高二選修1-1第三章《生活中的優(yōu)化問題舉例》課件1

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1、 生 活 中 經(jīng) 常 會(huì) 遇 到 求 什 么 條 件 下 可 使 用 料 最 省 ， 利潤(rùn) 最 大 ， 效 率 最 高 等 問 題 ， 這 些 問 題 通 常 稱 為 優(yōu) 化 問 題 .這 往 往 可 以 歸 結(jié) 為 求 函 數(shù) 的 最 大 值 或 最 小 值 問 題 .其 中不 少 問 題 可 以 運(yùn) 用 導(dǎo) 數(shù) 這 一 有 力 工 具 加 以 解 決 . 復(fù) 習(xí) ： 如 何 用 導(dǎo) 數(shù) 來 求 函 數(shù) 的 最 值 ？ 一 般 地 ， 若 函 數(shù) y=f (x)在 a， b上 的 圖 象 是 一 條連 續(xù) 不 斷 的 曲 線 ， 則 求 f (x) 的 最 值 的 步 驟 是 ：（ 1） 求

2、 y=f (x)在 a， b內(nèi) 的 極 值 (極 大 值 與 極 小 值 )；（ 2） 將 函 數(shù) 的 各 極 值 與 端 點(diǎn) 處 的 函 數(shù) 值 f (a)、 f (b) 比 較 ， 其 中 最 大 的 一 個(gè) 為 最 大 值 ， 最 小 的 一 個(gè) 為 最 小 值 . 特 別 地 ， 如 果 函 數(shù) 在 給 定 區(qū) 間 內(nèi) 只 有 一 個(gè) 極 值 點(diǎn) ，則 這 個(gè) 極 值 一 定 是 最 值 。 規(guī) 格 （ L） 2 1.25 0.6價(jià) 格 （ 元 ） 5.1 4.5 2.5問 題 情 景 一 ： 飲 料 瓶 大 小 對(duì) 飲 料 公 司 利 潤(rùn) 的 影 響 下 面 是 某 品 牌 飲 料

3、的 三 種 規(guī) 格 不 同 的 產(chǎn) 品 ， 若 它 們的 價(jià) 格 如 下 表 所 示 ， 則（ 1） 對(duì) 消 費(fèi) 者 而 言 ， 選 擇 哪 一 種 更 合 算 呢 ？（ 2） 對(duì) 制 造 商 而 言 ， 哪 一 種 的 利 潤(rùn) 更 大 ？ 例 1、 某 制 造 商 制 造 并 出 售 球 形 瓶 裝 的 某 種 飲 料 ， 瓶 子 的 制 造成 本 是 0.8pr2分 ， 其 中 r是 瓶 子 的 半 徑 ， 單 位 是 厘 米 ， 已 知 每 出售 1ml的 飲 料 ， 制 造 商 可 獲 利 0.2分 ， 且 制 造 商 能 制 造 的 瓶 子 的最 大 半 徑 為 6cm， 則 每 瓶

4、 飲 料 的 利 潤(rùn) 何 時(shí) 最 大 ， 何 時(shí) 最 小 呢 ？ 2( )= 0.8 -2 0 = 2( ) ，f r r r r令 得r (0， 2) 2 (2， 6f (r) 0f (r) - +減 函 數(shù) 增 函 數(shù) -1.07p解 ： 每 個(gè) 瓶 的 容 積 為 : )(3 4 3 mlrp 每 瓶 飲 料 的 利 潤(rùn) ： 23 8.0342.0)( rrrfy pp 3 2= 0.8 ( - )3r r )60( r 例 1、 某 制 造 商 制 造 并 出 售 球 形 瓶 裝 的 某 種 飲 料 ， 瓶 子 的 制 造成 本 是 0.8pr2分 ， 其 中 r是 瓶 子 的 半 徑

5、 ， 單 位 是 厘 米 ， 已 知 每 出售 1ml的 飲 料 ， 制 造 商 可 獲 利 0.2分 ， 且 制 造 商 能 制 造 的 瓶 子 的最 大 半 徑 為 6cm， 則 每 瓶 飲 料 的 利 潤(rùn) 何 時(shí) 最 大 ， 何 時(shí) 最 小 呢 ？ 2( )= 0.8 -2( )f r r r當(dāng) r (0， 2)時(shí) ， ， f (r)是 減 函 數(shù)當(dāng) r (2， 6時(shí) ， ， f (r)是 增 函 數(shù)( )0f r( )0f r 解 ： 設(shè) 每 瓶 飲 料 的 利 潤(rùn) 為 y， 則 23 8.0342.0)( rrrfy pp 3 2= .8 ( - )3r r )60( rr (0，

6、2) 2 (2， 6f (r) 0f (r) - +減 函 數(shù) 增 函 數(shù) f (r)在 (0， 6上 只 有 一 個(gè) 極 值 點(diǎn) 由 上 表 可 知 ， f (2)=-1.07p為 利 潤(rùn) 的 最 小 值-1.07p例 1、 某 制 造 商 制 造 并 出 售 球 形 瓶 裝 的 某 種 飲 料 ， 瓶 子 的 制 造成 本 是 0.8pr2分 ， 其 中 r是 瓶 子 的 半 徑 ， 單 位 是 厘 米 ， 已 知 每 出售 1ml的 飲 料 ， 制 造 商 可 獲 利 0.2分 ， 且 制 造 商 能 制 造 的 瓶 子 的最 大 半 徑 為 6cm， 則 每 瓶 飲 料 的 利 潤(rùn) 何

7、 時(shí) 最 大 ， 何 時(shí) 最 小 呢 ？ 解 ： 設(shè) 每 瓶 飲 料 的 利 潤(rùn) 為 y， 則 23 8.0342.0)( rrrfy pp 3 2= .8 ( - )3r r )60( r 當(dāng) r (0， 2)時(shí) ， ( ) (0) 0f r f而 f (6)=28.8p， 故 f (6)是 最 大 值答 ： 當(dāng) 瓶 子 半 徑 為 6cm時(shí) ， 每 瓶 飲 料 的 利 潤(rùn) 最 大 ，當(dāng) 瓶 子 半 徑 為 2cm時(shí) ， 每 瓶 飲 料 的 利 潤(rùn) 最 小 .例 1、 某 制 造 商 制 造 并 出 售 球 形 瓶 裝 的 某 種 飲 料 ， 瓶 子 的 制 造成 本 是 0.8pr2分 ，

8、 其 中 r是 瓶 子 的 半 徑 ， 單 位 是 厘 米 ， 已 知 每 出售 1ml的 飲 料 ， 制 造 商 可 獲 利 0.2分 ， 且 制 造 商 能 制 造 的 瓶 子 的最 大 半 徑 為 6cm， 則 每 瓶 飲 料 的 利 潤(rùn) 何 時(shí) 最 大 ， 何 時(shí) 最 小 呢 ？ 解 決 優(yōu) 化 問 題 的 方 法 之 一 ： 通 過 搜 集 大 量 的 統(tǒng) 計(jì) 數(shù) 據(jù) ， 建 立 與 其 相 應(yīng) 的 數(shù) 學(xué)模 型 ， 再 通 過 研 究 相 應(yīng) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) ， 提 出 優(yōu) 化 方 案 ，使 問 題 得 到 解 決 在 這 個(gè) 過 程 中 ， 導(dǎo) 數(shù) 往 往 是 一 個(gè) 有力

9、的 工 具 ， 其 基 本 思 路 如 以 下 流 程 圖 所 示優(yōu) 化 問 題 用 函 數(shù) 表 示 的 數(shù) 學(xué) 問 題用 導(dǎo) 數(shù) 解 決 數(shù) 學(xué) 問 題優(yōu) 化 問 題 的 答 案 問 題 情 景 二 ： 汽 油 使 用 效 率 何 時(shí) 最 高 我 們 知 道 ， 汽 油 的 消 耗 量 w (單 位 :L)與 汽 車 的 速 度 v (單 位 :km/h) 之 間 有 一 定 的 關(guān) 系 ， 汽 車 的 消 耗 量 w 是 汽 車速 度 v 的 函 數(shù) . 根 據(jù) 實(shí) 際 生 活 ， 思 考 下 面 兩 個(gè) 問 題 ：（ 1） 是 不 是 汽 車 的 速 度 越 快 ， 汽 油 的 消 耗

10、量 越 大 ?（ 2） 當(dāng) 汽 車 的 行 駛 路 程 一 定 時(shí) ， 是 車 速 快 省 油 還 是 車 速 慢 的 時(shí) 候 省 油 呢 ？ 一 般 地 ， 每 千 米 路 程 的 汽 油 消 耗 量 越 少 ， 我 們 就 說汽 油 的 使 用 效 率 越 高 （ 即 越 省 油 ） 。 若 用 G 來 表 示 每 千 米 平 均 的 汽 油 消 耗 量 ， 則這 里 的 w是 汽 油 消 耗 量 ， s是 汽 車 行 駛 的 路 程 wG= s如 何 計(jì) 算 每 千 米 路 程 的 汽 油 消 耗 量 ？ 例 2、 通 過 研 究 ， 人 們 發(fā) 現(xiàn) 汽 車 在 行 駛 過 程 中 ，

11、汽 油 的平 均 消 耗 率 g（ 即 每 小 時(shí) 的 汽 油 消 耗 量 ， 單 位 : L / h）與 汽 車 行 駛 的 平 均 速 度 v（ 單 位 : km） 之 間 ， 有 如 圖 的函 數(shù) 關(guān) 系 g = f (v) ， 那 么 如 何 根 據(jù) 這 個(gè) 圖 象 中 的 數(shù) 據(jù) 來解 決 汽 油 的 使 用 效 率 最 高 的 問 題 呢 ？ v(km/h)g (L/h)O 1209030 5051015問 題 1： 可 用 哪 個(gè) 量 來 衡 量 汽 油 的 使 用 效 率 ？問 題 2： 汽 油 的 使 用 效 率 與 g、 v有 什 么 關(guān) 系 ？wG= s (w是 汽 油

12、消 耗 量 ，s是 汽 車 行 駛 的 路 程 )gt gvt v wG= s 例 2、 通 過 研 究 ， 人 們 發(fā) 現(xiàn) 汽 車 在 行 駛 過 程 中 ， 汽 油 的平 均 消 耗 率 g（ 即 每 小 時(shí) 的 汽 油 消 耗 量 ， 單 位 : L / h）與 汽 車 行 駛 的 平 均 速 度 v（ 單 位 : km） 之 間 ， 有 如 圖 的函 數(shù) 關(guān) 系 g = f (v) ， 那 么 如 何 根 據(jù) 這 個(gè) 圖 象 中 的 數(shù) 據(jù) 來解 決 汽 油 的 使 用 效 率 最 高 的 問 題 呢 ？ v(km/h)g (L/h)O 1209030 5051015分 析 ： 每 千

13、 米 平 均 的 汽 油 消 耗 量 ， 這 里 w是 汽 油消 耗 量 ， s是 汽 車 行 駛 的 路 程 w=gt， s=vt wG= sgt gvt v wG= s P(v， g) 的 幾 何 意 義 是 什 么 ？gv如 圖 所 示 ， 表 示 經(jīng) 過 原 點(diǎn)與 曲 線 上 的 點(diǎn) P(v， g)的 直 線的 斜 率 k gv min (90)k f所 以 由 右 圖 可 知 ， 當(dāng) 直 線 OP為 曲 線 的 切 線 時(shí) ， 即 斜 率 k取最 小 值 時(shí) ， 汽 油 使 用 效 率 最 高 0.07 例 3、 經(jīng) 統(tǒng) 計(jì) 表 明 ， 某 種 型 號(hào) 的 汽 車 在 勻 速 行 駛

14、 中 每 小 時(shí) 的耗 油 量 y（ 升 ） 關(guān) 于 行 駛 速 度 x（ 千 米 /小 時(shí) ） 的 函 數(shù) 解 析 式可 以 表 示 為 ：若 已 知 甲 、 乙 兩 地 相 距 100千 米 。 （ I） 當(dāng) 汽 車 以 40千 米 /小 時(shí) 的 速 度 勻 速 行 駛 時(shí) ， 從 甲 地 到乙 地 要 耗 油 為 升 ; （ II） 若 速 度 為 x千 米 /小 時(shí) ， 則 汽 車 從 甲 地 到 乙 地 需行 駛 小 時(shí) ， 記 耗 油 量 為 h(x)升 ， 其 解 析 式 為 : . (III)當(dāng) 汽 車 以 多 大 的 速 度 勻 速 行 駛 時(shí) ， 從 甲 地 到 乙 地 耗

15、 油最 少 ？ 最 少 為 多 少 升 ？ 31 3 8(0 120).128000 80y x x x 17.5 1 0 0 x 3 21 3 100 1 800 15( ) ( 8). (0 120),128000 80 1280 4h x x x x xx x 例 3、 經(jīng) 統(tǒng) 計(jì) 表 明 ， 某 種 型 號(hào) 的 汽 車 在 勻 速 行 駛 中 每 小 時(shí) 的耗 油 量 y（ 升 ） 關(guān) 于 行 駛 速 度 x（ 千 米 /小 時(shí) ） 的 函 數(shù) 解 析 式可 以 表 示 為 ：若 已 知 甲 、 乙 兩 地 相 距 100千 米 。 (III)當(dāng) 汽 車 以 多 大 的 速 度 勻 速

16、 行 駛 時(shí) ， 從 甲 地 到 乙 地 耗 油最 少 ？ 最 少 為 多 少 升 ？ 31 3 8(0 120).128000 80y x x x 解 ： 設(shè) 當(dāng) 汽 車 以 x km/h的 速 度 行 駛 時(shí) ， 從 甲 地 到 乙 地的 耗 油 量 為 h(x) L， 則 31 3 100( ) ( 8).128000 80h x x x x 21 800 15 (0 120)1280 4x xx 3 32 2800 80( ) (0 120)640 640 x xh x xx x 練 習(xí) ： 已 知 某 廠 每 天 生 產(chǎn) x件 產(chǎn) 品 的 成 本 為225000 200 ( )40

17、xc x 元若 要 使 平 均 成 本 最 低 ， 則 每 天 應(yīng) 生 產(chǎn) 多 少 件 產(chǎn) 品 ？解 ： 設(shè) 平 均 成 本 為 y元 ， 每 天 生 產(chǎn) x件 產(chǎn) 品 ， 則25000 200 40c xy x x 250002 200 25040 xx 25000 100040 x xx 當(dāng) 且 僅 當(dāng) ， 即 時(shí) 等 號(hào) 成 立 每 天 應(yīng) 生 產(chǎn) 1000件 產(chǎn) 品 練 習(xí) ： 已 知 某 廠 每 天 生 產(chǎn) x件 產(chǎn) 品 的 成 本 為225000 200 ( )40 xc x 元變 題 1： 若 受 到 設(shè) 備 的 影 響 ， 該 廠 每 天 至 多 只 能 生 產(chǎn) 800件產(chǎn) 品

18、 ， 則 要 使 平 均 成 本 最 低 ， 每 天 應(yīng) 生 產(chǎn) 多 少 件 產(chǎn) 品 呢 ？解 ： 設(shè) 平 均 成 本 為 y元 ， 每 天 生 產(chǎn) x件 產(chǎn) 品 ， 則25000 200 40c xy x x 225000 1 40y x 0 0 1000 0 1000y xy x 由 ， 可 求 得 由 ， 可 求 得 練 習(xí) ： 已 知 某 廠 每 天 生 產(chǎn) x件 產(chǎn) 品 的 成 本 為225000 200 ( )40 xc x 元變 題 1： 若 受 到 產(chǎn) 能 的 影 響 ， 該 廠 每 天 至 多 只 能 生 產(chǎn) 800件產(chǎn) 品 ， 則 要 使 平 均 成 本 最 低 ， 每 天

19、 應(yīng) 生 產(chǎn) 多 少 件 產(chǎn) 品 呢 ？ 函 數(shù) 在 (0， 1000)上 是 減 函 數(shù)800 x y 當(dāng) 時(shí) ， 取 最 小 值故 每 天 應(yīng) 生 產(chǎn) 800件 產(chǎn) 品 變 題 2： 若 產(chǎn) 品 以 每 件 500元 售 出 ， 要 使 得 利 潤(rùn) 最 大 ，每 天 應(yīng) 生 產(chǎn) 多 少 件 產(chǎn) 品 ？練 習(xí) ： 已 知 某 廠 每 天 生 產(chǎn) x件 產(chǎn) 品 的 成 本 為225000 200 ( )40 xc x 元 基 本 不 等 式 法 ： “ 一 正 、 二 定 、 三 相 等 、 四 最 值 ” ；導(dǎo) 數(shù) 法 ： 一 定 義 域 、 二 導(dǎo) 數(shù) 符 號(hào) 、 三 單 調(diào) 性 、 四

20、最 值 ” 。 小 結(jié) ： 在 日 常 生 活 中 ， 我 們 經(jīng) 常 會(huì) 遇 到 求 在 什 么 條 件 下 可使 用 料 最 省 ， 利 潤(rùn) 最 大 ， 效 率 最 高 等 問 題 ， 這 些 問 題 通常 稱 為 優(yōu) 化 問 題 . 在 解 決 優(yōu) 化 問 題 的 過 程 中 ， 關(guān) 鍵 在 于 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型和 目 標(biāo) 函 數(shù) ； 要 認(rèn) 真 審 題 ， 盡 量 克 服 文 字 多 、 背 景 生 疏 、意 義 晦 澀 等 問 題 ， 準(zhǔn) 確 把 握 數(shù) 量 關(guān) 系 。 在 計(jì) 算 過 程 中 要注 意 各 種 數(shù) 學(xué) 方 法 的 靈 活 運(yùn) 用 ,特 別 是 導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn)

21、用 。 (1)審 題 ： 閱 讀 理 解 文 字 表 達(dá) 的 題 意 ， 分 清條 件 和 結(jié) 論 ， 找 出 問 題 的 主 要 關(guān) 系 ； (2)建 模 ： 將 文 字 語 言 轉(zhuǎn) 化 成 數(shù) 學(xué) 語 言 ， 利用 數(shù) 學(xué) 知 識(shí) ， 建 立 相 應(yīng) 的 數(shù) 學(xué) 模 型 ； (3)解 模 ： 把 數(shù) 學(xué) 問 題 化 歸 為 常 規(guī) 問 題 ， 選擇 合 適 的 數(shù) 學(xué) 方 法 求 解 ； (4)對(duì) 結(jié) 果 進(jìn) 行 驗(yàn) 證 評(píng) 估 ， 定 性 定 量 分 析 ，做 出 正 確 的 判 斷 ， 確 定 其 答 案 注 意 ：實(shí)際應(yīng)用中，準(zhǔn)確地列出函數(shù)解析式并確定函數(shù)定義域是關(guān)鍵 例 在 邊 長(zhǎng)

22、 為 60cm的 正 方 形 鐵 片 的 四 角上 切 去 相 等 的 正 方 形 ， 再 把 它 的 邊 沿 虛 線折 起 ， 做 成 一 個(gè) 無 蓋 的 方 底 箱 子 ， 箱 底 的邊 長(zhǎng) 是 多 少 時(shí) ， 箱 子 的 容 積 最 大 ？ 最 大 容積 是 多 少 ？ 解 析 設(shè)箱高為xcm，則箱底邊長(zhǎng)為(602x)cm，則得箱子容積V是x的函數(shù)， V(x)(602x)2x(0 x30)4x3240 x23600 x. V(x)12x2480 x3600，令V(x)0，得x10，或x30(舍去)當(dāng)0 x0，當(dāng)10 x30時(shí)，V (x)0. 當(dāng)x10時(shí)，V(x)取極大值，這個(gè)極大值就是V(x)的最大值V(10)16000(cm 3) 答：當(dāng)箱子的高為10cm，底面邊長(zhǎng)為40cm時(shí)，箱子的體積最大，最大容積為16000cm3. 點(diǎn) 評(píng) 在 解 決 實(shí) 際 應(yīng) 用 問 題 中 ， 如 果 函數(shù) 在 區(qū) 間 內(nèi) 只 有 一 個(gè) 極 值 點(diǎn) ， 那 么 只 需 根據(jù) 實(shí) 際 意 義 判 定 是 最 大 值 還 是 最 小 值 不必 再 與 端 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值 進(jìn) 行 比 較