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1、第 二 章極限與連續(xù) 函數是現(xiàn)代數學的基本概念之一，是高等數學的主要研究對象. 極限概 念是微積分的理論基礎，極限方法是微積分的基本分析方法，因此，掌握、運用好極限方法是學好微積分的關鍵. 連續(xù)是函數的一個重要性態(tài). 本章將介紹極限與連續(xù)的基本知識和有關的基本方法，為今后的學習打下必要的基礎. 二 、 數 列 的 有 關 概 念四 、 小 結三 、 數 列 極 限 的 定 義第 一 節(jié) 數 列 的 極 限一 、 引 例 “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1. 割 圓 術 ： 播 放劉徽一、引例 R正六邊形的面積1A正十二邊形的面積2A正 形的面積126 n
2、nA , 321 nAAAA S 二、數列(sequence)的有關概念 1 ,1 ,1 ,1 ;)1( 1 nny ,1 ,0 ,1 ,0例如 16 ,8 ,4 ,2 161 ,81 ,41 ,21;2nny ;21nny 2 )1(1 nny .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn 播 放 三、數列極限的定義(Limit of a sequence) 問題:當 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?nyn .)(, 111 1無限接近于無限增大時當nyn nn 問題: “無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻畫它.1 ny nnn 11)1( 1 通過上面演示
3、實驗的觀察: ,1001給定,10011 n由,100時只要n ,10011 ny有,10001給定,1000時只要n ,1000011 ny有,100001給定,10000時只要n ,100011 ny有,0給定任意,)1(時只要 Nn .成立有1 ny 如果一個數列有極限，我們就稱這個數列是收斂的，否則就稱它是發(fā)散的.注 意 ： ;.1的無限接近與刻劃了不等式AyAy nn .2有關與任意給定的正數N .Ay，Ay nn收斂于亦稱為極限以 幾何解釋: x 1y2y 2Ny1Ny 3y2A AA .)( ,),(,落在其外個至多只有只有有限個內都落在所有的點時當N AAyNn n .,因而也
4、是發(fā)散的我們說它是振蕩無極限 ,時當例如n ;021收斂于nny ;111收斂于nyn ;,所以它是發(fā)散的無極限而ny n 2 ,)( 102 11時而取時而取nny 例 1 .212lim nnn利用定義證明證 2ny 212 nn n1要使對于任意給定的,0 .1就可以了只要取n ,11時則當取正整數NnN 212lim nnn即,0, 對于任意給定的因此. 2恒成立ny,212,為極限以所以nnyn 不能根據極限的定義求出數列的極限,只能用定義驗證某常數是否是某數列的極限.注 意 ： 1 112 1 nn nn xn xn x： , .)(取奇數時當取偶數時當是發(fā)散的數列例 四、小結數
5、列 :研究其變化規(guī)律;數 列 極 限 :極限思想、極限定義、幾何意義; 1. 割 圓 術 ：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽一、概念的引入 1. 割 圓 術 ：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”劉徽一、概念的引入 “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1. 割 圓 術 ：劉徽一、概念的引入 “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1. 割 圓 術 ：劉徽一、概念的引入 “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1. 割 圓 術
6、：劉徽一、概念的引入 “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1. 割 圓 術 ：劉徽一、概念的引入 “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1. 割 圓 術 ：劉徽一、概念的引入 “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1. 割 圓 術 ：劉徽一、概念的引入 “割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1. 割 圓 術 ：劉徽一、概念的引入 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn 三、數列的極限 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限 .)1(1 1時
7、的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限 .)1(1 1時的變化趨勢當觀察數列 nnn三、數列的極限
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