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1、現(xiàn)代控制理論Modern Control Theory石大勝利學(xué)院電氣信息工程系 第二章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的解（分析）Chapter 2 Solution( analysis)of State space description of control systems Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems第一章復(fù)習(xí)（Review of Chapter 1）n狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達(dá)式n狀態(tài)空間表達(dá)式的模擬結(jié)構(gòu)圖n狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(1)n狀態(tài)空間表達(dá)式的建立(2)n狀態(tài)矢量的線性變換
2、n由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems本章概要(Outline of this Chapter)n線性定常齊次狀態(tài)方程的解n矩陣指數(shù)函數(shù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣n線性定常系統(tǒng)非齊次方程的解n線性時(shí)變系統(tǒng)的解n離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的解n連續(xù)時(shí)間狀態(tài)表達(dá)式的離散化 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems本講概要(Outline of this Chapter)n 2.1 線性定
3、常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解q定義：自由解q矩陣指數(shù)法n 2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣q狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義 q轉(zhuǎn)移矩陣的幾條重要性質(zhì) q幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù) q轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 2.1 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解 (自由解) Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.1 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解n定義：自由解 自由解：系統(tǒng)在輸入為零（ ）時(shí)，由初始狀態(tài)引起的自由運(yùn)動(dòng)。 此時(shí)，狀態(tài)方程為齊次微分方程：0)( tu)()( tAxtx （2.1） Modern Control Theory Chapter
4、2 State Space Analysis of Control Systems2.1 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解定義：自由解n一階齊次微分方程組的解 時(shí)，初始狀態(tài)為 時(shí)，初始狀態(tài)為 n此時(shí)的解稱為一階齊次微分方程組的解，也稱，方程的自由解。0tt 00)( xtx 0t 0)0( xx 00)( ,)( 0 ttxetx ttA 0,)( 0 txetx At Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.1 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解n矩陣指數(shù)法n設(shè) 的解為：0)()( tAxtx代入
5、)()( tAxtx 得： )( 32 2210 12321 kk kk tbtbtbbA tkbtbtbb 02210 )0(,)( bxtbtbtbbtx kk （2.4） Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.1 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解n矩陣指數(shù)法n 對(duì)應(yīng)于t的同次冪系數(shù)相等),()( tAxtx 000 03032323 02021212 01 )0(!1 !31!231313 !2121212 xxbbAkb bAbAAbbAbb bAbAAbbAbb Abb kk Mo
6、dern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.1 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解n矩陣指數(shù)法 Ate所以 kkAt tAktAAtIe !1!21 22記為 ，即022 !1!21)( xtAktAAtItx kk 矩陣指數(shù)函數(shù)nn0)( xetx At Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.1 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解n矩陣指數(shù)法n例1：已知 01 10A，求Ate 4322201 10
7、10 01!4101 10!3110 01!2101 1010 01 !1!21 tttt tAktAAtIee kktAt解： Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.1 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解n矩陣指數(shù)法 tt tt ttttt ttttt cossin sincos !41!211!51!31 !51!3141!211 4253 5342 ！ 2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Co
8、ntrol Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n轉(zhuǎn)移矩陣定義 n轉(zhuǎn)移矩陣的幾條重要性質(zhì) n幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù) n轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義 n齊次微分方程 的自由解為： 或n表達(dá)式反映了從初始時(shí)刻的狀態(tài)矢量 ，到任意 或 時(shí)刻的狀態(tài)矢量 的一種矢量變換關(guān)系，變換矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù) ，它是一個(gè)時(shí)變函數(shù)矩陣；從時(shí)間的角度而言，這意味著它使?fàn)顟B(tài)矢量隨著時(shí)間的推移，不斷的在狀態(tài)空間中作轉(zhuǎn)移，所以 也成為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，通常記為 。
9、 0)( 0)( xetx ttA tAxtx 0)( xetx At 0 x 0t0tt )(tx AteAte )(t Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義 n 表示 到 的轉(zhuǎn)移矩陣。n 表示 到 的轉(zhuǎn)移矩陣。 Atet )0(x )(tx )( 0 0ttAett )( 0tx )(tx)()( tAxtx )0()()( xttx 的解可以表示為： )()()( 00 txtttx 或 這樣 Modern Control Theory Chap
10、ter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義 1t 20 x 10 x 00 t21x 11x12x 22x 1x2x2t圖2-1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移軌線 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣定義 意義：通過分析可以看出，利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，可以從任意指定的初始時(shí)刻狀態(tài)矢量 ，求得任意時(shí)刻t 的狀態(tài)矢量 。 說明齊次方程的解僅是初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。)( 0tx)(tx Modern Con
11、trol Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的幾條重要性質(zhì) 具有如下的性質(zhì)：n 1、組合特性： n 2、初始特性： tt t Itt 0 )( tAAAt eee或 或 Ie ttA )( Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的幾條重要性質(zhì) n 3、有逆特性： n 4、傳遞特性： tt 1)( )()( 001 tttt )()(1 tt AtA
12、t ee 1或 )()()( 020112 tttttt Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n轉(zhuǎn)移矩陣的幾條重要性質(zhì) n 5、n 6、對(duì)nn矩陣A和B，若AB=BA，則 n 7、 )()( ktt k BtAttBA eee )( AttAt )()()( A )0(AeAeedtd AtAtAt 或 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n幾個(gè)
13、特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)n 1、若A為對(duì)角陣 nA 00 00 0021 tttAt neeete 00 00 00)( 21 則 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)n 2、若A能夠通過非奇異變換予以對(duì)角化，即 100 00 00)( 21 TeeeTte tttAt n ATT 1則 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n幾
14、個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù) n 3、若A為約旦矩陣則 1000 000 )!2/(10 )!1/(!2/1 212 tntt ntttee nntJt 10 1011 JA Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù) n 3、若A為約旦矩陣則 0 1JA ttttJt eteetee 0101 211 00 00 01 JA則 ttttJt eeteee 2111 00 00 0 Modern Control Theory Chapter 2 State S
15、pace Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n幾個(gè)特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)n 4.若 A tAt ett ttte cossin sincos)( Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 q根據(jù)定義直接計(jì)算 q化矩陣A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型法 q拉氏反變換法 q應(yīng)用凱萊哈密頓定理法 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2
16、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 q 1、根據(jù)定義直接計(jì)算 tAntAAtIet nAt !1!21)( 2 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 q 1、根據(jù)定義直接計(jì)算 例2-1：已知 求解： 32 10A Ate 32 32 3 2 32 3 2 31 0 0 1 0 1 0 11 10 1 2 3 2 3 2 32! 3!3 71 2 67 7 52 3 1 33 2 2Ate t t tt t t t tt t t t t t Moder
17、n Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 q 2、化矩陣A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型法n矩陣A特征值互異 ATT 1 11 21)( TeeeTTTeet ttttAt n Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 q 2、化矩陣A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型法n矩陣A特征值有重根 ATTJ 1 111 1111 111 )!1/( Teeetee me
18、tteeTTTee ttttt tmttJtAt nm Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 q 2、化矩陣A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型法例2-3 452 100 010A Ate，求解: )2()1( 452 10 01 2 AI 2,1 321 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 q 2、化矩陣A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型法得1
19、 1 00 1 00 0 2J ttttJt eeteee 200 00 0按第一章的方法求得 411 201 111T 121 132 2521T Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 q 2、化矩陣A為約旦標(biāo)準(zhǔn)型法 ttttttttt ttttttttt tttttttt tttt ttt tttt ttttAt eeteeeteeete eeteeeteetee eeteeeteete eetee etee eetee eeteee 222 2
20、22 222 222 2 43883442 22453)(2 232 121 132 25242 121 132 25200 00 0411 201 111 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 q 3、拉普拉斯變換法 )0()()()()0()( 1xAsIsXsAXxssX )0()(L)( 11 xAsItx 11 )(L)( AsIteAt Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysi
21、s of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 q 3、拉普拉斯變換法 例2-4：（同上例）解： 32 1ssAsI 22112212 21112112)2)(1()2)(1( 2 )2)(1( 1)2)(1( 3)( 1 ssss ssssss sss ssss sAsI tttt ttttAt eeee eeeeAsILe 22 2211 2222)( Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 n狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算 q 4、應(yīng)用凱萊哈密頓
22、定量法（自己看）0)( 111 nnnn aaaAIf 0)( 111 IaAaAaAAf nnnn IaAaAaA nnnn 111 1 110 )()()( nnAt AtaAtaItae 由此，有 2.3 線性定常非齊次狀態(tài)方程的解 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.3 線性定常非齊次狀態(tài)方程的解n定義：n對(duì)線性定常系統(tǒng) 稱為非齊次狀態(tài)方程，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)稱為強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)(在控制作用 作用下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)）。 00)(),()()( xtxtButAxtx )(tu Modern Cont
23、rol Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.3 線性定常非齊次狀態(tài)方程的解n當(dāng)初始時(shí)刻 ，初始狀態(tài) 時(shí)，其解為： n當(dāng)初始時(shí)刻 ，初始狀態(tài) 時(shí)，其解為： 0t 00 t )0()( 0 xtx t dButxttx 0 )()()0()()( )( 0tx tt dButtxtttx 0 )()()()()( 00 非齊次狀態(tài)方程的解=自由運(yùn)動(dòng)+強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng) Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.3 線性定常非齊
24、次狀態(tài)方程的解n例2-8： 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程 求系統(tǒng)響應(yīng)。解：系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣在以前的例中已求得為)(1,1032 10 tuuxx tttt ttttAt eeee eeeeet 22 22 222)( Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.3 線性定常非齊次狀態(tài)方程的解代入公式得： dee ee xxeeee eeee dButxttx t tt tt tttt tttt t 0 )(2)( )(2)( 2122 2202 )0( )0(222 )()()0()()( tt tt t
25、ttt tttt ee ee xeexee xeexee 2 2 2212 22122121 )0()2()0()22( )0()()0()2( Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.3 線性定常非齊次狀態(tài)方程的解 若初始條件為零，即 ，則系統(tǒng)的響應(yīng)僅取決于控制作用的激烈部分，而為： tt tt exxexx exxexx 22121 22121 1)0(2)0(21)0()0(2 21)0()0(1)0()0(221 tt tt ee eetx tx 2 221 22121)( )(
26、0)0( x Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.3 線性定常非齊次狀態(tài)方程的解n典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的解 q脈沖響應(yīng) 即當(dāng)非齊次狀態(tài)方程的解為當(dāng)K=1時(shí)為單位脈沖響應(yīng)，則： 0)0(),()( xxtKtu BKexetx AtAt 0)( Bexetx AtAt 0)( Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.3 線性定常非齊次狀態(tài)方程的解n典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的解 q階躍
27、響應(yīng) 即當(dāng)非齊次狀態(tài)方程的解為當(dāng)K=1時(shí)為單位階躍響應(yīng)，則： 0)0(),(1)( xxtKtu BKeAxetx AtAt )1()( 10 BeAxetx AtAt )1()( 10 必須存在 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems2.3 線性定常非齊次狀態(tài)方程的解n典型輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)的解 q斜坡響應(yīng) 即當(dāng)非齊次狀態(tài)方程的解為當(dāng)K=1時(shí)為單位斜坡響應(yīng)，則： 0)0(),(1)( xxtKttu BKAeAxetx tAtAt )1()( 120 BAeAxetx tAtAt )1()( 120 必須存在 Modern Control Theory Chapter 2 State Space Analysis of Control Systems作業(yè)(Homework)n P.87 2-4(2)n P.87 2-5n P.87 2-6
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