（課標(biāo)專(zhuān)用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學(xué) 第四章 三角函數(shù) 3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)試題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 挖命題 【考情探究】 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 5年考情 預(yù)測(cè)熱度 考題示例 考向 關(guān)聯(lián)考點(diǎn) 三角函數(shù) 的圖象 ①能畫(huà)出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象;②了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義,能畫(huà)出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象,了解參數(shù)A,ω,φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,6,5分 三角函數(shù)圖象的平移變換 三角函數(shù)的周期 ★★☆ 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,14,5分 三角函數(shù)圖象的平移變換 — 三角函數(shù) 的性質(zhì) ①了解三角函數(shù)的周期性;②理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、奇偶

2、性以及最值問(wèn)題等).理解正切函數(shù)的單調(diào)性 2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,8,5分 三角函數(shù)的性質(zhì)(周期性、最值) 三角恒等變換 ★★★ 2018課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,10,5分 三角函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性) 輔助角公式 2018課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,6,5分 三角函數(shù)的性質(zhì)(周期性) 三角恒等變換 及同角關(guān)系式 分析解讀　　從近幾年的高考試題來(lái)看,對(duì)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查一般以基礎(chǔ)題為主,往往結(jié)合三角公式化簡(jiǎn)和變形來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性以及最值問(wèn)題,且常以客觀題的形式考查,其考查內(nèi)容及形式仍是近幾年高考對(duì)該部分內(nèi)容考查的重點(diǎn),分值一般為5分或12分,難度不大,屬于中檔題目. 破考

3、點(diǎn) 【考點(diǎn)集訓(xùn)】 考點(diǎn)一　三角函數(shù)的圖象 1.(2019屆湖北重點(diǎn)中學(xué)開(kāi)學(xué)測(cè)試,7)已知曲線C1:y=sin x,C2:y=sin2x+2π3,則下面結(jié)論正確的是(　　) A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移2π3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2 B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移π3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2 C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移2π3個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2 D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度,

4、得到曲線C2 答案　B　 2.(2019屆河北衡水中學(xué)二調(diào),8)為得到函數(shù)y=cos2x+π3的圖象,只需將函數(shù)y=sin 2x的圖象(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.向右平移5π12個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移5π12個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向右平移5π6個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移5π6個(gè)單位長(zhǎng)度 答案　B　 3.(2017四川成都五校聯(lián)考,8)已知f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2,x∈R在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,則y=f(x)的圖象可由函數(shù)y=cos x的圖象(縱坐標(biāo)不變)如何變換得到(　　) A

5、.先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12,再向左平移π6個(gè)單位 B.先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12,再向右平移π12個(gè)單位 C.先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,再向左平移π6個(gè)單位 D.先把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,再向左平移π12個(gè)單位 答案　B　 考點(diǎn)二　三角函數(shù)的性質(zhì) 1.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,3,5分)函數(shù)f(x)=sin2x+π3的最小正周期為(　　) A.4π B.2π C.π D.π2 答案　C　 2.(2019屆貴州貴陽(yáng)10月聯(lián)考,10)已知函數(shù)f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期為π,則該函數(shù)的圖象(　　) A.關(guān)于點(diǎn)π3,0對(duì)稱(chēng) B.關(guān)

6、于直線x=π3對(duì)稱(chēng) C.關(guān)于點(diǎn)π4,0對(duì)稱(chēng) D.關(guān)于直線x=π4對(duì)稱(chēng) 答案　A　 3.(2017安徽淮北第二次模擬,10)已知函數(shù)f(x)=asin xcos x-sin2x+12圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為x=π6,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A.kπ-π3,kπ+π6(k∈Z) B.kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z) C.kπ-7π12,kπ-π12(k∈Z) D.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z) 答案　A　 煉技法 【方法集訓(xùn)】 方法1　由三角函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式的方法 1.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+b

7、(A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式及S=f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 013)的值分別為(　　) 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.f(x)=12sin 2πx+1,2 013 B.f(x)=12sin 2πx+1,2 01312 C.f(x)=12sinπ2x+1,2 014 D.f(x)=12sinπ2x+1,2 01412 答案　D　 2.(2019屆安徽皖中摸底考試,6)已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,則ω,φ的值分別是(　　)

8、A.1,3π4 B.2,π4 C.π,3π4 D.2π,π4 答案　C　 方法2　三角函數(shù)的周期與對(duì)稱(chēng)軸(對(duì)稱(chēng)中心)的求解方法 1.(2019屆湖北襄陽(yáng)重點(diǎn)中學(xué)9月調(diào)研,6)將函數(shù)y=cos 2x的圖象向左平移π2個(gè)單位,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,則下列說(shuō)法正確的是(　　) A.y=f(x)是奇函數(shù) B.y=f(x)的周期為2π C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=π2對(duì)稱(chēng) D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)-π2,0對(duì)稱(chēng) 答案　C　 2.(2019屆河南頂級(jí)名校9月聯(lián)考,4)函數(shù)f(x)=12cos 2x+3sin xcos x的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是(　　) A.π3,0

9、 B.π6,0 C.-π6,0 D.-π12,0 答案　D　 3.(2019屆河北邯鄲摸底考試,17)已知f(x)=3cos 2x+2sin3π2+xsin(π-x),x∈R. (1)求f(x)的最小正周期及其圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程; (2)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且f(A)=-3,a=3,求BC邊上的高的最大值. 解析　(1)f(x)=3cos 2x+2sin3π2+xsin(π-x)=3cos 2x-2cos x·sin x=3cos 2x-sin 2x=-2sin2x-π3, ∴f(x)的最小正周期為π. 令2x-

10、π3=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+5π12,k∈Z.∴f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=kπ2+5π12(k∈Z). (2)由f(A)=-3得sin2A-π3=32,∴2A-π3=π3+2kπ(k∈Z)或2π3+2kπ(k∈Z),又A∈0,π2,∴A=π3. 由a2=b2+c2-2bccos A及已知得9=b2+c2-bc≥bc, 即bc≤9(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)). 設(shè)BC邊上的高為h,由12ah=12bcsin A,得3h=32bc≤932, ∴h≤332,即h的最大值為332. 方法3　三角函數(shù)的單調(diào)性與最值(值域)的求解方法 1.(2018天津,6,5分)將函

11、數(shù)y=sin2x+π5的圖象向右平移π10個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)(　　)　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.在區(qū)間-π4,π4上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間-π4,0上單調(diào)遞減 C.在區(qū)間π4,π2上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間π2,π上單調(diào)遞減 答案　A　 2.(2018河南頂級(jí)名校11月聯(lián)考,9)某房間的室溫T(單位:攝氏度)與時(shí)間t(單位:小時(shí))的函數(shù)關(guān)系是T=asin t+bcos t,t∈(0,+∞),其中a,b是正實(shí)數(shù),如果該房間的最大溫差為10攝氏度,則a+b的最大值是(　　) A.52 B.10 C.102 D.20 答案　A　 3.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,13

12、,5分)函數(shù)f(x)=2cos x+sin x的最大值為　　　　.? 答案　5 過(guò)專(zhuān)題 【五年高考】 A組　統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組 考點(diǎn)一　三角函數(shù)的圖象 1.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,6,5分)將函數(shù)y=2sin2x+π6的圖象向右平移14個(gè)周期后,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為(　　)　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.y=2sin2x+π4 B.y=2sin2x+π3 C.y=2sin2x-π4 D.y=2sin2x-π3 答案　D　 2.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,14,5分)函數(shù)y=sin x-3c

13、os x的圖象可由函數(shù)y=2sin x的圖象至少向右平移　　　　個(gè)單位長(zhǎng)度得到.? 答案　π3 考點(diǎn)二　三角函數(shù)的性質(zhì) 1.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,8,5分)已知函數(shù)f(x)=2cos2x-sin2x+2,則(　　) A. f(x)的最小正周期為π,最大值為3 B. f(x)的最小正周期為π,最大值為4 C. f(x)的最小正周期為2π,最大值為3 D. f(x)的最小正周期為2π,最大值為4 答案　B　 2.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是減函數(shù),則a的最大值是(　　) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π 答案

14、　C　 3.(2018課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,6,5分)函數(shù)f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期為(　　) A.π4 B.π2 C.π D.2π 答案　C　 4.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,11,5分)函數(shù)f(x)=cos 2x+6cosπ2-x的最大值為(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案　B　 5.(2015課標(biāo)Ⅰ,8,5分)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A.kπ-14,kπ+34,k∈Z B.2kπ-14,2kπ+34,k∈Z C.k-14,k+34,k∈Z D.2k-14,2k+

15、34,k∈Z 答案　D　 6.(2014課標(biāo)Ⅱ,14,5分)函數(shù)f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值為　　　　.? 答案　1 B組　自主命題·省(區(qū)、市)卷題組 考點(diǎn)一　三角函數(shù)的圖象 1.(2015山東,4,5分)要得到函數(shù)y=sin4x-π3的圖象,只需將函數(shù)y=sin 4x的圖象(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.向左平移π12個(gè)單位 B.向右平移π12個(gè)單位 C.向左平移π3個(gè)單位 D.向右平移π3個(gè)單位 答案　B　 2.(2014重慶,13,5分)將函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π2≤φ<π2圖象上每一

16、點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半,縱坐標(biāo)不變,再向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=sin x的圖象,則fπ6=　　　　.? 答案　22 3.(2016山東,17,12分)設(shè)f(x)=23sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)把y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再把得到的圖象向左平移π3個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求gπ6的值. 解析　(1)f(x)=23sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2 =23sin2x-(1-2sin xcos x) =3(1-cos 2x)+

17、sin 2x-1 =sin 2x-3cos 2x+3-1 =2sin2x-π3+3-1. 由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z), 得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z). 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z). 或kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z) (2)由(1)知f(x)=2sin2x-π3+3-1. 把y=f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變), 得到y(tǒng)=2sinx-π3+3-1的圖象, 再把得到的圖象向左平移π3個(gè)單位, 得到y(tǒng)=2sin x+3-1的圖象, 即g(x)=2sin x+3-

18、1. 所以gπ6=2sinπ6+3-1=3. 考點(diǎn)二　三角函數(shù)的性質(zhì) 1.(2017天津,7,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則　(　　) A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,φ=-11π12 C.ω=13,φ=-11π24 D.ω=13,φ=7π24 答案　A　 2.(2016天津,8,5分)已知函數(shù)f(x)=sin2ωx2+12sin ωx-12(ω>0),x∈R.若f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),則ω的取值范圍是(　　) A.0,18

19、 B.0,14∪58,1 C.0,58 D.0,18∪14,58 答案　D　 3.(2015四川,5,5分)下列函數(shù)中,最小正周期為π的奇函數(shù)是(　　) A.y=sin2x+π2 B.y=cos2x+π2 C.y=sin 2x+cos 2x D.y=sin x+cos x 答案　B　 4.(2018江蘇,7,5分)已知函數(shù)y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的圖象關(guān)于直線x=π3對(duì)稱(chēng),則φ的值是　　　　.? 答案　-π6 5.(2018北京,16,13分)已知函數(shù)f(x)=sin2x+3sin xcos x

20、. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在區(qū)間-π3,m上的最大值為32,求m的最小值. 解析　(1)f(x)=12-12cos 2x+32sin 2x =sin2x-π6+12. 所以f(x)的最小正周期為T(mén)=2π2=π. (2)由(1)知f(x)=sin2x-π6+12. 由題意知-π3≤x≤m. 所以-5π6≤2x-π6≤2m-π6. 要使得f(x)在-π3,m上的最大值為32, 即sin2x-π6在-π3,m上的最大值為1. 所以2m-π6≥π2, 即m≥π3. 所以m的最小值為π3. 6.(2017浙江,18,14分)已知函數(shù)f(x)=sin2

21、x-cos2x-23sin xcos x(x∈R). (1)求f 2π3的值; (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 解析　(1)由sin2π3=32,cos2π3=-12, f2π3=322--122-23×32×-12, 得f2π3=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+π6. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z, 解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z. 所以, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)

22、間是π6+kπ,2π3+kπ(k∈Z). C組　教師專(zhuān)用題組 考點(diǎn)一　三角函數(shù)的圖象 1.(2014浙江,4,5分)為了得到函數(shù)y=sin 3x+cos 3x的圖象,可以將函數(shù)y=2cos 3x的圖象(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.向右平移π12個(gè)單位 B.向右平移π4個(gè)單位 C.向左平移π12個(gè)單位 D.向左平移π4個(gè)單位 答案　A　 2.(2014四川,3,5分)為了得到函數(shù)y=sin(x+1)的圖象,只需把函數(shù)y=sin x的圖象上所有的點(diǎn)(　　) A.向左平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向左平行移動(dòng)π個(gè)單位長(zhǎng)度

23、 D.向右平行移動(dòng)π個(gè)單位長(zhǎng)度 答案　A　 3.(2014安徽,7,5分)若將函數(shù)f(x)=sin 2x+cos 2x的圖象向右平移φ個(gè)單位,所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),則φ的最小正值是(　　) A.π8 B.π4 C.3π8 D.3π4 答案　C　 4.(2013課標(biāo)Ⅱ,16,5分)函數(shù)y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的圖象向右平移π2個(gè)單位后,與函數(shù)y=sin2x+π3的圖象重合,則φ=　　　　.? 答案　5π6 5.(2015湖北,18,12分)某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下

24、表: ωx+φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式; (2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)π6個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=g(x)圖象,求y=g(x)的圖象離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱(chēng)中心. 解析　(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A=5,ω=2,φ=-π6.數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表: ωx+φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且

25、函數(shù)表達(dá)式為f(x)=5sin2x-π6. (2)由(1)知f(x)=5sin2x-π6, 因此,g(x)=5sin2x+π6-π6=5sin2x+π6. 令2x+π6=kπ,k∈Z,解得x=kπ2-π12,k∈Z. 即y=g(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為kπ2-π12,0,k∈Z,其中離原點(diǎn)O最近的對(duì)稱(chēng)中心為-π12,0. 考點(diǎn)二　三角函數(shù)的性質(zhì) 1.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,6,5分)函數(shù)f(x)=15sinx+π3+cosx-π6的最大值為(　　) A.65 B.1 C.35 D.15 答案　A　 2.(2014天津,8,5分)已知函數(shù)f(x)=3sin ωx+cos ωx(ω

26、>0),x∈R.在曲線y=f(x)與直線y=1的交點(diǎn)中,若相鄰交點(diǎn)距離的最小值為π3,則f(x)的最小正周期為(　　) A.π2 B.2π3 C.π D.2π 答案　C　 3.(2014遼寧,11,5分)將函數(shù)y=3sin2x+π3的圖象向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)(　　) A.在區(qū)間π12,7π12上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間π12,7π12上單調(diào)遞增 C.在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間-π6,π3上單調(diào)遞增 答案　B　 4.(2014課標(biāo)Ⅰ,7,5分)在函數(shù)①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos2x+π6,④y=tan2x-π4中,最小

27、正周期為π的所有函數(shù)為(　　) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 答案　A　 5.(2011課標(biāo),11,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+π4+cos2x+π4,則(　　) A.y=f(x)在0,π2單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x=π4對(duì)稱(chēng) B.y=f(x)在0,π2單調(diào)遞增,其圖象關(guān)于直線x=π2對(duì)稱(chēng) C.y=f(x)在0,π2單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x=π4對(duì)稱(chēng) D.y=f(x)在0,π2單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x=π2對(duì)稱(chēng) 答案　D　 6.(2015陜西,14,5分)如圖,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=

28、3sinπ6x+φ+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為　　　　.? 答案　8 7.(2015浙江,11,6分)函數(shù)f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　,最小值是　　　　.? 答案　π;3-22 8.(2015湖南,15,5分)已知ω>0,在函數(shù)y=2sin ωx與y=2cos ωx的圖象的交點(diǎn)中,距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為23,則ω=　　　　.? 答案　π2 9.(2013課標(biāo)Ⅰ,16,5分)設(shè)當(dāng)x=θ時(shí),函數(shù)f(x)=sin x-2cos x取得最大值,則cos θ=　　　　.? 答案　-255 10.(2

29、017江蘇,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值. 解析　(1)因?yàn)閍=(cos x,sin x),b=(3,-3),a∥b, 所以-3cos x=3sin x. 若cos x=0,則sin x=0,與sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0. 于是tan x=-33. 又x∈[0,π],所以x=5π6. (2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-3)=3cos x-3sin x=23cosx+π6.

30、因?yàn)閤∈[0,π],所以x+π6∈π6,7π6, 從而-1≤cosx+π6≤32. 于是,當(dāng)x+π6=π6,即x=0時(shí), f(x)取到最大值,為3; 當(dāng)x+π6=π,即x=5π6時(shí), f(x)取到最小值,為-23. 11.(2017北京,16,13分)已知函數(shù)f(x)=3cos2x-π3-2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求證:當(dāng)x∈-π4,π4時(shí), f(x)≥-12. 解析　(1)f(x)=32cos 2x+32sin 2x-sin 2x =12sin 2x+32cos 2x =sin2x+π3. 所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.

31、(2)證明:因?yàn)?π4≤x≤π4, 所以-π6≤2x+π3≤5π6. 所以sin2x+π3≥sin-π6=-12. 所以當(dāng)x∈-π4,π4時(shí), f(x)≥-12. 12.(2016北京,16,13分)已知函數(shù)f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期為π. (1)求ω的值; (2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析　(1)因?yàn)閒(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx=sin 2ωx+cos 2ωx=2sin2ωx+π4,(3分) 所以f(x)的最小正周期T=2π2ω=πω.(4分) 依題意,πω=π,解得ω=1.(6分) (2)

32、由(1)知f(x)=2sin2x+π4. 因?yàn)楹瘮?shù)y=sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z),(8分) 所以2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z), 解得kπ-3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z).(12分) 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-3π8,kπ+π8(k∈Z).(13分) 13.(2015安徽,16,12分)已知函數(shù)f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在區(qū)間0,π2上的最大值和最小值. 解析　(1)因?yàn)閒(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos

33、 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin2x+π4+1, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)由(1)知,f(x)=2sin2x+π4+1. 當(dāng)x∈0,π2時(shí),2x+π4∈π4,5π4, 由正弦函數(shù)y=sin x在π4,5π4上的圖象知, 當(dāng)2x+π4=π2,即x=π8時(shí), f(x)取得最大值,最大值為2+1; 當(dāng)2x+π4=5π4,即x=π2時(shí), f(x)取得最小值,最小值為0. 綜上,f(x)在0,π2上的最大值為2+1,最小值為0. 14.(2015北京,15,13分)已知函數(shù)f(x)=sin x-23sin2x2. (1)求f(x)的最小正

34、周期; (2)求f(x)在區(qū)間0,2π3上的最小值. 解析　(1)因?yàn)閒(x)=sin x+3cos x-3 =2sinx+π3-3, 所以f(x)的最小正周期為2π. (2)因?yàn)?≤x≤2π3,所以π3≤x+π3≤π. 當(dāng)x+π3=π,即x=2π3時(shí), f(x)取得最小值. 所以f(x)在區(qū)間0,2π3上的最小值為f2π3=-3. 15.(2015重慶,18,13分)已知函數(shù)f(x)=12sin 2x-3cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最小值; (2)將函數(shù)f(x)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)g(x)的圖象.當(dāng)x∈π2,π時(shí),求

35、g(x)的值域. 解析　(1)f(x)=12sin 2x-3cos2x =12sin 2x-32(1+cos 2x) =12sin 2x-32cos 2x-32=sin2x-π3-32, 因此f(x)的最小正周期為π,最小值為-2+32. (2)由已知可得g(x)=sinx-π3-32. 當(dāng)x∈π2,π時(shí),有x-π3∈π6,2π3, 從而sinx-π3∈12,1, 那么sinx-π3-32∈1-32,2-32. 故g(x)在區(qū)間π2,π上的值域是1-32,2-32. 16.(2015福建,21,12分)已知函數(shù)f(x)=103sinx2cosx2+10cos2x2. (1

36、)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,且函數(shù)g(x)的最大值為2. (i)求函數(shù)g(x)的解析式; (ii)證明:存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0. 解析　(1)因?yàn)閒(x)=103sinx2cosx2+10cos2x2 =53sin x+5cos x+5=10sinx+π6+5, 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π. (2)(i)將f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=10sin x+5的圖象,再向下平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到g(x)=10s

37、in x+5-a的圖象. 又已知函數(shù)g(x)的最大值為2,所以10+5-a=2,解得a=13. 所以g(x)=10sin x-8. (ii)證明:要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0,就是要證明存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得10sin x0-8>0,即sin x0>45. 由45<32知,存在0<α0<π3,使得sin α0=45. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x∈(α0,π-α0)時(shí),均有sin x>45. 因?yàn)閥=sin x的周期為2π, 所以當(dāng)x∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0)(k∈Z)時(shí),均有sin x>45. 因?yàn)閷?duì)任意的整數(shù)k,(2kπ

38、+π-α0)-(2kπ+α0)=π-2α0>π3>1, 所以對(duì)任意的正整數(shù)k,都存在正整數(shù)xk∈(2kπ+α0,2kπ+π-α0),使得sin xk>45. 亦即,存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)x0,使得g(x0)>0. 17.(2014四川,17,12分)已知函數(shù)f(x)=sin3x+π4. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若α是第二象限角, fα3=45cosα+π4cos 2α,求cos α-sin α的值. 解析　(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z, 由-π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z, 得-π4+2k

39、π3≤x≤π12+2kπ3,k∈Z. 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-π4+2kπ3,π12+2kπ3,k∈Z. (2)由已知,得sinα+π4=45cosα+π4(cos2α-sin2α), 所以sin αcosπ4+cos αsinπ4 =45cos αcosπ4-sin αsinπ4(cos2α-sin2α), 即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α). 當(dāng)sin α+cos α=0時(shí),由α是第二象限角, 知α=3π4+2kπ,k∈Z.此時(shí)cos α-sin α=-2. 當(dāng)sin α+cos α≠0時(shí),有(cos α-sin

40、α)2=54. 由α是第二象限角,知cos α-sin α<0, 此時(shí)cos α-sin α=-52. 綜上所述,cos α-sin α=-2或-52. 18.(2014北京,16,13分)函數(shù)f(x)=3sin2x+π6的部分圖象如圖所示. (1)寫(xiě)出f(x)的最小正周期及圖中x0,y0的值; (2)求f(x)在區(qū)間-π2,-π12上的最大值和最小值. 解析　(1)f(x)的最小正周期為π. x0=7π6,y0=3. (2)因?yàn)閤∈-π2,-π12,所以2x+π6∈-5π6,0. 于是,當(dāng)2x+π6=0,即x=-π12時(shí), f(x)取得最大值,為0; 當(dāng)2x+π

41、6=-π2,即x=-π3時(shí), f(x)取得最小值,為-3. 19.(2014湖北,18,12分)某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位:℃)隨時(shí)間t(單位:h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系: f(t)=10-3cosπ12t-sinπ12t,t∈[0,24). (1)求實(shí)驗(yàn)室這一天上午8時(shí)的溫度; (2)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差. 解析　(1)f(8)=10-3cosπ12×8-sinπ12×8 =10-3cos2π3-sin2π3=10-3×-12-32=10. 故實(shí)驗(yàn)室上午8時(shí)的溫度為10 ℃. (2)因?yàn)閒(t)=10-232cosπ12t+12sinπ12t=10-2sinπ12t+π3

42、, 又0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<7π3,-1≤sinπ12t+π3≤1. 當(dāng)t=2時(shí),sinπ12t+π3=1;當(dāng)t=14時(shí),sinπ12t+π3=-1. 于是, f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8. 故實(shí)驗(yàn)室這一天的最高溫度為12 ℃,最低溫度為8 ℃,最大溫差為4 ℃. 20.(2014福建,18,12分)已知函數(shù)f(x)=2cos x(sin x+cos x). (1)求f5π4的值; (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 解析　解法一:(1)f5π4=2cos5π4sin5π4+cos5π4 =-2cosπ4-sinπ4-

43、cosπ4=2. (2)因?yàn)閒(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1 =2sin2x+π4+1,所以T=2π2=π. 由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z, 得kπ-3π8≤x≤kπ+π8,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z. 解法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1 =2sin2x+π4+1. (1)f5π4=2sin11π4+1=2sinπ4+1=2. (2)T=2π2=π.由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2,k∈Z, 得kπ-3

44、π8≤x≤kπ+π8,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-3π8,kπ+π8,k∈Z. 【三年模擬】 時(shí)間:45分鐘　分值:50分 一、選擇題(每小題5分,共30分) 1.(2018河南中原名校第三次聯(lián)考,5)將函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖象沿x軸向左平移π6個(gè)單位后,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則φ的一個(gè)可能取值為(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.π3 B.π6 C.0 D.π4 答案　B　 2.(2019屆遼寧八校9月聯(lián)考,9)將函數(shù)f(x)=sin2x+π3的圖象向右平移a個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=cos

45、2x+π4的圖象,則a的值可以為(　　) A.5π12 B.7π12 C.19π24 D.41π24 答案　C　 3.(2019屆寧夏頂級(jí)名校10月聯(lián)考,10)當(dāng)00,函數(shù)f(x)=sin ωxcos ωx+3cos2ωx-32的最小正周期為π,則下列結(jié)論正確的是(　　) A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π3對(duì)稱(chēng) B.函數(shù)f(x)在區(qū)間π12,7π12上單調(diào)遞增 C.將函數(shù)f(x)的圖象向

46、右平移π12個(gè)單位可得函數(shù)g(x)=cos 2x的圖象 D.當(dāng)x∈0,π2時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為-32 答案　D　 5.(2019屆河北唐山10月模擬,10)若函數(shù)f(x)=sinωx+π6(ω>0)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒(méi)有最值,則ω的取值范圍是(　　) A.0,112∪14,23 B.0,16∪13,23 C.14,23 D.13,23 答案　B　 6.(2018河北衡水中學(xué)四調(diào),11)將函數(shù)f(x)=2cos 2x的圖象向右平移π6個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)間0,a3和2a,7π6上均單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值

47、范圍是(　　) A.π3,π2 B.π6,π2 C.π6,π3 D.π4,3π8 答案　A　 二、填空題(每小題5分,共10分) 7.(2017湖南一模,13)函數(shù)f(x)=3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函數(shù),則tan θ等于　　　　.? 答案　-3 8.(2019屆河北衡水中學(xué)二調(diào),14)給出下列四個(gè)命題: ①函數(shù)f(x)=2sin2x+π3圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線x=7π12; ②函數(shù)f(x)=tan x的圖象關(guān)于點(diǎn)π2,0對(duì)稱(chēng); ③若sin2x1-π4=sin2x2-π4=0,則x1-x2=kπ,其中k∈Z;

48、④函數(shù)y=cos2x+sin x的最小值為-1. 以上四個(gè)命題中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為　　　　.? 答案　1 三、解答題(共10分) 9.(2018山東天成第二次聯(lián)考,19)已知函數(shù)f(x)=2sin 8x·cos 4xsin4x+π6-cos 8xsin 4x·(3sin 4x+cos 4x). (1)求函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間-π24,π12上的最值. 解析　(1)f(x)=2sin 8xcos 4xsin4x+π6-cos 8xsin 4x·(3sin 4x+cos 4x) =2sin 8xcos 4x32sin4x+12cos4x-cos

49、 8xsin 4x(3sin 4x+cos 4x) =sin 8xcos 4x(3sin 4x+cos 4x)-cos 8xsin 4x(3sin 4x+cos 4x) =(3sin 4x+cos 4x)(sin 8xcos 4x-cos 8xsin 4x) =(3sin 4x+cos 4x)sin(8x-4x) =(3sin 4x+cos 4x)sin 4x =3sin24x+sin 4xcos 4x =3×1-cos8x2+12sin 8x =12sin 8x-32cos 8x+32 =sin8x-π3+32. 令8x-π3=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ8+5π48(k∈Z). 所以函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=kπ8+5π48(k∈Z). (2)由(1)得f(x)=sin8x-π3+32. 因?yàn)閤∈-π24,π12,所以8x-π3∈-2π3,π3. 故sin8x-π3∈-1,32. 所以-1+32≤sin8x-π3+32≤3, 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間-π24,π12上的最大值為3,最小值為-1+32.