大學(xué)物理g電磁感應(yīng)與麥克斯韋方程組

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1、1 第七章 電磁感應(yīng)與麥克斯韋方程組 Electromagnetic Induction and Maxwells Equations 2 第七章 電磁感應(yīng)與麥克斯韋方程組 Electromagnetic Induction and Maxwells Equations m 變化 回路中產(chǎn)生 Ii 電磁感應(yīng) 典型情形： 回路不變 , 變 (感生 ) B B L 不變 , 回路變 (動(dòng)生 ) B 3 法拉第定律 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) 感生電動(dòng)勢(shì) 互感與自感 磁場(chǎng)的能量 麥克斯韋方程組 主要內(nèi)容 ： 第七章 電磁感應(yīng)與麥克斯韋方程組 Electromagnetic Induction and Maxwell

2、s Equations 4 表示法 ab 方向： () (+) (U低 U高 ) 物理意義： q A )()( 7.1 法拉第定律 Faradays Law 電動(dòng)勢(shì) Electromotive force ab + b a ( ) 大?。洪_路電壓 ab =UbUa 5 電源內(nèi)部存在非靜電場(chǎng) () ( ) ( ) () dA F l 非 非靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng) () () dEl 非 場(chǎng)的觀點(diǎn) () () dq E l 非 一般： L L dEl 非 6 d d m i t 計(jì)算 ： 設(shè)定回路 L 的方向 (此即 i 的正方向 ) 右手螺旋 法線方向 n 法拉第定律 m 法拉第定律 i ( 0, 則實(shí)際方

3、向與所 L, i B n 設(shè)方向一致； 0, 則相反 ) 7 N匝線圈： d d m i t 楞次定律 Lenzs Law 感應(yīng)電流的方向 , 總是使它產(chǎn)生的磁場(chǎng)抵 抗引起這個(gè)感應(yīng)電流的磁通的變化。 Note: 磁鏈 (magnetic linkage) mm N 其中 8 特點(diǎn) ：磁場(chǎng)不變，導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)。 ab運(yùn)動(dòng) , 其中電子受 洛侖茲力： F e B v洛 eE 非 EB v非 7.2 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) Motional Electromotive Force B v c d a b 9 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)： ab d abL El 非 普遍計(jì)算式 ( ) dBl b a v 10 例 7-1 解： 轉(zhuǎn)軸

4、在中點(diǎn) 兩側(cè)各線元上的 di 兩兩抵消 0i 導(dǎo)體棒長 L, 角速度 。 若轉(zhuǎn)軸在棒的中點(diǎn) , 則 整個(gè)棒上電動(dòng)勢(shì)的值為 ；若轉(zhuǎn)軸在棒的 端點(diǎn) , 則電動(dòng)勢(shì)的值為 。 B r+dr r dl 11 轉(zhuǎn)軸在端點(diǎn) 于是 dii L d ( ) di Bl v 則 r r+dr 線元： 設(shè)轉(zhuǎn)軸在左下端 , L方向指 向右上端。 dB r r 2 2BL B dr dBrv r 0 L B r+dr r dl 12 a b c B abc為金屬框 ， bc邊 長為 L， 則 a、 c兩點(diǎn) 間的電勢(shì)差 UaUc=? Hint: 整個(gè)框 i = ab+bc+ca= 0 bc=BL2/2 ca = BL2/

5、2 ab=0 =UaUc Why? m i t d d 思考 轉(zhuǎn)軸位于 L/3處，結(jié)果？ 13 例 7-2 v I=40A, v =2m/s, 則金 屬桿 AB中的感應(yīng)電動(dòng) 勢(shì) i = , 電勢(shì) 較高端為 端 。 解： O X x x+dx 1m 1m I A B ld 設(shè) i 正方向?yàn)?AB d ( ) di Bl v 則 對(duì)于 xx+dx 線元，有 dBx v 0 d 2 Ix x v 14 于是 dii 20 1 d 2 I x x v 0 l n 2 2 I v 50 l n 2 1.1 10 2i I V v i =UBUA 0 A端電勢(shì)較高 思考 若金屬桿彎曲 ? I 15 7.3

6、 感生電動(dòng)勢(shì) Induced Electromotive Force 1.感生電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算 特點(diǎn) ：回路不變，磁場(chǎng)變化 d d m i t 16 a a I b L, i x x+dx X O 如圖 ,金屬框與長直 載流導(dǎo)線共面 ,設(shè)導(dǎo) 線中電流 I=I0cost, 求金屬框中的感生電 動(dòng)勢(shì) i。 例 7-3 解： 設(shè)定回路的正方向如圖，此即 i的正方向 任意時(shí)刻 t的磁通： dm BS dBS 2 0 d 2 a a I bx x 2ln20 Ib 17 感生電動(dòng)勢(shì)： 0d l n 2 d d 2 d m i b I tt 00 l n 2 sin 2 bI t 思考 若金屬框以速率 v右移

7、 , 在 t 時(shí)刻正處 于圖示位置 , 則 i =? 18 思考 若金屬框以速率 v右移 , 在 t 時(shí)刻正處 于圖示位置 , 則 i =? a a I b L, i X O I b L, i x x+a X O v 任意 t 時(shí)刻 a I b L, i x x +dx X O 任意 t 時(shí)刻 2 0 d 2 at i at I bx x v v 19 2.感生電場(chǎng) Induced electric field (Maxwell首次提出 ) 感生電場(chǎng)與變化的磁場(chǎng)相聯(lián)系： d d m i t dii L El d d d S BS t d S B S t 來自某種非靜電場(chǎng) 感生電場(chǎng) F iE 非

8、 感生電動(dòng)勢(shì)中： FF非 洛 20 ddi LS BE l S t 對(duì)于非導(dǎo)體回路或空間回路 ,上式 都成立 . Notes: 感生電場(chǎng)線是閉合曲線 ,感生電場(chǎng) 又稱渦旋 (vortex)電場(chǎng) . 感生電場(chǎng)不是保守場(chǎng) . 21 3.感應(yīng)電流的應(yīng)用 表面熱處理，表面去氣 冶煉難熔金屬 (高頻感應(yīng)爐 ) 產(chǎn)生 電磁阻尼 (儀表 ) B 阻尼 4.電子感應(yīng)加速器 (See P.328 329) 22 *1.互感現(xiàn)象 互感現(xiàn)象 I12121 I21212 I1 I2 (I2所產(chǎn)生 ) 12 21 (I1所產(chǎn)生 ) 21 12 7.4 互感與自感 Mutual Induction and Self-In

9、duction 23 2.自感現(xiàn)象 載流線圈中 : 自感現(xiàn)象 自感系數(shù) L 表征線圈產(chǎn)生自感的能力 定義： I L m 穿過線圈的磁通 線圈中電流 I B I m i B 24 SI單位： H (Henry)， 1H=1Wb/A 1mH=10-3H 1H=10-6H L僅依賴 于線圈的幾何及周圍磁介 質(zhì)性質(zhì)；無鐵磁介質(zhì)時(shí) ,L與 I無關(guān) . 對(duì)于一個(gè) N匝線圈： I L m 線圈的磁鏈 Notes: 25 例 7-4 長直螺線管的自感系數(shù) (管長 d, 截面積 S, 單位長度上匝數(shù) n) 解： 設(shè)通電流 I，則管內(nèi) B=0nI m=nd0nIS 螺管體積 L=m/I=0n2V 若管內(nèi)充滿某種磁

10、介質(zhì) , 則 L = 0rn2V。 細(xì)螺繞環(huán)的自感系數(shù)表達(dá)式同此。 Note =0n2VI 26 自感電動(dòng)勢(shì) d d dd m i I L tt (i 與 I兩者正方向一致 ) 上式僅適用于無鐵磁介質(zhì) (L不隨 I 變化 )的情形 . L的另一定義 dd iL It Notes: I, i B 27 7.5 磁場(chǎng)的能量 Energy of Magnetic Field 1.載流線圈的磁能 b a L i i： 0 I i 阻礙電流增長 電場(chǎng)力克服 i 做功 , 此 功轉(zhuǎn)化為磁能 . i i+di 過程（ tt+dt） , 電場(chǎng)力做功： dA=dq(UaUb) i =idt(i) =idtLdi

11、/dt =Lidi = Ldi/dt 28 0I過程 ,電場(chǎng)力做的總功： 21 20 d I A L i i L I 載流線圈的磁能： 2 2 1 LIAW m 上式適用于 L一定 (即 L不隨 I變化 )的任意載 流線圈 29 2.磁場(chǎng)能量密度 載流細(xì)螺繞環(huán)： 管內(nèi) B=0nI 管外 B=0 磁能 2 2 1 LIW m 22 02 1 IVn VB 0 2 2 I 磁場(chǎng)能量密度： 0 2 2 B w m 30 3.磁場(chǎng)的能量 dmmW w V r m B w 0 2 2 若環(huán)內(nèi)充滿某種磁介質(zhì) ,則磁場(chǎng)能量密 度為 (普遍成立 ) Note: 31 7.6 麥克斯韋方程組 Maxwells

12、Equations In 1864, J.C.Maxwell： Dynamical Theory of the Electromagnetic Field 自由電荷密度 的高斯定律 D (反映電場(chǎng)的有源性 ) 磁場(chǎng)的高斯定律 (反映磁場(chǎng)的渦旋性 or無源性 ) dd SV D S V d0 S BS 32 d ( ) d LS DH l J S t 普遍的安培環(huán)路定理 (反映電流和變化的電場(chǎng)與磁場(chǎng)的聯(lián)系 ) 其中： 0/ rHB 磁場(chǎng)強(qiáng)度 J 傳導(dǎo)電流密度 33 dd LS BE l S t 法拉第電磁感應(yīng)定律 (反映變化的磁場(chǎng)與電場(chǎng)的聯(lián)系 ) 麥?zhǔn)戏匠探M除積分形式外 ,還有微 分形式 (Se

13、e P.370) Notes: Maxwell對(duì)電磁學(xué) 的貢獻(xiàn)： i)提出了位移電流和感應(yīng)電場(chǎng)的概念 ii)系統(tǒng)總結(jié)了電磁場(chǎng)的基本規(guī)律 iii)預(yù)言了電磁波的存在 iv)指出光是一種電磁波 34 Chap.7 SUMMARY 法拉第定律 電動(dòng)勢(shì)： L dL El 非 d d m i t （ L, , i方向間的關(guān)系 ! ） n L,i B n 35 動(dòng)生電動(dòng)勢(shì) EBv非 L ( ) dL Bl v 感生電動(dòng)勢(shì) iEE 非 (渦旋電場(chǎng) ) d d m i t 36 自感 自感電動(dòng)勢(shì)： d di I L t (i與 I兩者 正方向一致 ) 自感線圈的磁能： 2 2 1 LIW m 自感系數(shù)： I

14、L m 長直螺線管與細(xì)螺繞環(huán)： L=0n2V * 互感 37 磁場(chǎng)的能量 能量密度： 區(qū)域 能量： dmmW w V 0 2 2 B w m (真空中 ) 麥?zhǔn)戏匠探M的積分形式及其物理意義 38 Chap.7 EXERCISES 一根直導(dǎo)線在均勻磁場(chǎng) 中以速度 運(yùn) 動(dòng) , 則導(dǎo)線中對(duì)應(yīng)于非靜電力的場(chǎng)強(qiáng) （ 稱 作非靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng) ） =。 B v kE 答： Bv 思考 若為彎曲導(dǎo)線呢 ? 39 答案： (D) (A) 閉合曲線上 處處相等 在感生電場(chǎng)中電磁感應(yīng)定律可寫成 式中 為感生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度 ,此式表明 iE dd d m iL El t iE (B) 感生電場(chǎng)是保守場(chǎng) . (C) 感生電

15、場(chǎng)的電場(chǎng)線不是閉合曲線 . (D) 在感生電場(chǎng)中不能像對(duì)靜電場(chǎng)那樣引 入電勢(shì)的概念 . 40 當(dāng)線圈的幾何形狀 、 大小及周圍磁介質(zhì) 分布不變 ,且無鐵磁性物質(zhì)時(shí) ,若線圈中的 電流強(qiáng)度變小 ,則線圈的自感系數(shù) L 答案： (C) (A) 變大 ,與電流成反比關(guān)系 . (B) 變小 . (C) 不變 . (D) 變大 ,但與電流不成反比關(guān)系 . 41 用線圈的自感系數(shù) L來表示載流線圈磁場(chǎng) 能量的公式 Wm=LI2/2 (A)只適用于無限長密繞螺線管 . (B)只適用于單匝圓線圈 . (C)只適用于匝數(shù)很多且密繞的螺線環(huán) . (D)適用于自感系數(shù) L一定的任意線圈 . 答案： (D) 42 解

16、： X Y Z a b c O B L,i 穿過回路 abca 的磁通： BRm 2 4 d d m i t 回路中感生電動(dòng)勢(shì)： 2 d 4d BR t kR 2 4 一導(dǎo)線被彎成半徑為 R的三段 圓弧 ,分別位于三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi) . 均勻磁場(chǎng) 沿 X軸正向 ,磁感應(yīng) 強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率為 k(k0), 則回路 abca 中感生電動(dòng)勢(shì)的數(shù) 值為 ,圓弧 中感應(yīng)電 流的方向?yàn)?. B bc ? 43 其數(shù)值為 kR 2 4 0i 思考 將回路圍繞何方向旋轉(zhuǎn)，結(jié)果不變？ 中感應(yīng)電流方向 ：從 c到 b bc 44 如圖 , 電量 Q均勻分布在長 為 L的絕緣圓筒上 。 若圓 筒以角速度 =0(1t/

17、t0)線 性減速旋轉(zhuǎn) , 則矩形線圈中 的感應(yīng)電流為 。 解： 穿過線圈的磁通始終為零 i=0Ii=0 思考 筒內(nèi)磁場(chǎng)隨時(shí)間變化的規(guī)律？ 45 X O L0 L1 i a d c b v L2 如圖 , t =0時(shí) , ab邊 與 cd邊重合 . 金屬 框自感忽略不計(jì) . 如 i =I0cos t, 求 ab 邊運(yùn)動(dòng)到圖示位 置時(shí) , 金屬框中的 總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 。 解： 建立坐標(biāo)軸如圖 如何建立微元？ 46 dm S BS 設(shè)框中 i的正方向?yàn)轫?時(shí)針 ,則在 t時(shí)刻 ,穿過框 的磁通為 01 0 00 c os d 2 LL L I t t x x v 0 0 0 1 0 c os ln 2

18、 I t t L L L v dS BS 01 0 00 c os d 2 LL L It tx x v BS/d X O L0 L1 I a d c b v L2 x x+dx dS=vtdx 47 d d m i t 0100 0 ln s in c o s 2 LLI t t tL v 令 t =L2/v，得 0100 2 2 2 0 ln s in c o s 2i LLI L L L L v v v v 思考 結(jié)果中的“感生”項(xiàng)與“動(dòng)生”項(xiàng) ? 感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) : 48 金屬圓環(huán)半徑 r =10cm， 電阻 R=1， 水平 放置 。 若地球磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的豎直分量 為 5105T， 則將

19、環(huán)面翻轉(zhuǎn)一次 ， 沿環(huán)流 過任一橫截面的電量 q =。 解： B L 設(shè)回路 L正方向如圖 ,則 有： R I ii t t+dt內(nèi)： ddiq I t d d m Rt d m R 49 0 1 dd m m q mq R 作積分： 1 ()mmq R R Br 22 )(1 22 BrBr R C61014.3 思考 在翻轉(zhuǎn)中 , 環(huán)中電流方向是否不變 ? 50 兩個(gè)長度相同 、 匝數(shù)相同 、 截面積不同的長直 螺線管 , 通以相同大小的電流 。 現(xiàn)將小螺管放入 大螺管里 , 且使兩者產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向一致 , 則小 螺管內(nèi)的磁能密度是原來的 倍 。 解： 單個(gè)螺管 : B=0nI 放入后 ,

20、 小螺管內(nèi) : B=2B 0 2 2 B w m 22/ / 4 mmw w B B 思考 系統(tǒng)的磁能是否與原來相等？原因？ 51 Q P 線圈 P的自感和電阻分別是 線圈 Q的兩倍 ,兩線圈間的 互感忽略不計(jì) ,則 P與 Q的磁 場(chǎng)能量的比值為 (A)4 (B)2 (C)1 (D)1/2 解： W=LI2/2 2 P P P Q Q Q W L I W L I 2 1 2 2 2 1 )( D 思考 若兩線圈串聯(lián)，結(jié)果？ 52 思考 若金屬框以速率 v右移 , 在 t 時(shí)刻正處 于圖示位置 , 則 i =? a a I b L, i X O I b L, i x x+a X O v 任意 t 時(shí)刻 a I b L, i x x +dx X O 任意 t 時(shí)刻