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1、營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二 次 曲 面,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱之,相應(yīng)地平面被稱為一次曲面,討論二次曲面性狀的截痕法：,用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,一、基本內(nèi)容,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（一）橢球面,橢球面與三個坐標(biāo)面的交線：,,,,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.,橢球面與平面 的交線為橢圓,同理與平面 和 的交線也是橢圓.,營口地區(qū)成人高等教育 Q
2、Q群 54356621,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成,旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：,方程可寫為,與平面 的交線為圓.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,球面,截面上圓的方程,方程可寫為,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（二）拋物面,（ 與 同號）,橢圓拋物面,用截痕法討論：,（1）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,與平面 的交線為橢圓.,當(dāng) 變動時，這種橢圓的中心都在 軸上.,與平面 不相交.,
3、（2）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得拋物線,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,與平面 的交線為拋物線.,它的軸平行于 軸,頂點(diǎn),（3）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截,均可得拋物線.,同理當(dāng) 時可類似討論.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,橢圓拋物面的圖形如下：,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,特殊地：當(dāng) 時，方程變?yōu)?旋轉(zhuǎn)拋物面,（由 面上的拋物線 繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）,與平面 的交線為圓.,當(dāng) 變動時，這種圓的中心都在 軸上.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（ 與 同號）,雙曲
4、拋物面（馬鞍面）,用截痕法討論：,設(shè),圖形如下：,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（三）雙曲面,單葉雙曲面,（1）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得中心在原點(diǎn) 的橢圓.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,與平面 的交線為橢圓.,當(dāng) 變動時，這種橢圓的中心都在 軸上.,（2）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得中心在原點(diǎn)的雙曲線.,實(shí)軸與 軸相合，虛軸與 軸相合.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,雙曲線的中心都在 軸上.,與平面 的交線為雙曲線.,實(shí)軸與 軸平行,,虛軸與 軸平行.,實(shí)軸與 軸平行,,虛軸與 軸平行.,截痕為一
5、對相交于點(diǎn) 的直線.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,截痕為一對相交于點(diǎn) 的直線.,（3）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截,均可得雙曲線.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,單葉雙曲面圖形,平面 的截痕是兩對相交直線.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,雙葉雙曲面,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,橢球面、拋物面、雙曲面、截痕法.,（熟知這幾個常見曲面的特性）,二、小結(jié),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題,方程,表示怎樣的曲線？,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題解答,表
6、示雙曲線.,,,,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,空間曲線及其方程,空間曲線的一般方程,曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時滿足兩個方程.,,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,特點(diǎn)：,一、空間曲線的一般方程,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例1 方程組 表示怎樣的曲線？,解,表示圓柱面，,表示平面，,交線為橢圓.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例2 方程組 表示怎樣的曲線？,解,上半球面,,圓柱面,,交線如圖.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,,空間曲線的參數(shù)方程
7、,二、空間曲線的參數(shù)方程,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,動點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過t時間，運(yùn)動到M點(diǎn),,,,,,,,,,,螺旋線的參數(shù)方程,取時間t為參數(shù)，,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,,螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為,螺旋線的重要性質(zhì)：,上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比 即,上升的高度,螺距,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,消去變量z后得：,,曲線關(guān)于 的投影柱面,設(shè)空間曲線的一般方程：,以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.,投影柱面的特征：,三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,,,,如圖:投影曲線
8、的研究過程.,空間曲線,投影曲線,投影柱面,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影,面上的投影曲線,,面上的投影曲線,,空間曲線在 面上的投影曲線,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例4 求曲線 在坐標(biāo)面上的投影.,解,（1）消去變量z后得,在 面上的投影為,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,所以在 面上的投影為線段.,（3）同理在 面上的投影也為線段.,（2）因?yàn)榍€在平面 上，,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,截線方程為,解,如圖,,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,補(bǔ)充: 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影.,空間立體,曲面,,,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例6,解,半球面和錐面的交線為,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,一個圓,,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,空間曲線的一般方程、參數(shù)方程,四、小結(jié),空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題解答,交線方程為,在 面上的投影為,
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