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1、圖形的軸對(duì)稱 第二十八講 第六章 圖形的變化 知識(shí)盤點(diǎn) 1、 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系 2、 軸對(duì)稱變換及軸對(duì)稱的性質(zhì) 3 畫軸對(duì)稱圖形 1 軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系 區(qū) 別 ： 軸對(duì) 稱 圖 形是一個(gè)具有特殊性 質(zhì) 的 圖 形 ， 而 圖 形的 軸對(duì) 稱 是 說 兩個(gè) 圖 形之 間 的位置關(guān)系； 聯(lián) 系：若把 軸對(duì) 稱的兩個(gè) 圖 形 視為 一個(gè)整體 ， 則 它就是一個(gè) 軸對(duì) 稱 圖 形；若把 軸對(duì) 稱 圖 形在 對(duì) 稱 軸 兩旁的部分 視為 兩個(gè) 圖 形 ， 則 這 兩個(gè) 圖 形就形成 軸對(duì) 稱的位置關(guān)系 因此 ， 它 們 是部分與整體 、 形狀與位置
2、的關(guān)系 ， 是可以 辯證 地互相 轉(zhuǎn) 化的 難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn) 2 鏡面對(duì)稱原理 (1)鏡 中的像與原來的物體成 軸對(duì) 稱 (2)鏡 子中的像改 變 了 原來物體的左右位置 ， 即像與物體左右位置 互 換 3 建立軸對(duì)稱模型 在解決 實(shí)際問題時(shí) ， 首先把 實(shí)際問題轉(zhuǎn) 化 為 數(shù)學(xué)模型 ， 再根據(jù) 實(shí) 際 以某直 線為對(duì) 稱 軸 ， 把不是 軸對(duì) 稱的 圖 形通 過軸對(duì) 稱 變換補(bǔ) 添 為軸對(duì) 稱 圖 形 有關(guān)幾條 線 段之和最短的 問題 ， 都是把它 們轉(zhuǎn) 化 到同一條直 線 上 ， 然后利用 “ 兩點(diǎn)之 間線 段最短 ” 來解決 A 1 (2015天津 )在一些美術(shù)字中
3、， 有的漢字是軸對(duì)稱圖形 下面 4 個(gè)漢字中 ， 可以看作是軸對(duì)稱圖形的是 ( ) 夯實(shí)基礎(chǔ) D 2 (2015大連 )以下圖形中對(duì)稱軸的數(shù)量小于 3的是 ( ) B 3 (2015福州 )如圖 ， 在 3 3的正方形網(wǎng)格中有四個(gè)格點(diǎn) A， B， C， D， 以其中一點(diǎn)為原點(diǎn) ， 網(wǎng)格線所在直線為坐標(biāo)軸 ， 建立平面 直角坐標(biāo)系 ， 使其余三個(gè)點(diǎn)中存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于一條坐標(biāo)軸對(duì)稱 ， 則原點(diǎn)是 ( ) A A點(diǎn) B B點(diǎn) C C點(diǎn) D D點(diǎn) B 4 (2015畢節(jié)市 )如圖 ， 已知 D為 ABC邊 AB的中點(diǎn) ， E在 AC上 ， 將 ABC
4、沿著 DE折疊 ， 使 A點(diǎn)落在 BC上的 F處 若 B 65 ， 則 BDF等于 ( ) A 65 B 50 C 60 D 57.5 5 (2015涼山州 )在平面直角坐標(biāo)系中 ， 點(diǎn) P( 3， 2)關(guān)于直線 y x對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ( ) A ( 3， 2) B (3， 2) C (2， 3) D (3， 2) C 類型一：識(shí)別軸對(duì)稱圖形 【 例 1】 (2015綿陽 )下列圖案中 ， 軸對(duì)稱圖形是 ( ) 【 點(diǎn)評(píng) 】 判斷 圖 形是否是 軸對(duì) 稱 圖 形 ， 關(guān) 鍵 是理解 、 應(yīng) 用 軸對(duì) 稱 圖 形的定 義 ， 看是否能找到
5、至少 1條合適的直 線 ， 使 該圖 形沿著 這 條直 線對(duì) 折后 ， 兩旁能 夠 完全重合 若能找到 ， 則 是 軸對(duì) 稱 圖 形；若找不到 ， 則 不是 軸對(duì) 稱 圖 形 D 典例探究 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (1)(2015赤峰 )下面四個(gè) “ 藝術(shù)字 ” 中 ， 軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是 ( ) A 1個(gè) B 2個(gè) C 3個(gè) D 4個(gè) (2)(2015徐州 )下列圖形中 ， 是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的 是 ( ) A 直角三角形 B 正三角形 C 平行四邊形 D 正六邊形 A B 類型二：作已知圖形的軸對(duì)稱圖形 【 例 2】 (2014廈門
6、 )在平面直角坐標(biāo)系中 ， 已知點(diǎn) A( 3， 1)， B( 1， 0)， C( 2， 1)， 請(qǐng)?jiān)趫D中畫出 ABC， 并畫出與 ABC關(guān)于 y軸對(duì)稱的圖形 解：如圖所示： DEF即與 ABC關(guān)于 y軸對(duì)稱的圖形 【 點(diǎn)評(píng) 】 畫 軸對(duì) 稱 圖 形 ， 關(guān) 鍵 是先作出一條 對(duì) 稱 軸 ， 對(duì) 于直 線 、 線 段 、 多 邊 形等特殊 圖 形 ， 一般只要作出直 線 上的任意兩點(diǎn) 、 線 段端點(diǎn) 、 多 邊 形的 頂 點(diǎn)等的 對(duì) 稱點(diǎn) ， 就能準(zhǔn)確作出 圖 形 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 如圖 ， 在 4 3的網(wǎng)格上 ， 由個(gè)數(shù)相同的白色方塊與黑色方塊組 成一幅圖案 ， 請(qǐng)仿照此圖案
7、 ， 在下列網(wǎng)格中分別設(shè)計(jì)出符合要求 的圖案 (注： 不得與原圖案相同； 黑 、 白方塊的個(gè)數(shù)要相同 ) (1)是軸對(duì)稱圖形 ， 又是中心對(duì)稱圖形； (2)是軸對(duì)稱圖形 ， 但不是中心對(duì)稱圖形； (3)是中心對(duì)稱圖形 ， 但不是軸對(duì)稱圖形 解：設(shè)計(jì)方案有多種 ， 在設(shè)計(jì)時(shí)注意每一種圖案的具體要求 (1)既是軸對(duì)稱圖形 ， 還應(yīng)關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱 ， 有一定的對(duì)稱及審美 要求即可： (2)可不受中心對(duì)稱的限制 ， 只要是軸對(duì)稱圖形 ， 且黑白數(shù)量相等 即可： (3)只關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱即可： 類型三：軸對(duì)稱性質(zhì)的應(yīng)用 B 【 例 3】 (2015綏化 )如圖 ， 在矩形
8、 ABCD中 ， AB 10， BC 5. 若點(diǎn) M， N分別是線段 AC， AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， 則 BM MN的最小 值為 ( ) A 10 B 8 C 5 D 6 【 點(diǎn)評(píng) 】 求兩條 線 段之和 為 最小 ， 可以利用 軸對(duì) 稱 變換 ， 使之 變?yōu)?求兩點(diǎn)之 間 的 線 段 ， 因 為線 段 間 的距離最短 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 (2015南寧 )如圖 ， AB是 O的直徑 ， AB 8， 點(diǎn) M在 O上 ， MAB 20 ， N是弧 MB的中點(diǎn) ， P是直徑 AB上的一動(dòng)點(diǎn) 若 MN 1， 則 PMN周長的最小值為 ( ) A 4 B 5 C 6 D
9、7 B 類型四：折疊問題 【例 4 】 (1) ( 2015 泰安 ) 如圖 ， 矩形 ABCD 中 ， E 是 AD 的中點(diǎn) ， 將 ABE 沿直線 BE 折疊后得到 GBE ， 延長 BG 交 CD 于點(diǎn) F. 若 AB 6 ， BC 4 6 ， 則 FD 的長為 ( ) A 2 B 4 C. 6 D 2 3 B (2)(2015嘉興 )如圖 ， 一張三角形紙片 ABC， AB AC 5.折疊 該紙片使點(diǎn) A落在邊 BC的中點(diǎn)上 ， 折痕經(jīng)過 AC上的點(diǎn) E， 則線 段 AE的長為 _________ 【 點(diǎn)評(píng) 】 折疊的 過 程 實(shí)際 上就是一個(gè) 軸對(duì) 稱
10、 變換 的 過 程 ， 軸 對(duì) 稱 變換 前后的 圖 形是全等 圖 形 ， 對(duì)應(yīng)邊 相等 ， 對(duì)應(yīng) 角相等 2.5 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 ( 2015 漳州 ) 如圖 ， 在矩形 AB CD 中 ， 點(diǎn) E 在邊 CD 上 ， 將該 矩形沿 AE 折疊 ， 使點(diǎn) D 落在邊 BC 上的點(diǎn) F 處 ， 過點(diǎn) F 作 FG CD ， 交 AE 于點(diǎn) G 連接 D G . (1 ) 求證：四邊形 DEFG 為菱形； (2 ) 若 CD 8 ， CF 4 ， 求 CE DE 的值 解： ( 1 ) 證明：由折疊的性質(zhì)可知： DG FG ， ED EF ， 1 2 ， FG
11、 CD ， 1 3 ， 2 3 ， FG FE ， DG GF EF DE ， 四邊形 DE FG 為菱形 ( 2 ) 解：設(shè) DE x ， 根 據(jù)折疊的性質(zhì) ， EF DE x ， EC 8 x ， 在 Rt EFC 中 ， FC 2 EC 2 EF 2 ， 即 4 2 ( 8 x ) 2 x 2 ， 解得： x 5 ， CE 8 x 3 ， CE DE 3 5 試題 設(shè) M是邊長為 2的正 ABC的邊 AB上的中點(diǎn) ， P是邊 BC上的 任意一點(diǎn) ， 求 PA PM的最小值 錯(cuò)解 當(dāng)點(diǎn) P 為 BC 中點(diǎn)時(shí) ， PA
12、PM 的和最小 M 是 AB 的中點(diǎn) ， PM 是 ABC 的中位線 ， 且 AP BC ， PM 1 2 AC 1 2 2 1 ， PA 2 2 1 2 3 ， PA PM 1 3 . 剖析 求兩條 線 段之和 為 最小 ， 應(yīng)選 用 線 段的垂直平分 線 、角平分 線 、 等腰三角形的高作 為對(duì) 稱 軸 來解 題 注意： 正解 作正 ABC 關(guān)于 BC 的對(duì)稱圖形 A B C ， M 是 M 的對(duì) 稱點(diǎn) ， 故 M 是 A B 的中點(diǎn) ， PM P M ， PA PM PA P M AM . 連接 CM ， 易知 A CM 90 ， AM AC 2 CM 2 2 2 （ 3 ） 2 7
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