需將一般的狀態(tài)空間模型變換成約旦規(guī)范形,,,屬于一種間接方法。,,下面我們給出另一種形式的狀態(tài)能觀性模態(tài)判據(jù),,,稱(chēng)為,PBH,秩判據(jù)。,,該判據(jù)屬于一種直接法。,,模態(tài)判據(jù)(9,/12)—,推論,4-2,與定理,4-9,定

33、理,4-9,,線性定常連續(xù)系統(tǒng),?,(,A,,,C,),狀態(tài)完全能觀的充要條件為,:,對(duì)于所有的,?,,,下式成立,:,該定理的證明可由定理,4-8,直接得到。,,對(duì)于所有的,?,,,直接檢驗(yàn)定理,4-9,的條件較困難。,,可以證明,,,定理,4-9,的條件式對(duì)于所有的,?,成立等價(jià)于其對(duì),A,的所有特征值成立。,,因此,,,應(yīng)用定理,4-9,時(shí),,,只需將,A,的所有特征值代入定理,4-9,的條件式,,,檢驗(yàn)其成立與否即可。,,模態(tài)判據(jù)(10,/12)—,例,9,例,4-9,,試判斷如下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。,解,由方程|,?,I,-,A,|=0,,可解得矩陣,A,的特征值分別為-1,,-2,和

34、-3。對(duì)特征值,?,1,=-1,,有,列,3=,列,2-,列,1,,模態(tài)判據(jù)(11,/12)—,例16,由定理,4-9,知,,,因?yàn)閷?duì)應(yīng)于特征值-1,,,定理,4-9,的條件不成立,,,故該系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀。,,模態(tài)判據(jù),(12,/12),能觀性判據(jù)小結(jié),判定方法,特點(diǎn),判據(jù),矩陣指數(shù)函數(shù)判據(jù),代數(shù)判據(jù),模態(tài)判據(jù)1,模態(tài)判據(jù)2,矩陣函數(shù),C,e,At,的各列函數(shù)線性獨(dú)立,能觀性矩陣,Q,o,滿(mǎn)秩,約旦標(biāo)準(zhǔn)形中同一特征值對(duì)應(yīng)的,C,矩陣分塊的第一列線性無(wú)關(guān),對(duì)于所有特征值,?,,,,rank[,?,I,-,A,?,,C,?,]=,n,需要求矩陣指數(shù)函數(shù)并判定函數(shù)相關(guān),,,計(jì)算復(fù)雜,計(jì)算簡(jiǎn)便可行。,,缺點(diǎn)為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))能觀,易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點(diǎn))能觀。,,缺點(diǎn)為需變換成約旦標(biāo)準(zhǔn)形,易于分析哪些特征值(極點(diǎn))能觀。,,缺點(diǎn)為需求系統(tǒng)的特征值,清楚了嗎?,,