《點、直線、平面之間的位置關系》單元練習題

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1、 《點、直線、平面之間的位置關系》 單元練習題 一、選擇題 1．設 ， 為兩個不同的平面， l，m 為兩條不同的直線，且 l ，m? ，有如下的 兩個命題：①若 ∥ ，則 l ∥ m；②若 l⊥ m，則 ⊥ ．那么 ( D ) ． A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題 C．①②都是真命題 D．①②都是假命題 2．如圖， ABCD － A1B1C1D 1 為正方體，下面結論錯誤的是 ( D ) ． A． BD∥平面 CB1D1 B． AC1⊥BD C． AC1⊥平面 CB1

2、D 1 D．異面直線 AD 與 CB1 角為 60 3．關于直線 m， n 與平面 ， ，有下列四個命題： ( 第 2 題 ) ① m∥ ， n∥ 且 ∥ ，則 m∥n； ② m⊥ ， n⊥ 且 ⊥ ，則 m⊥ n； ③ m⊥ ， n∥ 且 ∥ ，則 m⊥n； ④ m∥ ， n⊥ 且 ⊥ ，則 m∥ n． 其中真命題的序號是 ( D ) ． A．①② B ．③④ C．①④ D ．②③ 4．給出下列四個命題： ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行 ②

3、垂直于同一平面的兩個平面互相平行 ③若直線 l 1，l 2 與同一平面所成的角相等，則 l 1， l 2 互相平行 ④若直線 l 1，l 2 是異面直線，則與 l 1， l2 都相交的兩條直線是異面直線 其中假命題的個數(shù)是 ( D ) ． A． 1 B ． 2 C．3 D ． 4 5．下列命題中正確的個數(shù)是 ( B ) ①若直線 l 上有無數(shù)個點不在平面 內(nèi)，則 l∥ ②若直線 l 與平面 平行，則 l 與平面 內(nèi)的任意一條直線都平行 ③如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行， 那么另一條直線也與這個平面平行 ④若直線

4、 l 與平面 平行，則 l 與平面 內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點 A． 0 個 B ． 1 個 C．2 個 D ． 3 個 6． 兩直線 l1 與 l2 異面，過 l1 作平面與 l 2 平行，這樣的平面 ( B ) ． A．不存在 B ．有唯一的一個 C．有無數(shù)個 D ．只有兩個 7．把正方形 ABCD 沿對角線 AC 折起，當以 A， B， C，D 四點為頂點的三棱錐體積最 大時，直線 BD 和平面 ABC 所成的角的大小為 ( C ) ． A． 90 B ． 60 C．45 D ． 30

5、 8．下列說法中不正確的是 ( D ) ． A．空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形 B．同一平面的兩條垂線一定共面 C．過直線上一點可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一個平面內(nèi) D．過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直 9．給出以下四個命題： ①如果一條直線和一個平面平行， 經(jīng)過這條直線的一個平面和這個平面相交， 那么這條 直線和交線平行 ②如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面 ③如果兩條直線都平行于一個平面，那么這兩條直線互相平行 ④如果一個平面經(jīng)

6、過另一個平面的一條垂線，那么些兩個平面互相垂直 其中真命題的個數(shù)是 ( B ) ． A． 4 B． 3 C．2 D ． 1 10．異面直線 a，b 所成的角 60，直線 a⊥c，則直線 b 與 c 所成的角的范圍為 ( A ) ． A． [ 30，90] B ．[ 60， 90] C．[ 30， 60] D ． [ 30， 120] 二、填空題 － 的三條側(cè)棱 PA，PB，PC 兩兩相互垂直，且三個側(cè)面的面積分 11．已知三棱錐 P ABC 別為 S1， S2， S3，則這個三棱錐的體積為2S1S2 S3 ．

7、 12．P 是 △ ABC 所在平面 外一點， 過 P 作 PO⊥平面 ，垂足是 O，連 PA，PB，PC． ( 1) 若 PA＝PB＝ PC，則 O 為 △ ABC 的外心； ( 2) PA⊥ PB，PA⊥PC，PC⊥ PB，則 O 是△ ABC 垂的心； ( 3) 若點 P 到三邊 AB， BC， CA 的距離相等，則 O 是△ ABC 的內(nèi)心； ( 4) 若 PA＝PB＝ PC，∠ C＝ 90o，則 O 是 AB 邊的中點； ( 5) 若 PA＝PB＝ PC， AB＝ AC，則點 O 在△ ABC 的

8、BC邊的垂直平分線上． 13．如圖，在正三角形 ABC 中， D ，E， F 分別為各邊的中點， G， H， I ， J 分別為 AF ， AD， BE，DE 的中點，將△ ABC 沿 DE， EF ，DF 折成三棱錐以后， GH 與 IJ 所成角的度數(shù)為 60． J 14．直線 l 與平面 所成角為 30，l ∩ ＝ A，直線 m∈ ，則 m 與 l 所成角的取值范圍是 [30 ， 90 ] ． ( 第 13 題 ) 15．棱長為 1 的正四面體內(nèi)有一點 P，由點 P

9、 向各面引垂線，垂線 段長度分別為 d1， d2， d3， d4，則 d1＋ d2＋ d3＋ d4 的值為 6 ． 3 16．直二面角 － l － 的棱上有一點 A，在平面 ， 內(nèi)各有一條射線 AB， AC 與 l 成 45， AB， AC ，則∠ BAC ＝ 60或 120． 三、解答題 17．在四面體 ABCD 中，△ ABC 與△ DBC 都是邊長為 4 的正三角形． ( 1) 求證： BC⊥ AD ； ( 2) 若點 D 到平面 ABC 的距離等于 3，

10、求二面角 A－BC －D 的 正弦值； ( 3) 設二面角 A－ BC－ D 的大小為 ，猜想 為何值時，四面 體 A－ BCD 的體積最大． ( 不要求證明 ) ( 第 17 題) 證明： ( 1) 取 BC 中點 O，連結 AO ，DO． ∵△ ABC，△ BCD 都是邊長為 4 的正三角形， ∴ AO⊥BC ，DO ⊥ BC，且 AO∩ DO＝ O， ∴ BC⊥平面 AOD．又 AD 平面 AOD ， ∴ BC⊥ AD ． 解： ( 2) 由 ( 1) 知∠ AOD 為二面角 A－ BC－D 的平面角，設∠ AOD＝ ，

11、則過點 D 作 DE ⊥ AD，垂足為 E． ∵ BC⊥平面 ADO，且 BC 平面 ABC， ∴平面 ADO ⊥平面 ABC．又平面 ADO ∩平面 ABC＝ AO， ∴ DE⊥平面 ABC． ∴線段 DE 的長為點 D 到平面 ABC 的距離，即 DE ＝ 3． 又 DO＝ 3 3 ， BD＝ 2 2 在 Rt△DEO 中， sin ＝ DE ＝ 3 ， DO 2 故二面角 A－BC－ D 的正弦值為 3 ． 2 (

12、 3) 當 ＝ 90時，四面體 ABCD 的體積最大． 18． 如圖，在長方體 ABCD — A1B1 C1D 1 中， AB＝ 2， BB1 ＝ BC＝ 1， E 為 D1C1 的中點，連結 ED， EC， EB 和 DB ． ( 1) 求證：平面 EDB ⊥平面 EBC； ( 2) 求二面角 E－ DB － C 的正切值 . ( 第 18 題 ) 證明： (1) 在長方體 － 1 1 1 1 中， ＝ 2， 1＝ ＝ 1， E 為 1 1 的中點．∴△ 1

13、 ABCD A B CD AB BB BC DC DDE 為等腰直角三角形，∠ 1 1 DEC 90 ，即 DE⊥ EC． DED＝45．同理∠ CEC＝ 45．∴ 在長方體 ABC － A1B1C1D1 中， BC⊥平面 D1 DCC 1 ，又 DE 平面 D1DCC1 ， D ∴ BC⊥ DE ．又 EC BC C ，∴ DE ⊥平面 EBC ．∵平面 DEB 過 DE ，∴平面 DEB⊥ 平面 EBC． 解： ( 2) 如圖，過

14、 E 在平面 D1DCC 1 中作 EO⊥DC 于 O．在長方體 ABCD － A1B1C1 D1 中，∵面 ABCD ⊥面 D1 DCC1 ，∴ EO⊥面 ABCD ．過 O 在平面 DBC 中作 OF ⊥ DB 于 F，連結 EF，∴ EF ⊥BD．∠ EFO 為二面角 － D － C 的平面角．利用平面幾何知識可得 OF ＝ 1 ， E B 5 ( 第 18 題) 又 OE＝ 1，所以， tan EFO ＝ 5 ．