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1、第五章 圖形的性質(zhì) (一 ) 第 22講 矩形、菱形與正方形 1 一個(gè)防范 在判定矩形、菱形或正方形時(shí) ， 要明確是在 “ 四邊形 ” 還是在 “ 平行四 邊形 ” 的基礎(chǔ)之上來(lái)求證的要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別 ， 解題時(shí)要 認(rèn)真審題 ， 通過(guò)對(duì)已知條件的分析、綜合 ， 最后確定用哪一種判定方法 2 三種聯(lián)系 (1)平行四邊形與矩形的聯(lián)系： 在平行四邊形的基礎(chǔ)上 ， 增加 “ 一個(gè)角是直角 ” 或 “ 對(duì)角線相等 ” 的條 件可為矩形；若在四邊形的基礎(chǔ)上 ， 則需有三個(gè)角是直角 (第四個(gè)角必是直 角 )則可判定為矩形 (2)平行四邊形與菱形的聯(lián)系： 在平行四邊形的基礎(chǔ)上 ，
2、 增加 “ 一組鄰邊相等 ” 或 “ 對(duì)角線互相垂直 ” 的條件可為菱形；若在四邊形的基礎(chǔ)上 ， 需有四邊相等則可判定為菱形 (3)菱形、矩形與正方形的聯(lián)系： 正方形的判定可簡(jiǎn)記為：菱形矩形正方形 ， 其證明思路有兩個(gè)：先 證四邊形是菱形 ， 再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等 (即矩形 )；或先 證四邊形是矩形 ， 再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直 (即菱形 ) 1 (2016莆田 )菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是 ( ) A 對(duì)邊相等 B對(duì)角相等 C 對(duì)角線互相平分 D對(duì)角線互相垂直 2 (2016雅安 )如圖 ， 四邊形 ABCD的四邊相等 ， 且面積為
3、120 cm2， 對(duì)角線 AC 24 cm， 則四邊形 ABCD的周長(zhǎng)為 ( ) A 52 cm B 40 cm C 39 cm D 26 cm D A 3 (2016綏化 )如圖 ， 矩形 ABCD的對(duì)角線 AC， BD相交于點(diǎn) O， CE BD， DE AC， 若 AC 4， 則四邊形 OCED的周長(zhǎng)為 ( ) A 4 B 8 C 10 D 12 4 (2016海南 )如圖 ， 矩形 ABCD的頂點(diǎn) A， C分別在直線 a， b上 ， 且 a b， 1 60 ， 則 2的度數(shù)為 ( ) A 30 B 45 C 60 D 75 B C 5 (2016畢節(jié) )如圖 ， 正
4、方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 9， 將正方形折疊 ， 使頂 點(diǎn) D落在 BC邊上的點(diǎn) E處 ， 折痕為 GH.若 BE EC 2 1， 則線段 CH的長(zhǎng) 是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 B 【 例 1】 (2016臺(tái)州 )如圖 ， 點(diǎn) P在矩形 ABCD的對(duì)角線 AC上 ， 且不與 點(diǎn) A， C重合 ， 過(guò)點(diǎn) P分別作邊 AB， AD的平行線 ， 交兩組對(duì)邊于點(diǎn) E， F 和 G， H. (1)求證： PHC CFP； (2)證明四邊形 PEDH和四邊形 PFBG都是矩形 ， 并直接寫(xiě)出它們面積之 間的關(guān)系 證明： ( 1 ) 四邊形 AB CD 為矩形 ， AB CD
5、， AD BC. PF AB ， PF CD ， CPF PCH . PH AD ， PH BC ， PCF CPH .在 PHC 和 CFP 中 ， CPF PCH ， PC CP ， PCF CPH ， PHC CFP ( ASA ) (2) 四邊形 ABCD為矩形 ， D B 90 .又 EF AB CD， GH AD BC， 四邊形 PEDH和四邊形 PFBG都是矩形 EF AB， CPF CAB.在 Rt AGP中 ， AGP 90 ， PG AGtan CAB. 在 Rt CFP中 ， CFP 90
6、 ， CF PFtan CPF.S矩形 DEPH DEEP CFEP PFEPtan CPF； S矩形 PGBF PGPF AGPFtan CAB EPPFtan CAB. tan CPF tan CAB， S矩形 DEPH S矩形 PGBF. 【 點(diǎn)評(píng) 】 本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)以 及平行線的性質(zhì) ， 解題的關(guān)鍵是： (1)通過(guò)平行找出相等的角； (2)利用矩 形的判定定理來(lái)證明四邊形為矩形 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (導(dǎo)學(xué)號(hào)： 01262210)(2016揚(yáng)州 )如圖 ， AC為矩形 ABCD的對(duì)角線 ， 將邊 AB沿 AE折疊 ， 使點(diǎn) B落在 AC上的點(diǎn) M處 ，
7、 將邊 CD沿 CF折疊 ， 使 點(diǎn) D落在 AC上的點(diǎn) N處 (1)求證：四邊形 AECF是平行四邊形； (2)若 AB 6， AC 10， 求四邊形 AECF的面積 ( 1 ) 證明： 折疊 ， AM AB ， CN CD ， FNC D 90 ， AM E B 90 ， ANF 90 ， CME 90 ， 四邊形 AB CD 為矩形 ， AB CD ， AD BC ， AM CN ， AM MN CN MN ， 即 AN CM ， 在 ANF 和 CME 中 ， F AN ECM ， AN CM ，
8、 ANF CME ， ANF CME ( ASA ) ， AF CE ， 又 AF CE ， 四邊形 AE CF 是平行四邊形 ( 2 ) 解： AB 6 ， AC 10 ， BC 8 ， 設(shè) CE x ， 則 EM 8 x ， CM 10 6 4 ， 在 Rt CEM 中 ， ( 8 x ) 2 4 2 x 2 ， 解得： x 5 ， 四邊形 AE CF 的面積的面積為： EC AB 5 6 30. 【 例 2】 (2016聊城 )如圖 ， 在 Rt ABC中 ， B 90 ， 點(diǎn) E是 AC的 中點(diǎn) ， AC 2AB，
9、 BAC的平分線 AD交 BC于點(diǎn) D， 作 AF BC， 連接 DE 并延長(zhǎng)交 AF于點(diǎn) F， 連接 FC. 求證：四邊形 ADCF是菱形 證明： AF CD ， AFE CDE ， 在 AFE 和 CD E 中 ， AFE CDE ， AEF CED ， AE CE ， AEF CED ( AAS ) ， AF CD ， AF CD ， 四 邊形 AD CF 是平行四邊形 ， B 90 ， AC 2AB ， ACB 30 ， CAB 60 ， AD 平分 CAB ， DAC DAB 30 ACD
10、， DA DC ， 四邊形 ADC F 是菱形 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 (導(dǎo)學(xué)號(hào)： 01262211)(2016濱州 )如圖 ， BD是 ABC的角平分線 ， 它的垂直平分線分別交 AB， BD， BC于點(diǎn) E， F， G， 連接 ED， DG. (1)請(qǐng)判斷四邊形 EBGD的形狀 ， 并說(shuō)明理由； (2)若 ABC 30 ， C 45 ， ED 2， 點(diǎn) H是 BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ， 求 HG HC的最小值 解： ( 1 ) 四邊形 EBGD 是菱形 理由： EG 垂直平分 BD ， EB ED ， GB GD ， EBD EDB ， EBD DBC ， ED
11、F GBF ， 在 EFD 和 GFB 中 ， EDF GBF ， DF BF ， EFD GFB ， EFD GFB ( ASA ) ， ED BG ， BE ED DG GB ， 四邊形 EBG D 是菱形 (2) 作 EM BC 于 M ， DN BC 于 N ， 連接 EC 交 BD 于點(diǎn) H ， 此時(shí) HG HC 最小 ， 在 Rt EBM 中 ， EMB 90 ， EBM 30 ， EB ED 2 10 ， EM 1 2 BE 10 ， DE BC ， EM BC ， DN BC ，
12、 EM DN ， EM DN 10 ， MN DE 2 10 ， 在 Rt DNC 中 ， DNC 90 ， DCN 45 ， NDC NCD 45 ， DN NC 10 ， MC 3 10 . 在 R t EMC 中 ， EMC 90 ， EM 10 ， MC 3 10 ， EC EM 2 MC 2 （ 10 ） 2 （ 3 10 ） 2 10. HG HC EH HC EC ， HG HC 的最小值為 10. 【 例 3】 (2016貴陽(yáng) )如圖 ， 點(diǎn) E是正方形 ABCD外一點(diǎn) ， 點(diǎn) F是線段 AE
13、上一點(diǎn) ， EBF是等腰直角三角形 ， 其中 EBF 90 ， 連接 CE， CF. (1)求證： ABF CBE； (2)判斷 CEF的形狀 ， 并說(shuō)明理由 ( 1 ) 證明： 四邊形 AB CD 是正方形 ， AB CB ， ABC 90 ， EBF 是等腰直角三角形 ， 其中 EBF 90 ， BE BF ， A BC CBF EBF CBF ， ABF CBE . 在 ABF 和 CBE 中 ， AB CB ， ABF CBE ， BF BE ， ABF CBE ( SAS ) (2)解： CEF
14、是直角三角形理由如下： EBF是等腰直角三角形 ， BFE FEB 45 ， AFB 180 BFE 135 ， 又 ABF CBE， CEB AFB 135 ， CEF CEB FEB 135 45 90 ， CEF是直角三角形 【 點(diǎn)評(píng) 】 本題考查了正方形的性質(zhì) ， (1)根據(jù)判定定理 SAS證明 ABF CBE； (2)通過(guò)角的計(jì)算得出 CEF 90 .解決該題型題目時(shí) ， 通過(guò)正方形和等腰三角形的性質(zhì)找出相等的邊 ， 再通過(guò)角的計(jì)算找出 相等的角 ， 以此來(lái)證明兩三角形全等是關(guān)鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 (導(dǎo)學(xué)號(hào)： 01262212)(201
15、6杭州 )如圖 ， 已知四邊形 ABCD和四邊形 DEFG為正方形 ， 點(diǎn) E在線段 DE上 ， 點(diǎn) A， D， G在同一直線上 ， 且 AD 3 ， DE 1， 連接 AC， CG， AE， 并延長(zhǎng) AE交 CG于點(diǎn) H. (1)求 sin EAC的值 (2)求線段 AH的長(zhǎng) 解： (1) 作 EM AC 于 M. 四邊形 ABC D 是正方形 ， ADC 90 ， AD DC 3 ， DCA 4 5 ， 在 Rt ADE 中 ， ADE 90 ， AD 3 ， DE 1 ， AE AD 2 DE 2 10 ， 在 Rt EMC 中 ， EMC
16、 90 ， ECM 45 ， EC 2 ， EM CM 2 ， 在 Rt AEM 中 ， sin EAM EM AE 2 10 5 5 ， sin EAC 5 5 (2) 在 GDC 和 EDA 中 ， DG DE ， GDC EDA ， DC DA ， GDC EDA ( S AS ) ， GCD EAD ， GC AE 10 ， EHC EDA 90 ， AH GC ， S AGC 1 2 AG DC 1 2 GC AH ， 1 2 4 3 1 2 10 AH ， A
17、H 6 5 10 . 試題 在 ABC的兩邊 AB， AC上向形外作正方形 ABEF， ACGH， 過(guò)點(diǎn) A作 BC的垂線分別交 BC于點(diǎn) D， 交 FH于點(diǎn) M， 求證： FM MH. 錯(cuò)解 證明：如圖 ， 四邊形 ABEF與四邊形 ACGH都是正方形 ， AF AB， AH AC.又 FAH BAC， AFH ABC， 5 2. 3 1 90 ， 3 2 90 ， 1 2， 1 5. 1 4， 4 5. AM FM.同理 ， AM MH， 故 FM MH. 剖析 上述解法錯(cuò)在將 BAC畫(huà)成了直角 (題中沒(méi)有這個(gè)條件 )， 從而導(dǎo) 致 FAH， BAC和 1， 4分別成為對(duì)頂角 ， 不認(rèn)真畫(huà)圖 ， 匆匆忙忙進(jìn) 行推理 ， 就很容易犯錯(cuò)誤 正解 證明：分別過(guò) F， H作 FK MD， HL MD， 垂足為 K， L. 四邊 形 ACGH是正方形 ， AC AH， CAH 90 ， 1 2 90 ， AD BC， 2 3 90 ， 1 3.又 HLA ADC 90 ， AHL CAD， HL AD.同理： AFK BAD， FK AD， FK HL.又 FMK HML， FKM HLM 90 ， FMK HML， FM MH.
中考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)聚焦 第5章 圖形的性質(zhì)（一）第22講 矩形、菱形與正方形課件1.ppt
