數(shù)學分析華師大-導數(shù)的概念

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1、 導 數(shù) 是 微 分 學 的 核 心 概 念 , 是 研 究 函 數(shù) 1 導 數(shù) 的 概 念 一 、 導 數(shù) 的 概 念化 率 ” , 就 離 不 開 導 數(shù) . 三 、 導 數(shù) 的 幾 何 意 義 二 、 導 函 數(shù)態(tài) 的 有 力 工 具 . 無 論 何 種 學 科 , 只 要 涉 及 “ 變與 自 變 量 關 系 的 產(chǎn) 物 , 又 是 深 刻 研 究 函 數(shù) 性 一 、 導 數(shù) 的 概 念一 般 認 為 , 求 變 速 運 動 的 瞬 時 速 度 ， 求 已 知 曲 線 別 在 研 究 瞬 時 速 度 和 曲 線 的 牛 頓 ( 1642 1727, 英 國 ) 兩 個 關 于 導 數(shù)

2、的 經(jīng) 典 例 子 .切 線 時 發(fā) 現(xiàn) 導 數(shù) 的 . 下 面 是微 分 學 產(chǎn) 生 的 三 個 源 頭 . 牛 頓 和 萊 布 尼 茨 就 是 分上 一 點 處 的 切 線 ， 求 函 數(shù) 的 最 大 、 最 小 值 ， 這 是 1. 瞬 時 速 度 設 一 質(zhì) 點 作 直 線 運 動 , 質(zhì) 點 的 位 置 s 是 .0 0tt tstsv 當 t 越 來 越 接 近 t0 時 ， 平 均 速 度 就 越 來 越 接 近 t0時 間 t 的 函 數(shù) , 即 其 運 動 規(guī) 律 是 則 在 某,)(tss vtt tststt 0 00lim (1)時 刻 的 瞬 時 速 度 . 嚴 格

3、地 說 , 當 極 限時 刻 t0 及 鄰 近 時 刻 t 之 間 的 平 均 速 度 是 2. 切 線 的 斜 率 如 圖 所 示 , .)()( 0 0_ xx xfxfk 存 在 時 , 這 個 極 限 就 是 質(zhì) 點 在 t0 時 刻 的 瞬 時 速 度 .其 上 一 點 P( x0, y0 ) 處 的 切 線 點 擊 上 圖 動 畫 演 示點 Q , 作 曲 線 的 割 線 PQ ， 這PT. 為 此 我 們 在 P 的 鄰 近 取 一需 要 尋 找 曲 線 y = f (x) 在 條 割 線 的 斜 率 為 QT 0 x xO xy P ( )y f x 答 : 它 就 是 曲 線

4、 在 點 P 的 切 線 PT 的 斜 率 .的 極 限 若 存 在 ， 則 這 個 極 限會 是 什 么 呢 ？設 想 一 下 ,當 動 點 Q 沿 此 曲 線 無 限 接 近 點 P 時 ， k0 0)()(lim0 xx xfxfk xx (2) 上 面 兩 個 問 題 雖 然 出 發(fā) 點 相 異 ， 但 都 可 歸 結(jié) 為 同x0 處 關 于 x 的 瞬 時 變 化 率 (或 簡 稱 變 化 率 ).均 變 化 率 ， 增 量 比 的 極 限 (如 果 存 在 ) 稱 為 f 在 點的 極 限 . 這 個 增 量 比 稱 為 函 數(shù) f 關 于 自 變 量 的 平 D y = f (x

5、) f (x0) 與 自 變 量 增 量 D x = x xo 之 比一 類 型 的 數(shù) 學 問 題 ： 求 函 數(shù) f 在 點 x0 處 的 增 量 定 義 1 設 函 數(shù) y =f (x) 在 點 x0 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定義 ， 如 果 極 限 0 00( ) ( )lim (3)x x f x f xx x 存 在 , 則 稱 函 數(shù) f 在 點 x0 可 導 , 該 極 限 稱 為 f 在如 果 令 Dx = x x0, Dy = f (x0 +Dx) f (x0), 導 數(shù)就 0 00 0 0 ( ) ( )( ) lim lim . (4)x x f x x f xyf x

6、 x xD D DDD D x0 的 導 數(shù) ， 記 作 .)( 0 xf可 以 寫 成 二 、 導 數(shù) 的 定 義定 義 1 . 設 函 數(shù) )(xfy 在 點 0 x0limxx 0 0)()( xx xfxf xyx DD D 0lim )()( 0 xfxfy D 0 xxx D存 在 , )(xf 并 稱 此 極 限 為)(xfy 記 作 :;0 xxy ;)( 0 xf ;dd 0 xxxy 0d )(d xxxxf 即 0 xxy )( 0 xf xyx DD D 0limx xfxxfx D D D )()(lim 000 h xfhxfh )()(lim 000 則 稱 函

7、數(shù)若 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 , 在 點 0 x 處 可 導 , 在 點 0 x 的 導 數(shù) . 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2)(2lim4)2(lim)2()2(lim)2( .2)( 202002 D DDD DD D DDD x xxxxx fxff xxxf xxx 的 導 數(shù)在求 這 說 明 導 數(shù) 是 函 數(shù) 增 量 D y 與 自 變 量 增 量 D x之比的 極 限 ,即 就 是 f (x) 關 于 x 在 x0 處 的 變 化)( 0 xf點 x0 不 可 導 .率 . 如 果 (3) 或 (4) 式 的 極 限 不 存 在 , 則 稱 在( )

8、f x 在 點 0 x 的 某 個 右 鄰 域 內(nèi)五 、 單 側(cè) 導 數(shù) )(xfy 若 極 限 x xfxxfxy xx D DDD DD )()(limlim 0000則 稱 此 極 限 值 為 )(xf 在 處 的 右 導 數(shù) ,0 x 記 作)( 0 xf即 )( 0 xf x xfxxfx D DD )()(lim 000 (左 )(左 )0( Dx )0( Dx)( 0 xf 0 x xyoxy 定 義 2 . 設 函 數(shù)有 定 義 ,存 在 , 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 理 2. 函 數(shù) 在 點 0 x)(xfy ,)()( 00 存 在與 xfxf 且

9、 )( 0 xf .)( 0 xf)( 0 xf 存 在 )( 0 xf )( 0 xf簡 寫 為 可 導 的 充 分 必 要 條 件是 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 3 證 明 函 數(shù) f (x) = | x | 在 x = 0 處 不 可 導 .證 因 為 1, 0,( ) (0)0 1, 0,xf x fx x 時 它 的 極 限 不 存 在 , 所 以 f (x) 在 x = 0當 0 x處 不 可 導 . 例 4 證 明 函 數(shù) 1sin , 0( ) 0, 0 x xxf x x 在 x = 0 處 不 可 導 .( ) (0) 1sin0f x fx x 不

10、 存 在 極 限 ,所 以 f 在 x = 0 處 不 可 導 .證 因 為 當 時 ,0 x .)(lim, 00 不 存 在xDRx xx .0)(. .0)(lim0 )0()(lim)( .0),( 002 處 不 可 導在但可 導 處 是 否 可 導判 別 xxxDy xxDx fxfxf xxDxy xx Qx QxxD ,0,1)( 處 可 導在 點 xxf )(四 、 函 數(shù) 的 可 導 性 與 連 續(xù) 性 的 關 系定 理 1. 處 連 續(xù)在 點 xxf )(證 : 設 )(xfy 在 點 x 處 可 導 , )(lim0 xfxyx DDD存 在 , 因 此 必 有 ,)(

11、 DD xfxy 其 中 0lim0 D x故 xxxfy DDD )( 0Dx 0所 以 函 數(shù) )(xfy 在 點 x 連 續(xù) .注 意 : 函 數(shù) 在 點 x 連 續(xù) 未 必 可 導 .反 例 : xy xyoxy 在 x = 0 處 連 續(xù) , 但 不 可 導 .即 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 理 5.1 如 果 函 數(shù) f 在 點 x0 可 導 , 則 f 在 點 x0連 續(xù) . 值 得 注 意 的 是 函 數(shù) 在 某 點 連 續(xù) 僅 是 函 數(shù) 在 該 點 可其 中 D(x) 是 熟 知 的 狄 利 克 雷 函 數(shù) .例 5 證 明 函 數(shù) 僅 在 x 0

12、處 可 導 , 2( ) ( )f x x D x處 連 續(xù) ， 卻 不 可 導 . 導 的 必 要 條 件 . 如 例 3、 例 4 中 的 函 數(shù) 均 在 x = 0 不 連 續(xù) , 由 定 理 5.1, f (x) 在 點 x0 不 可 導 . .0)(lim0 )0()(lim)0( 00 xxDx fxff xx由 于 導 數(shù) 是 一 種 極 限 , 因 此 如 同 左 、 右 極 限 那 樣 , 所 以 有當 x0 = 0 時 , 因 為 ，1)( xD證 當 時 ,用 歸 結(jié) 原 理 容 易 證 明 f (x) 在 點 x0 00 x可 以 定 義 左 、 右 導 數(shù) ( 單 側(cè)

13、 導 數(shù) ). 二 、 導 函 數(shù)如 果 函 數(shù) f 在 區(qū) 間 I 上 的 每 一 點 都 可 導 (對 于 區(qū) 間0 ( ) ( )( ) lim , .x f x x f xf x x IxD DD (7).dd)( xyxf 或 即導 函 數(shù) ， 簡 稱 導 數(shù) , 記 作定 義 了 一 個 在 區(qū) 間 I 上 的 函 數(shù) ， 稱 為 f 在 I 上 的則 稱 f 為 區(qū) 間 I 上 的 可 導 函 數(shù) . 此 時 , 對 I 上 的 任端 點 考 慮 相 應 的 單 側(cè) 導 數(shù) , 如 左 端 點 考 慮 右 導 數(shù) ) ,僅 為 一 個 記 號 ， 學 了 微 分 之 后 就 會

14、知注 這 里 xydd意 一 點 x 都 有 f 的 一 個 導 數(shù) 與 之 對 應 , 這 就( )0f x .dd,d )(d 000 xxxxxx xyyxxf 三 、 導 數(shù) 的 幾 何 意 義 xyo )(xfy C T0 xM曲 線 )(xfy 在 點 ),( 00 yx 的 切 線 斜 率 為)(tan 0 xf若 ,0)( 0 xf 曲 線 過 上 升 ;若 ,0)( 0 xf 曲 線 過 下 降 ; xyo 0 x ),( 00 yx若 ,0)( 0 xf 切 線 與 x 軸 平 行 , 稱 為 駐 點 ;),( 00 yx ),( 00 yx 0 x若 ,)( 0 xf 切

15、 線 與 x 軸 垂 直 .曲 線 在 點 處 的),( 00 yx切 線 方 程 : )( 000 xxxfyy 法 線 方 程 : )()(1 000 xxxfyy )0)( 0 xf xyo 0 x,)( 0 時 xf 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 1. 求 函 數(shù) Cxf )( (C 為 常 數(shù) ) 的 導 數(shù) . 解 : y xCCx D D 0lim 0即 0)( C例 2. 求 函 數(shù) )N()( nxxf n .處 的 導 數(shù)在 ax解 : ax afxf )()(ax lim)(af ax ax nnax lim(limax 1nx 2 nxa 32 n

16、xa )1 na1 nan x xfxxf D D )()(0limD x 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 說 明 ：對 一 般 冪 函 數(shù) xy ( 為 常 數(shù) ) 1)( xx例 如 ， )( x )( 21 x 2121 x x21 x1 )( 1 x 11 x 21x)1( xx )( 43 x 4743 x（ 以 后 將 證 明 ）機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 h xhxh sin)sin(lim0 例 3. 求 函 數(shù) xxf sin)( 的 導 數(shù) . 解 : ,xh D令 則)(xf h xfhxf )()( 0lim h 0lim h )2c

17、os(2 hx 2sinh)2cos(lim0 hxh 2 2sinh h xcos即 xx cos)(sin 類 似 可 證 得 xx sin)(cos h 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 xay 因 此 axaaa axxxx ln 1elimln)( ln0 D DD .lnaax 特 別 有.eelne)e( xxx ,ln 1eln ln axaa axx D Dxaax aa xxxxx D D DD 1 xa axx D D 1e ln 略xy alog D DD D D D D D DD D D 0cos 01)( 100lim)()0(lim 10)0sin(lim )()0(lim,0 ;1)(,0;cos)(,0 0, 0,sin)( 000 0 xxxxf xxx xfxff xx x xfxffx xfxxxfx xx xxxf xxx x時 導 函 數(shù) 計 算