彎曲變形-積分法

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1、第六章,彎曲變形,§6-1 工程中的彎曲問題 撓度和轉(zhuǎn)角,一、度量彎曲變形的物理量,A,B,C,C`,B`,y,P,y,x,1、,撓曲線,:,梁變形后的軸線,2、撓度:,軸線上各點在垂直于變形前軸線方向的線位移,撓曲線方程,θ,3、轉(zhuǎn)角:,各橫截面繞著各自的中性軸轉(zhuǎn)動的角度,轉(zhuǎn)角方程,4、撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系:,因為是小變形,撓曲線在某處的一階導(dǎo)數(shù)就等于梁對應(yīng)截面的轉(zhuǎn)角,5、撓度和轉(zhuǎn)角的符號:,以梁的左端點為原點;,X,軸水平向右為正;,Y,軸豎直向上為正;,坐標(biāo)系的選?。?撓度:向上為正;向下為負(fù),轉(zhuǎn)角:從變形前到變形后,,,逆時針轉(zhuǎn)動為正;順時針轉(zhuǎn)動為負(fù),二、梁撓曲線的近似微分方程,(

2、純彎曲),(,橫力彎曲,),中性層的曲率半徑,若撓曲線作為一條平面曲線已確定,其曲率半徑為:,由于軸線就在中性層上,,,所以撓曲線的曲率半徑和撓曲線的曲率半徑相等,M,M,M > 0,,y’’ > 0,y,x,M < 0,,y’’ < 0,M,M,y,x,撓曲線的近似微分方程,可知,:,M,與 符號相同,積分一次得:,再次積分得:,其中:,C, D,為積分常數(shù),由梁的邊界條件和連續(xù)條件確定;,§6-3 用積分法求彎曲變形,轉(zhuǎn)角方程,撓曲線方程,若梁的,EI,在整個長度范圍內(nèi)為常量,可以將其提到積分號以外;,積分定解條件,1、邊界條件,邊界條件是指約束對于撓度和轉(zhuǎn)角的限制:,1),在

3、固定鉸支座和輥軸支座處,,約束條件為撓度等于零:,y=0;,2),在固定端處,,約束條件為撓度和轉(zhuǎn)角都等于零:,y=0,,θ,=0;,3)若結(jié)構(gòu)對稱,,載荷對稱,則變形對稱,,于是對稱截面的撓度=0;,4)若結(jié)構(gòu)對稱,,載荷反對稱,則變形反對稱,,于是對稱截面的轉(zhuǎn)角=0;,例1:懸臂梁,z,y,,y,x,x,邊界條件,R,A,R,B,l,a,b,P,A,C,B,例2:簡支梁,邊界條件,例3:具有彈簧約束的簡支,,梁,設(shè)彈簧剛度為,k,邊界條件,R,A,R,B,l,a,b,P,A,C,B,2、連續(xù)條件:,撓曲線是一條光滑連續(xù)的曲線;,撓曲線上的任一點,具有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角;,彎曲剛度條件:,

4、例:,計算圖示懸臂梁的最大轉(zhuǎn)角和撓度。梁的抗彎剛度為,EI,z,。,解:,1)梁的彎矩方程,z,y,,y,x,x,2)梁的近似撓曲線微分方程,3)積分計算位移,一次積分:,再次積分:,4)由邊界條件確定積分常數(shù):,由:,由:,4)計算最大轉(zhuǎn)角和撓度,q,l,R,A,R,B,例:,計算圖示簡支梁的最大轉(zhuǎn)角和撓度。梁的抗彎剛度為,EI,z,。,解,:(1)支反力,2)梁的彎矩方程,3)梁的近似撓曲線微分方程,4)積分計算位移,一次積分:,再次積分:,5)由邊界條件確定積分常數(shù):,邊界條件(,a),邊界條件(,b),6)計算最大轉(zhuǎn)角和撓度,由于變形對稱:,根據(jù)撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系:,在轉(zhuǎn)角等于0處,撓度

5、取極值;,解:,R,A,R,B,l,a,P,b,例:,計算圖示簡支梁的最大轉(zhuǎn)角和撓度。梁的抗彎剛度為,EI,z,。,(1)支反力,2)列梁的彎矩方程,3)梁的近似撓曲線微分方程,AC段,CB段,4)由積分定解條件確定積分常數(shù):,邊界條件:,連續(xù)條件:,P,a,b,A,B,C,a>b,時,極值點在,AC,段:,a=b,時,極值點在,C,點,注意:可以證明,當(dāng)載荷,P,向某一支座靠近時,梁內(nèi)最大撓度的位置趨近于,L/√3,=,0.577L,,,很接近,梁中點位置。,因此,工程中可近似用,梁中點位置的撓度代替最大撓度。,5)計算最大轉(zhuǎn)角和撓度,最大轉(zhuǎn)角,應(yīng)發(fā)生在兩端截面;,最大撓度,應(yīng)發(fā)生在轉(zhuǎn)角等于

6、0的截面;,例:具有中間鉸鏈約束的懸臂—簡支梁,邊界條件,q,a,b,A,C,B,連續(xù)條件,分析:需要分成兩部分,因此有4個待定的積分常數(shù),l,計算圖示懸臂梁自由端截面的撓度和轉(zhuǎn)角。,解:1)梁的彎矩方程,AC,段:,CB,段:,2)梁的近似撓曲線微分方程,AC段,CB段,3)由積分定解條件確定積分常數(shù):,邊界條件:,連續(xù)條件:,4)計算自由端的撓度轉(zhuǎn)角:,l,解:1)梁的彎矩方程,AC,段:,2)梁的近似撓曲線微分方程,3)由邊界條件確定積分常數(shù):,5)計算,C,截面撓度轉(zhuǎn)角:,4),AC,段:,6)計算自由端的撓度轉(zhuǎn)角:,用這種方法求變形時,先求大小,再判斷符號;,積分法求解變形的優(yōu)點:,

7、對于整個梁,我們可以求解處完整的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程,利用這兩個方程可以求解任一截面的轉(zhuǎn)角和撓度;,積分法求解變形的缺點:,如果梁上的載荷或支座比較復(fù)雜,列彎矩方程時就要分若干段,每一段積分出現(xiàn)2個積分常數(shù),則積分常數(shù)的確定就是一件非常繁瑣的工作;,§7-4 用疊加法求彎曲變形,P,2,A,,B,,P,1,A,,B,,P,1,P,2,A,,B,,=,+,在,小變形,和,材料滿足胡克定律,的前提下,撓曲線的近似微分方程是,線性方程,微分方程的解可以,疊加,梁在幾種載荷共同作用下引起的總變形就等于,,梁在每種載荷分別單獨作用下引起的變形的代數(shù)和;,在計算每種載荷單獨作用引起的變形時,可以查書,P

8、200,頁的表格,解:,例1 求梁的撓度和轉(zhuǎn)角,,y,c,,,?,A,。,,a,a,P =,q a,A,B,q,C,,a,a,A,B,,q,C,,,a,a,A,B,,C,,P,=,+,在查書,P200,的表格時,一定要保證題中梁的種類與載荷的種類與表中的對應(yīng)情況一致,,,而且還要注意必要的符號判斷;,作業(yè),:,,6-2(,a)(c)(d),,6-4,,6-6,在分段的交界處,由于連續(xù)性,兩段方程在,一截面的撓度和轉(zhuǎn)角相等,。,R,A,R,B,l,a,b,P,A,C,B,連續(xù)條件,例4:簡支梁,例,7-1 求下列各梁的撓曲線方程及最大撓度和轉(zhuǎn)角,解:,彎矩方程,邊界條件,:,,q,l,EI,z,x,小結(jié):,y,x,P,A,B,y,撓曲線,,y= y(x),拉壓變形:,?,l,扭轉(zhuǎn)變形:,?,彎曲變形,截面形心的豎向位移,y,撓度,轉(zhuǎn)角,截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度,?,y,,(,x,),,撓曲線方程,?,(,x,),,轉(zhuǎn)角方程,彎曲變形:,1、梁變形的特征,公式應(yīng)用的條件:,1)材料服從虎克定律;,,2)小變形,忽略剪力對撓度的影響;,小結(jié):,,2、撓曲線近似微分方程,

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