彎曲應(yīng)力-正應(yīng)力及強(qiáng)度條件

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1、第五章,彎曲應(yīng)力,§5,-1 梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力,梁的,橫截面具有對(duì)稱(chēng)軸,,,對(duì)稱(chēng)軸與軸線組成,縱向?qū)ΨQ(chēng)面,,,,如果所有的,外載荷都作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi),,,,梁的軸線在,縱向?qū)ΨQ(chēng)平面內(nèi)彎曲成一條平面曲線,。,平面彎曲:,P,P,P,,彎曲內(nèi)力,彎矩,剪力,由正應(yīng)力構(gòu)成,由剪應(yīng)力構(gòu)成,M,Pa,P,P,Q,橫力彎曲,純彎曲,a,,a,,,P,P,x,,y,,A,B,C,D,AB,段和,CD,段:,BC,段:,梁純彎曲時(shí)的正應(yīng)力,一、變形觀察,1. 橫向線仍為直線,但相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng),;,2. 縱向線由直線變成曲線,有的伸長(zhǎng),有的縮短;,3. 縱向線與橫向線仍然互相垂直。,dx,n,1,m,1,m,2

2、,n,2,o,1,a,1,a,2,b,1,b,2,o,2,m,1,n,1,m,2,n,2,a,1,a,2,o,1,o,2,M,M,b,1,b,2,二、平截面假設(shè):,原為平面的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面,而且仍然與變形后的軸線垂直;,,z,y,4.彎曲變形坐標(biāo)系的建立:,,,X,軸,沿著梁的軸線方向;,,,Y,Z,軸確定橫截面;,,中性軸用,Z,軸,表示;,,橫截面的對(duì)稱(chēng)軸用,Y,軸,表示,三、中性層,中性軸:,dx,n,1,m,1,m,2,n,2,o,1,a,1,a,2,b,1,b,2,o,2,m,1,n,1,m,2,n,2,a,1,a,2,o,1,o,2,M,M,b,1,b,2,1.既不

3、伸長(zhǎng)又不縮短的纖維層稱(chēng)為,中性層,2.中性層與橫截面的交線稱(chēng)為,中性軸;,見(jiàn)書(shū),P143-,圖5.3,3.中性軸與橫截面的對(duì)稱(chēng)軸,一定垂直;,5.中性層將梁分為兩部分,中性層一側(cè)纖維伸長(zhǎng),另一側(cè)纖維縮短,,梁在發(fā)生彎曲變形時(shí),,橫截面都繞著各自的中性軸做輕微地轉(zhuǎn)動(dòng);,,,6.縱向纖維之間無(wú)擠壓;,z,y,y,b,b,1、幾何關(guān)系,m,1,m,2,n,1,n,2,M,M,a,1,a,2,b,1,b,2,o,1,o,2,四、正應(yīng)力公式推導(dǎo),y,dx,n,1,m,1,m,2,n,2,o,1,a,1,a,2,b,1,b,2,o,2,縱向纖維的線應(yīng)變與它到中性層的距離成正比,2、物理關(guān)系:,任意縱向纖維

4、的正應(yīng)力與它到中性層的距離成正比;,橫截面上的正應(yīng)力沿截面高度成直線規(guī)律變化;,橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比;,中性軸通過(guò)形心,2),Y,軸,如果不是對(duì)稱(chēng)軸,,yz,為形心主慣性軸,3、平衡條件:,x,z,y,M,構(gòu)成空間平行力系,σ,dA,梁的軸線位于中性層上,1),Y,軸是對(duì)稱(chēng)軸,所以這個(gè)條件自動(dòng)滿(mǎn)足;,3)梁,發(fā)生平面彎曲的條件:,,,外力位于形心主慣性平面內(nèi),?,的正負(fù)號(hào),通常是根據(jù)變形來(lái)判斷;,x,z,y,M,σ,dA,梁的抗彎剛度,說(shuō)明:,① 同一截面上,部分受拉,部分受壓;,,,M,為正:下拉上壓;,M,為負(fù):上拉下壓;,②公式適用范圍:,a.,彈性范圍;,b

5、.,載荷作用在形心主慣性平面內(nèi),M:,是該點(diǎn)所在橫截面的彎矩,是該點(diǎn)所在橫截面對(duì)中性軸的慣性矩,y:,是該點(diǎn)到中性軸的距離,a,a,,P,P,y,解:,豎放時(shí),求:(1)中點(diǎn)截面豎放時(shí)距離中性層20,mm,,,處的正應(yīng)力和最大正應(yīng)力,??,max,;,,(2),中點(diǎn)截面橫放時(shí)的最大正應(yīng)力,???,max,,橫放時(shí),例: 圖示簡(jiǎn)支梁,,已知:,a=180mm,,,P=5kN,,,截面為,b,?h=30 ?60mm,2,的矩形,b,h,20,§5-3 梁彎曲的強(qiáng)度計(jì)算,1、純彎曲正應(yīng)力可以推廣到橫向彎曲,,,以上有關(guān)純彎曲的正應(yīng)力的公式,,對(duì)于橫力彎曲的情形,如果是細(xì)長(zhǎng)桿,也可以近似適用,。理論與

6、實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明,在橫力彎曲時(shí),由于剪應(yīng)力的存在,梁的橫截面在彎曲之后將不再保持平面,而是要發(fā)生翹曲,但對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁,這種翹曲對(duì)正應(yīng)力的是很小的。通常都可以忽略不計(jì)。,,2. 取定截面上的最大應(yīng)力,(在距中性軸最遠(yuǎn)的上下邊緣點(diǎn)),中性軸為對(duì)稱(chēng)軸:,— 抗彎截面模量,(,m,3,),中性軸為非對(duì)稱(chēng)軸:,矩形截面,:,實(shí)心圓截面,:,4. 強(qiáng)度條件:,— 彎曲容許正應(yīng)力,應(yīng)用:,①?gòu)?qiáng)度校核:,②設(shè)計(jì)截面:,③計(jì)算承載力:,3. 全梁最大正應(yīng)力:,對(duì)等截面梁而言:,對(duì),變截面梁而言:,在彎矩為最大的截面上距中性軸最遠(yuǎn)的上下邊緣各點(diǎn),在某一個(gè)截面上距中性軸最遠(yuǎn)的上下邊緣各點(diǎn),若,材料的抗拉壓性能相同,校

7、核絕對(duì)值大的應(yīng)力;,,若材料的抗拉壓能力不同,則須分別校核;,例:,選擇工字鋼型號(hào)。,已知:,P,2,P,1,l/3,l/3,l/3,38,34,M,圖,(,kN,·m),(2)畫(huà)彎矩圖,確定,(3)根據(jù)強(qiáng)度條件計(jì)算,W,z,解:,19,kN,17,kN,(1)求約束反力;,(3)查表:,如果:,W,z,,小于計(jì)算值,驗(yàn)算,?,max,,,不超過(guò),[,?,],的,5%,,,工程上允許,。,例:,圖示結(jié)構(gòu)的最大拉應(yīng)力發(fā)生在梁的哪點(diǎn)上?,z,y,1,y,2,中性軸,已知:,D,P,1,=24kN,P,2,=9kN,20,cm,30,cm,30,cm,B,C,A,P369,選,20,a,,1.8,2

8、.7,D,B,C,A,M(,kN,·m),分析:,z,y,1,y,2,中性軸,P,1,=24kN,P,2,=9kN,20,cm,30,cm,30,cm,B,C,A,最大拉應(yīng)力發(fā)生在,B,截面上邊緣,C,截面:,彎矩為正,最大拉應(yīng)力:,最大壓應(yīng)力:,B,截面:,彎矩為負(fù),最大拉應(yīng)力:,最大壓應(yīng)力:,最大壓應(yīng)力發(fā)生在,C,截面的上邊緣,畫(huà)彎矩圖,D,1.8,2.7,B,C,A,M(,kN,·m),注:,,對(duì)于在橫截面上,中性軸不是對(duì)稱(chēng)軸的梁,,,,即便是等截面直梁,最大正彎矩和最大負(fù)彎矩截面都,,是危險(xiǎn)截面;,z,y,1,y,2,中性軸,P,1,=24kN,P,2,=9kN,20,cm,30,cm,30,cm,B,C,A,最大拉應(yīng)力發(fā)生在,B,截面上邊緣,最大壓應(yīng)力發(fā)生在,C,截面的上邊緣,見(jiàn)書(shū),P162-,例5-7,習(xí)題,《,材料力學(xué)》,5-4,5-5,5-8,5-11,

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