2014年高考數(shù)學(xué)文科(高考真題+模擬新題)分類匯編:推理與證明

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1、 數(shù) 學(xué) 推理與證明 M1  合情推理與演 推理 16., [2014 福建卷 ] 已知集合 =2;③ c≠0 有且只有一個正確,  { a, b, c} = {0 , 1,2} ,且下列三個關(guān)系:① 100a+ 10b+c 等于 ________.  a≠ 2;② b 16. 201  [解析 ] (i)  若①正確, ②③不正確,由③不正確得  c= 0,由①正確得  a=1, 所以  b= 2,與②不正確矛盾,故①不正確. (ii) 若②正

2、確, ①③不正確,由①不正確得a= 2,與②正確矛盾,故②不正確. (iii) 若③正確, ①②不正確, 由①不正確得 a= 2,由②不正確及③正確得 b= 0,c= 1,故③正確. 則 100a+ 10b+ c= 100 2+ 10 0+ 1= 201. 14.[2014 全國新 卷Ⅰ ] 甲、乙、丙三位同學(xué)被 到是否去 A,B,C 三個城市 , 甲 :我去 的城市比乙多,但沒去 B 城市.乙 :我沒去 C 城市.丙 :我 三人 去 同一城市. 由此可判斷乙去 的城市 ________.

3、 14. A [解析 ] 由甲沒去 B 城市,乙沒去 C 城市,而三人去 同一城市,可知三 人去 城市 A,又由甲最多去 兩個城市,且去 的城市比乙多,故乙只去 A 城市. x , x≥ 0,若 f1 14. [2014 西卷陜 ] 已知 f(x) =1+ x (x)= f(x), fn+ 1(x)= f( fn(x)) , n∈ N+, f2014(x)的表達(dá)式 ________. 14. x [解析 ] 由

4、意,得 f 1 x , 1+2014x (x)= f(x)= 1+x x f2(x)= 1+ x = x x ,?, x , f3(x)= 1+ 2x 1+ 3x 1+1+ x 由此 推理可得 f2014(x)= x .

5、 1+2014x M2 直接 明與 接 明 21.、 [2014 湖南卷 ] 已知函數(shù) f(x)=xcos x- sin x+ 1(x> 0). (1)求 f(x)的 區(qū) ; (2)記 xi 為 f(x)的從小到大的第 i(i ∈ N * )個零點, 明: 一切 n∈ N *,有 12+ 12+?+ 12< x1 x2 xn 2 3. 21. 解: (1)

6、f′(x)=cos x- xsin x- cos x=- xsin x. 令 f′(x)= 0,得 x= kπ (k∈ N* ). 當(dāng) x∈ (2kπ, (2k+ 1)π )(k∈ N) , sin x>0,此 f′ (x)<0; 當(dāng) x∈ ((2k+ 1)π, (2k+ 2)π )(k∈ N ) , sin x<0,此 f′(x)>0. 故 f(x) 的 減區(qū) (2kπ, (2k+1)π )( k∈ N), 增區(qū) ((2k+ 1)π, (2k+ 2) π )( k∈N ). π = 0,故 x1= π . (2)由 (1

7、) 知, f(x)在區(qū) (0,π )上 減.又 f 2 2 當(dāng) n∈N * ,因 f(nπ )f[( n+ 1)π ]= [(- 1)n nπ+ 1][( - 1)n +1(n+ 1)π+ 1]< 0, 且函數(shù) f(x)的 像是 不斷的, 所以 f(x)在區(qū) (nπ,(n+ 1)π )內(nèi)至少存在一個零點. 又f(x)在區(qū) (nπ, (n+ 1)π )上是 的,故 nπ< xn+ 1< (n+ 1)π . 因此,當(dāng) n= 1 , 1 = 4 < 2;

8、 x12 π 2 3 當(dāng) n=2 , 12+ 12< 1 2 (4+ 1)<2; x1 x2 π 3 當(dāng) n≥3 , 12+ 12+?+ 12< 1 4+1+ 12+?+ 1 2 1 2 x n π2 2 ( n- 1) x x

9、 < 1 5+ 1 +?+ 1 < 1 π 2 ( n- 2)( n- 1) π2 1 2 5+ 1- 1 + 1- 1 +?+ 1 - 1 2 2 3 n- 2 n- 1 = 1 2 6- 1 < 6 2<2. n-

10、 π 1 π 3 上所述, 一切 n∈ N* , 1 + 1 +?+ 1 < 2 x 2 x 2 2 . 1 2 x 3 n M3 數(shù)學(xué) 法 23.、

11、[2014 江 卷 ] 已知函數(shù) 0 sin x n n- 1 * . f ( x)= x (x>0) , f (x)為 f (x)的 數(shù), n∈ N π π π (1)求 2f1 2 + 2 f2 2 的 ; (2) 明: 任意的 n∈N * ,等式 nfn -1 π π fn π 2都成立. + 4 = 4 4 2 23. 解: (1)由已知,得 1 0 sin x ′= cos x- sin x,

12、 f (x)= f′(x)= x x x2 于是 f2(x)= f1′ (x)= cos x sin x x ′- x2 ′= - sin x- 2cos2 x+2sin3 x, x x x 所以 f1 π =- 4 2, f2 π =- 2 + 16 2 π 2 π π 3.

13、 π π π 故 2f1 2 + 2 f2 2 =- 1. (2) 明:由已知得, xf (x) =sin x,等式兩 分 x 求 ,得 f (x)+ xf ′ (x)= cos x, 0 0 0 π 即 f0(x)+ xf1(x) = cos x= sin x+ 2 . 似可得 2f1(x)+ xf2( x)=- sin

14、 x= sin(x+π ), 3f2(x)+ xf3( x)=- cos x= sin x+ 3π , 2 4f3(x)+ xf4( x)= sin x= sin(x+ 2π ). 下面用數(shù)學(xué) 法 明等式nfn- 1 n nπ 所有的 n∈N * 都成立. (x)+xf (x)= sin x+ 2 (i) 當(dāng) n=1 ,由上可知等式成立. (ii) 假 當(dāng) n=k 等式成立,即 kf (x)+ xf (x) =sin x+ kπ k-1 2 .

15、 k 因 [kfk- 1( x)+ xfk(x)] ′= kfk- 1′ (x)+ fk(x) + xfk′( x)= (k+1)fk(x)+ xfk+1(x), sin x+ kπ ′= cos x+ kπ x+ kπ ′= sin x+ ( k+1)π , 2 2 2 2 ( k+1)π 所以 (k+ 1)fk(x)+ xfk+ 1(x)= sin x+ 2 , 因此當(dāng) n= k+ 1 ,等式也成立. 合 (i)(ii

16、) 可知,等式 nfn-1(x)+ xfn(x) = sin x+ nπ 所有的 n∈ N* 都成立. 2 π π π π π nπ 令 x= 4 ,可得 nfn-1 4 + 4 fn 4 = sin 4 + 2 (n∈ N* ), 所以 nfn-1 π + π

17、fn π =(n∈ N* ). 4 4 4 M4 單元 合 5. [2014 南 郡中學(xué)月考湖 ] 記 Sk= 1k+ 2k+ 3k+?+ nk,當(dāng) k= 1, 2,3,? , 察 1 2 1 1 3 1 2 1 1 4

18、 1 3 1 2 1 5 1 4 1 3 1 n, 下列等式: S1= n + n, S2= n + n + n, S3= n + n + n , S4= n + n + n - 30 2 2 3 2 6 4 2 4 5 2 3 5 1 6 1 5 + 5 4 2 =6n + 2n 12n +

19、An ,?由此可以推 A= ____________. S 1 [ 解析 ] 根據(jù)所 等式可知, 各等式右 的各 系數(shù)之和 1,所以 1+ 1+ 5 + 5.- 12 6 2 12 1

20、 A= 1,解得 A=- 12. 6.[2014 照一中月考日 ] 二 空 中 的一 度 (周 )l =2π r,二 度 (面 )S=π r 2, 察 S′= l;三 空 中球的二 度 (表面 )S= 4πr 2,三 度 (體 )V= 4π r 3, 3 察 V′= S.已知四 空 中“超球”的三 度 V= 8π r 3,猜想其四 度 W = ________. 6. 2π r 4 [解析 ] 因 W′= 8

21、π r 3,所以 W= 2π r4. 7. [2014 天水一中期末甘 ] 察下列等式: (1+ 1)= 2 1; (2+ 1)(2+ 2)= 22 1 3; (3+ 1)(3+ 2)(3+ 3)= 23 13 5. 照 此 規(guī) 律 , 第 n 個 等 式 為 ________________________________________________________________________ . 7. (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)? (n+n) =2n 1 3 5? (2n-1) [解析 ]

22、 察等式 律可知第 n 個等式 (n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)? (n+n)=2n 1 35? (2n- 1). 8. [2014 南昌 研 ] 已知整數(shù) 的序列 (1,1) ,(1, 2), (2 ,1), (1,3) ,(2, 2), (3, 1), (1,4), (2, 3), (3, 2), (4, 1),(1 ,5), (2, 4),?, 第 57 個數(shù) 是 ________. 8. (2, 10) [ 解析 ] 由 意, 所 序數(shù)列有如下 律: (1, 1)的和 2,共 1 個;

23、 (1, 2), (2, 1)的和 3,共 2 個; (1, 3), (2, 2), (3, 1)的和 4,共 3 個; (1, 4), (2, 3), (3, 2),(4 ,1) 的和 5,共 4 個; (1, 5), (2, 4), (3, 3),(4 ,2) ,(5, 1)的和 6,共 5 個. 由此可知, 當(dāng)數(shù) 中兩個數(shù)字之和 n ,有 n- 1 個數(shù) . 易知第 57 個數(shù) 中兩數(shù)之 和

24、 12,且是兩數(shù)之和 12 的數(shù) 中的第 2 個數(shù) ,故 (2, 10). 9.[2014 福州模 ] 已知點 A(x1, ax1) ,B(x2, ax2)是函數(shù) y= ax(a>1) 的 像上任意不同 的兩點,依據(jù) 像可知, 段 AB 是位于 A, B 兩點之 函數(shù) 像的上方,因此有 1 2 1 2 成立.運用 比的思想方法可知,若點 A(x1 ax + ax x + x 1 2 2 2 >a 2 , sin x ),

25、 B(x , sin x )是函數(shù) y =sin x(x∈ (0,π )) 的 像上任意不同的兩點, 似地有 ________________ 成立. sin x1+ sin x2 x1+ x2 [ 解析 ] 依據(jù)函數(shù) y= sin x(x∈(0,π ))的 像可知, 段 AB 9. 2

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