高中數(shù)學(xué) 第四講 變換的不變量與矩陣的特征向量 4_1 變換的不變量——矩陣的特征向量 課件 新人教A版選修4-2

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1、第四講變換的不變量與矩陣的特征向量 一變換的不變量矩陣的特征向量 1.掌握矩陣的特征值與特征向量的定義,能從幾何變換的角度說(shuō)明特征向量的意義.2.會(huì)求二階矩陣的特征值與特征向量(只要求特征值是兩個(gè)不同實(shí)數(shù)的情形). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 32.特征向量的性質(zhì)設(shè)是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量,則對(duì)任意的非零常數(shù)k,k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量.屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線.名師點(diǎn)撥1.如果k是非零常數(shù),則k0,由于A(k)=kA=k()=(k)=(k),所以k是矩陣A的屬于特征值的特征向量.2.從幾何直觀上看,如果是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征

2、向量,那么與共線的所有非零向量都是A的屬于這個(gè)特征值的特征向量.3.不是每個(gè)二階矩陣都有特征向量和特征值. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1.矩陣的特征值與特征向量的含義是什么?剖析:是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量,則A=,其中使得向量變?yōu)?即變?yōu)榕c向量共線的向量,當(dāng)0時(shí),所得向量與同向;當(dāng)0時(shí),所得向量與反向;當(dāng)=0時(shí),所得向量為零向量.也就是存在特征值和特征向量,在線性變換A的作用下,只讓向量發(fā)生了伸縮變換.既然是伸縮變換,則k也發(fā)生了伸縮變換,所以k也是屬于特征值的特征向量. 2.求二階矩陣特征

3、值和特征向量的簡(jiǎn)要步驟是什么?剖析:(1)設(shè)矩陣A的特征值為,特征向量為,則A=;(2)將上述矩陣形式的方程改寫(xiě)為普通方程組,并合并同類項(xiàng);(3)把得到的方程組改寫(xiě)為齊次線性方程組的矩陣形式;(4)令齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式為0,解出的值;(5)將的值分別代入齊次線性方程組解出特征向量. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四反思特征值與特征向量是相伴出現(xiàn)的,特征向量只屬于一個(gè)特征值. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四反思根據(jù)特征值與特征向量的意義列出所求量的函數(shù)關(guān)系式是解決此類題的基本途徑. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5