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少齒差傳動的嚙合問題和計算方法
Shuting Li.
Nabtesco有限責任公司。櫟山202號，日置町7028-2 ，津市市，三重縣懇514-1138 ，日本
2007年7月15日收稿；修訂稿2007年10月2日收到； 2007年10月16日錄用
摘 要
本文敘述了關于少齒差行星齒輪傳動（PDSTD）的嚙合問題和數(shù)值分析方法的理論研究。文中將數(shù)學規(guī)劃方法T.F.Conry,A.Serireg.接觸彈性體設計的數(shù)學規(guī)劃方法.美國機械工程師協(xié)會(ASME)學報,應用力學學報38(6)(1971)387–392]和有限元方法S.Li.薄緣輻板齒輪三維的嚙合模型和承載齒接觸分析.ASME學報,機械設計學報,124(3)(2002)511–517; S.Li,考慮加工誤差、裝配誤差和修形的一對直齒齒輪的接觸強度和彎曲強度的有限元分析分析方法.機械制造和機械原理, 42(1)(2007)88–114]的概念引入到較為復雜的工程接觸問題的處理中，通過一個力學模型和有限元方法（FEM）來解決PDSTD中三維（3D）的接觸分析和載荷計算。有限元的方法已經(jīng)經(jīng)過了多年的發(fā)展。把成熟的有限元程序用于完成PDSTD的接觸分析，使得PDSTD的輪齒、銷和軸承滾動體接觸狀態(tài)十分明確。研究PDSTD時發(fā)現(xiàn)，當它承受15 kg·m的扭矩時，只有四對齒參與嚙合，并且這四對齒并不在外齒輪的偏移方向上，而是在與偏移方向成20-30°角的位置。輪齒、銷和滾動體各自承擔的載荷差別很大，輪齒承載最大，遠遠大于銷和滾動體上的載荷，這意味著對PDSTD來說，輪齒的強度比其余兩個重要得多。另外，銷承擔的載荷也只是相當于滾動體承載的一部分。
關鍵詞：齒輪；齒輪系統(tǒng)；行星傳動；少齒差；接觸分析；有限元法
1.概述
在20世紀后期，隨著工業(yè)自動化的發(fā)展，大減速比的齒輪傳動系統(tǒng)得到廣泛應用。少齒差行星齒輪傳動（PDSTD）也普遍用于自動化的工業(yè)生產(chǎn)。盡管每年要制造很多少齒差行星齒輪減速器，然而到目前為止，PDSTD的強度設計計算仍然是一個沒有解決的難題。
專業(yè)用語符號：
PDSTD 少齒差行星齒輪傳動
FEM 有限元法
FEA 有限元分析
3D 三維
ISO 國際標準化組織
FT 齒面載荷
FP 銷軸載荷
FR 滾動體載荷
Z1 外齒齒輪齒數(shù)
Z2 內(nèi)齒齒輪齒數(shù)
X1 外齒齒輪變位系數(shù)
X2 內(nèi)齒齒輪變位系數(shù)
m 齒輪模數(shù)
Ф1 內(nèi)齒齒輪外徑
Ф2 外齒齒輪內(nèi)徑
Ф3 外齒齒輪上銷軸線所在圓直徑
（i-i’） 假定的接觸點對，同樣的有（1-1’），（2-2’），……，（m-m’）,(a-a’),(k-k’),(j-j’),(b-b’),……(n-n’)
① 表示一個彈性體或者外齒齒輪
② 表示另一個彈性體或內(nèi)齒齒輪
εk 任意一對嚙合點嚙合前的間隙（或齒側間隙）,同樣的有εj
Fk 嚙合點對之間在公法線方向的接觸力，同樣的有Fj
ωk，ωk’ 假定的嚙合點（k-k’）在接觸力Fk方向上的位移
akj,ak’j’ 接觸點處的變形影響系數(shù)
δ0 一對彈性體在外作用力方向上初始的最小間隙
δ 一對彈性體在外力作用下沿力方向的相對位移或者在力矩T作用下，內(nèi)齒輪相對于外齒輪的角偏移量
{Y} 隨即變量，{Y}={Y1,Y2,...,Yk,...,Yn}T
Xn+1 定義變量，同樣有Xn+1 ，Xn+2 ，Xn+n ，……，Xn+n+1
[I] n×n 矩陣
Z 目標函數(shù)
[S] 變形影響系數(shù)矩陣
{F} 嚙合點的接觸力矩陣，{F}={F1 ，F(xiàn)2 ，…Fk ，…Fn}T
{ε} 嚙合點對的間隙矩陣，{ε}={ε1 ，ε2 ，…εk ，…εn}T
{e} 單位矩陣，{e}={1,1,...,1,...,1}T
{0} 0矩陣，{0}={0,0,...,0,...,0}T
rb 內(nèi)齒輪的基圓半徑
P 作用于一對彈性體上的外力
PG PDSTD中齒面嚙合點接觸力的合力
T PDSTD傳遞的力矩
α0 嚙合角
為了完成PDSTD的強度計算，我們有必要首先知道輪齒、銷和滾動體上分布的載荷。由于目前對于PDSTD還沒有用來做接觸分析和載荷計算的有效方法，所以齒輪設計人員不得不根據(jù)直齒齒輪和螺旋齒輪強度計算的ISO標準[4-6]來近似計算PDSTD的強度[7]。眾所周知，PDSTD的接觸問題完全不同于任何一種直齒和螺旋齒輪，所以ISO標準不適合用于PDSTD的強度計算。Manfred和Antoni[8]應用FEM對擺線傳動進行了位移分布和應力的分析。Yang和Blanche[9]也研究了有一定加工誤差的擺線傳動的設計和應用的方法。Shu[10]對PDSTD承載因素的測定進行了研究。Chen和Walton[11]研究了PDSTD的優(yōu)化設計。
本文提出一種用于解決PDSTD的接觸分析和載荷計算問題的有效方法。基于20多年來對齒輪裝置接觸分析的經(jīng)驗和FEM軟件的發(fā)展，文中采用建立一個力學模型和FEM來完成PDSTD的接觸分析和載荷計算。相應的，F(xiàn)EM程序經(jīng)過多年努力也獲得較大發(fā)展。得益于此，PDSTD中輪齒、銷和滾動體的接觸狀態(tài)已十分明確，也知道了載荷在輪齒、銷和軸承滾動體上的分布。研究發(fā)現(xiàn)，在大小為15㎏·m的力矩作用下，PDSTD中只有四對齒參與嚙合，并且這四對齒并不在外齒輪的偏移方向上。
輪齒、銷和滾動體上承擔的載荷相互比較，可以發(fā)現(xiàn)，輪齒承受最大載荷，遠遠大于其余兩個的載荷，同時，所有銷的載荷也只相當于滾動體載荷的一部分。知道了輪齒、銷和滾動體上的載荷以后就很容易完成PDSTD的強度計算。
2．傳動系統(tǒng)的結構和原理
圖1是本文研究對象PDSTD的一種簡單型式。在圖1中，該PDSTD包括一個直齒內(nèi)齒輪，一個直齒外齒輪，兩個球軸承，一個輸入軸，一個輸出軸，8個用來傳遞力矩的銷，相當于中心軸承的22個滾動體。為了使內(nèi)外齒輪嚙合，必須使外齒輪相對于內(nèi)齒輪有一個偏心。這個偏心是通過曲軸的回轉運動來實現(xiàn)的。這個曲軸就是一個能為外齒輪提供偏置運動的凸輪（在圖1中，當曲軸旋轉時，外齒輪就回交替產(chǎn)生偏心運動）。同時曲軸又是系統(tǒng)的輸入軸。圖1顯示的是曲軸的偏心方向與+Y方向重合時的位置。在圖1中，O1、O2分別是外齒輪和內(nèi)齒輪的中心，e是曲軸的偏心距。e=O1O2 。PDSTD的齒輪參數(shù)和結構參數(shù)見表1。
由于PDSTD是“K-H-V”型行星齒輪傳動的一種，內(nèi)外齒輪的齒數(shù)差又很小，所以這種傳動系統(tǒng)通常被稱為少齒差行星齒輪傳動。當內(nèi)齒輪固定時，系統(tǒng)的傳動比等于Z1/(Z2-Z1)，其中Z1、Z2分別為外齒輪和內(nèi)齒輪齒數(shù)。從Z1/(Z2-Z1)可以看出，齒數(shù)差(Z2-Z1)很小的時候，傳動比Z1/(Z2-Z1)就很大。就圖1中的系統(tǒng)而言，齒數(shù)差(Z2-Z1)為1，則傳動比等于Z1。
圖1少齒差傳動的一種形式
表1
PDSTD的齒輪參數(shù)和結構尺寸
齒輪參數(shù) 齒輪1 齒輪2 結構尺寸
齒輪類型 外齒輪 內(nèi)齒輪 直徑Ф1 80㎜
齒數(shù) Z1=49 Z2=50 直徑Ф1 36㎜
變位系數(shù) X1=0.0 X2=1.0 直徑Ф1 41.125㎜
齒輪寬度 12㎜ 12㎜ 銷軸數(shù) 8
螺旋角 0 0 銷軸直徑 4
模數(shù)（㎜） 1 滾動體數(shù)目 22
壓力角 20° 滾動體直徑 3
齒形 漸開線
刀具頂端半徑 0.375㎜ 偏心方向 +Y
偏心距e 0.971㎜
由于在PDSTD中用到了內(nèi)齒齒輪，就必須像普通的漸開線內(nèi)齒輪傳動那樣，要考慮齒頂和齒根的干涉問題。當然這種干涉問題可以通過輪齒的修形來解決，如進行齒根和齒頂?shù)淖兾?。另外為了避免干涉，也可采用其他齒形，如改進漸開線、圓弧齒形、擺線形等。
3．PDSTD的載荷分析和輪齒嚙合的面接觸模型
圖2是PDSTD中外齒輪的受力圖。從圖中可以看出，外齒輪受三種載荷，分別是由輪齒嚙合產(chǎn)生的齒面載荷FT ，由中心軸承產(chǎn)生的滾動體載荷FR和由外加力矩產(chǎn)生的銷軸載荷FP 。齒面載荷沿著內(nèi)齒輪齒面嚙合點的公法線方向，也即是沿著內(nèi)齒輪齒廓上嚙合點的運動方向。滾動體載荷是沿著外齒輪中心孔的半徑方向。銷軸載荷是沿著銷中心所在圓的切線方向。盡管三種載荷已經(jīng)在圖2上表示出來了，事實上，我們并不知道輪齒、銷、滾動體是否分擔載荷，這是文中必須解答的問題。用FEM進行接觸分析就是用來解決這個問題。
圖2 在行星傳動中外齒輪的受力圖
圖3 嚙合齒的面接觸 圖4 內(nèi)外齒輪上的餓嚙合點對
在進行PDSTD的接觸分析之前，有必要注意一下這種特殊的傳動形式的輪齒的嚙合狀態(tài)。PDSTD中，輪齒的嚙合狀態(tài)不同于一般的內(nèi)齒輪傳動，一般的內(nèi)齒輪傳動有一條幾何嚙合線，理論上已經(jīng)知道有多少齒參與嚙合以及在不同的嚙合位置哪個齒即將參與嚙合，而PDSTD的嚙合位置不在幾何嚙合線上，理論上也不知道哪里的齒齒廓將要接觸，有多少齒參與嚙合和哪個齒即將進入嚙合。甚至不知道，對于PDSTD是否存在幾何嚙合線。
另外一個區(qū)別就是每對齒的接觸狀態(tài)不同。如前面所述，普通的內(nèi)齒輪傳動，一對齒在幾何嚙合線上接觸，文中稱做“輪齒線接觸”。但是對于PDSTD，輪齒像諧波傳動一樣是齒形上的一部分面在接觸，文中稱做“輪齒面接觸”。圖3中是參數(shù)為表1的PDSTD的輪齒的真實接觸狀態(tài)。從圖3可以看出輪齒5、6、7、8、9齒廓的大部分是面接觸狀態(tài)。所以利用FEM對PDSTD的承載齒進行接觸分析時，如圖4上給出的很多點對（i-i’）、(j-j’)、（k-k’),(n-n’)必須取在內(nèi)外齒輪的齒廓之間。這些點對假設開始是處于嚙合狀態(tài)的，本文目的在于通過FEM完成對PDSTD的接觸分析最終來弄清楚哪對接觸點將要退出嚙合。
4．用于一對彈性體接觸分析的彈性接觸理論的基本原理
4．1 一對彈性體的變形協(xié)調(diào)原理
在圖5中，①和②是在外力P作用下即將接觸的一對彈性體。這兒討論的接觸問題受到普通表面承載能力的限制。
（a）三維視圖 （b）剖視圖
圖5 一對彈性體的接觸模型
隨即作用力可以表示為一定區(qū)域內(nèi)的應力分布。先作如下假設：（1）變形量很小；（2）兩個物體遵循線彈性規(guī)律；（3）接觸面光滑并且具有連續(xù)的一階導數(shù)。在上述假設下，可以在彈性理論的范圍內(nèi)對這對彈性體進行接觸分析。
在圖5中，這對彈性體的接觸問題可以轉化為在①和②的假定接觸面上有很多點對在接觸，如同圖4中齒輪的接觸一樣。這些接觸點對表示為（1-1’），（2-2’），……，（m-m’）,(a-a’),(k-k’),(j-j’),(b-b’),……(n-n’),n是假定接觸點對的總數(shù)。圖5中b圖是a圖中兩物體接觸面的法平面的剖視。其中，εk是嚙合前任意兩個嚙合點對(k-k’)之間的間隙，F(xiàn)k是k與k’在載荷P作用下嚙合時，在它們公法線方向的嚙合力（由于一般嚙合區(qū)域通常非常狹小，在這里假定：所有嚙合點對的公法線近似沿著外力P的方向。這種假設在工程領域是可行的，但文中將采用接觸點對的真實方向）。ωk ，ωk’分別是k和k’點嚙合后在力 Fk 方向上的變形量。δ0 是①和②之間最小的初始間隙，δ是O1 、O2 （圖5b中的受力點）的相對位移。
對任意一個接觸點對(k-k’)，如果(k-k’)接觸，則(k-k’)的位移和間隙的和（ωk +ωk’+εk ）等于相對位移量δ；如果(k-k’)沒有接觸，則（ωk +ωk’+εk ）大于δ。用等式（1）、（2）表示上述關系，用等式（3）綜合（1）、（2）：
ωk +ωk’+εk -δ＞0 （不接觸） （1）
ωk +ωk’+εk -δ＝0 （接觸） （2）
則 ωk +ωk’+εk -δ≥0 （k=1，2，3，…，n） （3）
n
n
根據(jù)赫茲理論，在外力作用下的變形與接觸面的外形和外力P有關，也就是接觸變形由接觸面的幾何形狀和外作用力P兩個因素決定。當外力改變時，一對彈性體的接觸區(qū)域也隨之改變,這種變化表明外力P與變形之間是一種非線性關系。但是由于這種非線性關系是由接觸區(qū)域的變化得來的，因而它只能稱做“幾何非線性”，而不是“材料非線性”。所以，對于假定的處于接觸的點對來說，計算彈性變形時，形變量與接觸力（接觸點對上的力，不是外力P）仍然是線性關系。那么接觸點對的彈性變形量ωk 和ωk’通過引入變形影響系數(shù)akj和ak’j’，可以用等式（4）表示，
j=1
j=1
ωk = ∑ akj Fj ； ωk’= ∑ ak’j’ Fj （4）
n
其中Fj是(j-j’)之間的嚙合力。把（4）代入（3）可以得到等式（5），若把（5）用矩陣的形式表達出來，可以得到等式（6），
j=1
∑（akj+ak’j’）Fj+εk -δ≥0 （5）
[S]{F}+{ε}-δ{e}≥{0} （6）
其中 [S]=[Skj]=[ akj+ak’j’]
{F}={F1，F(xiàn)2 ，…，F(xiàn)k ，…，F(xiàn)n}T
{ε}={ε1 ，ε2 ，…，εk ，…，εn}T
{e}={1,1,...,1,...,1}T
{0}={0,0,...,0,...,0}T
（k，j=1，2，…，n；k’，j’=1’，2’，…，n’）
4．2 彈性體接觸的力平衡
n
文中假設所有嚙合點對之間的嚙合力與外力P同向，由于接觸區(qū)域很小，所以這種假設在工程中可行。根據(jù)這個假設，可以認為外力P等于所有嚙合力Fj（j=1…n）的總和，得到等式（7）。將（7）寫成矩陣形式得到（8），
j=1
P=∑Fj （7）
{e}T{F}=P （8）
4．3 用數(shù)學規(guī)劃法計算接觸載荷
等式（6）和（8）是判斷嚙合點對是否接觸的依據(jù)。兩個彈性體①和②的接觸問題可以看作是在已知變形影響系數(shù)akj和ak’j’，間隙εk和外力P的情況下，看接觸力是否滿足等式（6）和（8）。但是僅僅靠這兩個限制條件是不能確定嚙合力Fj的，因為沒有一種數(shù)學方法可以處理這種只有兩個限制方程而沒有目標函數(shù)的問題。
上述問題可以采用數(shù)學規(guī)劃理論的改進單純形法來處理。根據(jù)改進單純形法的理論，只有限制方程而沒有目標函數(shù)的問題可以通過引入一些有利變量來建立一個人為的目標函數(shù)，進而當作數(shù)學規(guī)劃模型來處理。
所以，數(shù)學規(guī)劃理論的改進單純形法在這里可以建立一個數(shù)學規(guī)劃模型并且解決一對彈性體的接觸分析問題。
因為方程（6）是一個大于或等于0的不等式限制條件，為了把它變換成一個等式約束方程，依據(jù)改進單純形法引入一個松弛系數(shù){Y}（一個正變量），于是得到等式（9）和（10），
[S]{F}+{ε}-δ{e}-[I]{Y}={0} （9）
或者
-[S]{F}+δ{e}+[I]{Y}={ε} （10）
其中{Y}={Y1,Y2,...,Yk,...,Yn}T（松弛系數(shù)，Yk≥0，k=1，2，…，n），[I]是n階單位矩陣。
根據(jù)改進單純形法引入一些正變量Xn+1 ，Xn+2 ，Xn+n ，……，Xn+n+1（通常稱做人為變量）得到目標函數(shù)Z。那么基于改進單純形法[12-14]，成對彈性體接觸分析的改進單純形法模型就建立起來了，如式（11）-（13），
目標函數(shù)
Z= Xn+1 + Xn+2 +…+ Xn+n + Xn+n+1 （11）
約束條件
-[S]{F}+δ{e}+[I]{Y}+[I]{Z’}={ε} （12）
{e}T{F}+ Xn+n+1=P （13）
其中
[S]=[Skj]=[ akj+ak’j’]，k，j=1，2，…，n
{Z’}={ Xn+1 ，Xn+2 ，…，Xn+n }T
{F}={F1 ，F(xiàn)2 ，…，F(xiàn)k ，…，F(xiàn)n}T
{Y}={Y1，Y2，...，Yk，...，Yn}T
{ε}={ε1 ，ε2 ，…εk ，…εn}T
Fk ≥0，Yk ≥0，εk≥0，δ≥0，k=1，2，…，n
Xn+m≥0，m=1，2，…，n+1
等式（11）是根據(jù)改進單純形法的原理引入的目標函數(shù)。式（12）是由式（10）得到的一個約束，在式（12）中， [I]{Z’}也是依據(jù)改進單純形法引入的。式（13）是由（8）得到的另一個約束，Xn+n+1也是依據(jù)改進單純形法引入的。
建立了上述數(shù)學規(guī)劃法模型之后，彈性體的接觸分析問題就可以看作是在式（12）、（13）約束下對目標函數(shù)（11）的數(shù)學規(guī)劃?；蛘吒唧w的說，在知道變形影響系數(shù)矩陣[S]，間隙矩陣{ε}和外力P的情況下，通過數(shù)學規(guī)劃法，把式（11）作為目標函數(shù)，式（12）和（13）作為約束條件求得接觸載荷{F}。上述的數(shù)學模型是數(shù)學規(guī)劃法的標準形式，所以利用改進單純形法[12-14]可以輕易求解方程（11）-（13）。
5. PDSTD接觸分析和載荷計算的FEM
5．1 接觸分析的力學模型
第4章中講述的方法不能直接用于PDSTD的接觸問題，因為PDSTD采用漸開線齒形，如圖4中所示，齒廓上不同的嚙合點載荷方向不同。因此，如果僅僅認為一對彈性體的接觸分析必須像圖5中那樣載荷在同一個方向才能進行，那么上述方法就不能用于PDSTD的嚙合分析。
但是如果改變思想，把上述方法中的一個載荷方向的接觸引申為接觸點所有載荷方向的接觸，則第4章中的基本原理就可以用來解決PDSTD的嚙合問題。接下來介紹如何發(fā)展第4章中的基本原理以解決PDSTD的嚙合問題。
圖6a是PDSTD嚙合分析的力學模型。在圖6a中，所有的滾動體在嚙合點都由支承代替，這些支承稱為滾動支承，它們只能承受徑向載荷，在切線方向是游動的。同樣，所有的銷軸都用止推支承代替，它們只能承受切向載荷而在銷中心圓的徑向是游動的。
n
在圖6a中，外加力矩T作用在內(nèi)齒輪上，齒面上嚙合點處的齒面載荷就產(chǎn)生了。圖6b顯示了內(nèi)齒輪齒面上嚙合點的位置和載荷方向。從圖6b中可以發(fā)現(xiàn)不同位置的不同嚙合點載荷方向不同，但是由于齒形為漸開線，不同位置嚙合點的載荷方向沿著所在位置的運動方向。那么，嚙合點的所有法線都和內(nèi)齒輪的基圓相切，如圖6b。據(jù)此可以得到，
j=1
T=∑ Fj ·rb （14）
n
其中，F(xiàn)j 任意嚙合點j的齒面載荷，如圖6b所示。n是內(nèi)齒輪所有承載齒面上嚙合點的總數(shù)。rb 是內(nèi)齒輪的基圓半徑。由于 rb 是一個常量，所以式（14）可以寫成式（15），
j=1
T= rb·∑ Fj （15）
式（15）中的Fj 與式（7）中的不同，前者有不同的載荷方向而后者載荷方向相同。
（a） 力學模型
（b） 嚙合點及其運動軌跡
圖6 FEM嚙合分析力學模型的剖視圖
在圖6 a中，用于代替銷和滾動體的邊界支承會受到因要平衡齒面載荷而產(chǎn)生的反作用力。由于滾動體只能承受徑向載荷，銷只能承受切向載荷，所以邊界支承如圖6 a所示。那么PDSTD的嚙合問題可以作以下表述。
力矩T作用在PDSTD的內(nèi)齒輪上，齒面上的嚙合點上將產(chǎn)生一個沿著各自運動軌跡的齒面載荷。外齒輪中心孔的邊界支承受沿中心孔徑向的載荷，由于有替代了銷，還要承受沿銷中心圓切向的載荷。PDSTD的嚙合分析就轉化為在銷和滾動體提供的邊界條件下，PDSTD的嚙合齒在嚙合點載荷方向的接觸分析。當然進行承載齒的嚙合分析時邊界條件并不是已知的。這種特殊的邊界條件不確定的承載齒的接觸分析通過FEM和數(shù)學規(guī)劃法的反復計算來完成。
5．2 假定的嚙合齒對和點對
由于理論上對PDSTD，有多少對齒參與嚙合，一對齒是否嚙合預先不知道，所以當力矩T作用時，假定有很多對齒在嚙合。在圖6 a中，在做PDSTD的嚙合分析時，內(nèi)齒輪的約一半的齒取在了FEM模型中，這表示在圖6a中取的所有齒都假設與外齒輪的輪齒接觸。整個外齒輪都取在接觸分析的FEM模型中。
另一方面，假定的嚙合齒齒面有很多對嚙合點，這些點對像圖4中給出的點對一樣。在圖4中，只有四對嚙合點（i-i’）、(j-j’)、(k-k’)、(n-n’)作為例子給出了。在實際計算中，為了得到正確的齒面載荷分布，必須取足夠多的嚙合點對。本文進行嚙合分析計算時，假定嚙合的每對齒輪的齒廓上取了13對嚙合點。
在圖4中，接觸點取在它們各自的軌跡線上。例如，嚙合點(j-j’)在點j’的軌跡線上，(k-k’)在點k’的軌跡線上。所有的點對所在軌跡線的方向不同。
5．3 如何確定內(nèi)外齒輪的邊界條件
在圖1中，內(nèi)齒輪通常是通過螺釘固定在電動機的法蘭上。所以，當如圖7b所示的部分齒的有限元模型用來通過3D和FEM來計算內(nèi)齒輪的變形影響系數(shù)時，在圖7a和b中局部齒模型外圓面和兩端面上的節(jié)點在三個方向上固定，作為FEA的邊界條件。對內(nèi)齒輪這個邊界并不轉化到所有的計算。
對外齒輪而言，如圖8c，外齒輪由滾動體和銷支承。滾動體只能對外齒輪提供徑向支持而銷只能提供切向支持。在外齒輪的FEA之前，哪些滾動體和銷支承著齒輪哪些沒有并不清楚。所以在FEA的開始，假設所有銷都為齒輪提供切向支持，所有的滾動體都為齒輪提供徑向支持。然后可以進行外齒輪的FEA，這些銷和滾動體的反作用力在FEA之后也可以求得。接下來就是要確定這些銷和滾動體上反作用力的方向。如果這些反作用力是拉力，則它們在下一次計算時是不受力的，反過來，如果它們受到壓力作用，那么下一次計算時他們將繼續(xù)被固定。通過這種方法，F(xiàn)EA不斷重復直到所有銷和滾動體的載荷方向不再變化，則它們的正確的邊界條件就得到了。這些邊界條件最終被用于外齒輪的FEA中。
圖8b是用來代替銷和滾動體的邊界節(jié)點的想象圖。
5．4 計算變形影響系數(shù)和嚙合點的間隙
所有假定嚙合齒對及其上面的嚙合點對取定后，計算變形影響系數(shù)和所有假定嚙合輪齒上齒廓延長線上嚙合點之間的間隙。
（a）作為邊界條件的節(jié)點
（b）內(nèi)齒輪的FEM網(wǎng)格劃分模型
圖7 計算內(nèi)齒輪齒面嚙合點變形系數(shù)的FEM模型
嚙合點的位置認為確定后，嚙合點的間隙可以運用幾何計算。如圖4所示，εj 是(j-j’)之間的間隙，εk是 (k-k’)之間的間隙。εj和εk 的方向不同，它們沿著各自的漸開線計算。
外齒輪和內(nèi)齒輪嚙合齒面的變形影響系數(shù)由3D和FEM分別計算。如上所述，不同嚙合點的變形影響系數(shù)有不同的方向。它們沿著各自的漸開線計算。例如，在圖4中，j’點的變形影響系數(shù)沿著j’點的漸開線計算而k’點的變形影響系數(shù)沿著k’點的漸開線計算。這是將傳統(tǒng)的數(shù)學規(guī)劃法從一個接觸方向發(fā)展到多個接觸方向。
嚙合齒面變形影響系數(shù)的計算內(nèi)齒輪比外齒輪簡單。圖7b中給出的是計算內(nèi)齒輪變形影響系數(shù)的FEM模型。通過3D和FEM計算變形影響系數(shù)時，圖7a中給出的邊界節(jié)點會被固定。由于內(nèi)齒輪的邊界條件不變，所以沒有必要重新計算變形影響系數(shù)。圖7a是圖7b中給出的內(nèi)齒輪的邊界條件的一個剖視。計算變形影響系數(shù)時，模型外圓面和兩端面上的節(jié)點作為邊界條件都被固定。
外齒輪嚙合齒面上嚙合點的變形影響系數(shù)的計算比內(nèi)齒輪更復雜。因為從理論上不能確定哪些銷和滾動體在接觸，所以通過3D和FEM計算嚙合點的變形影響系數(shù)時邊界條件是不確定的。為了得到正確的外齒輪嚙合點變形影響系數(shù)，F(xiàn)EM計算時必須像下面這樣不斷重復計算。
圖8 計算外齒輪變形影響系數(shù)的FEM模型
運用圖8中給出的模型計算外齒輪齒面嚙合點變形影響系數(shù)。開始，按照圖8c所有的滾動支承和止推支承固定（如圖8b中節(jié)點固定）作為邊界條件，通過3D和FEM計算假定嚙合點變形影響系數(shù)。當然很可能有些銷和滾動體并沒有接觸，這意味著開始給出的邊界條件是錯誤的。但是由于嚙合分析后可以得到新的邊界條件，所以變形影響系數(shù)的計算要在新的邊界條件下不斷重復計算，直到在正確的邊界條件下得到正確的變形影響系數(shù)。
5．5 計算外力P
n
從式（15）可以得到（16），
j=1
PG =T/ rb= ∑ Fj （16）
這里，PG與式（7）中的P有不同的含義。PG 是嚙合點上各個不同方向載荷的和，這里載荷方向不包含PG 在內(nèi)。
5．6 計算所有假定嚙合點的齒面載荷分布
式（11）-（13）可以不做改變直接用于PDSTD的嚙合分析。唯一的區(qū)別是變形影響系數(shù)akj,ak’j’，間隙{ε}和接觸載荷Fj都沿著各點各自漸開線計算。
akj，ak’j’，{ε}，和P已知，輪齒載荷{F}和δ可以通過改進單純形法解方程（11）-（13）求得。這里δ是內(nèi)外齒輪的相對偏移角度?；趝F}的值可以計算出輪齒的接觸形式和每個齒分擔載荷的大小。因為齒輪傳動效率較高，所以嚙合齒面的摩擦不計。
5．7 銷和滾動體的載荷分布計算
輪齒載荷分布已知，則可以利用圖2和8給出的模型運用外齒輪的FEA來計算銷和滾動體的載荷。首先，輪齒載荷作用在承載齒齒面，然后通過FEA和計算固定便捷邊界節(jié)點（圖8中所示的滾動支承和止推支承）的反作用力來計算銷和滾動體載荷。
固定邊界節(jié)點上的反作用力求出后，就可以知道銷和滾動體的接觸狀態(tài)。如果銷和滾動體上的反作用力為拉力，那么他們在下一次計算時不承擔載荷；如果銷和滾動體上的反作用力是壓力，則他們承擔載荷并在下一次計算時仍被固定。像這樣，不斷得到銷和滾動體接觸狀態(tài)的邊界條件，把這些邊界條件反饋到5.3節(jié)用于外齒輪齒面嚙合點變形影響系數(shù)的下一次計算中。
5.8 下一次計算
回到5.3節(jié)，重復5.3－5.7節(jié)的計算過程直到銷和滾動體的接觸狀態(tài)與上次計算相比沒有變化，然后輸出輪齒、銷、滾動體的載荷。
5.9 FEM軟件的發(fā)展
VFor語言在個人電腦上應用的多年努力使得FEM軟件得到極大發(fā)展。超參數(shù)六面體單元[2，3]得到應用。下面給出FEM軟件運行的流程框圖，框圖中的每一步都做了相應解釋。
1) 、輸入傳動裝置的參數(shù)和結構尺寸；
FEM軟件可以對任意一個給出了表1中列出齒輪參數(shù)和結構尺寸的PDSTD系統(tǒng)進行嚙合分析和載荷計算。給出變位系數(shù)后，它也可以分析非標準（正變位或負變位）齒輪。
2） 、輸入FEM網(wǎng)格劃分模型，齒輪嚙合位置參數(shù)和外力矩
一個輪齒從進入嚙合到退出嚙合的位置在文中作為一個變量。嚙合中如果這個變量能不斷確定，那么嚙合位置也就能持續(xù)確定。顯然，計算前這個變量必須給出。
內(nèi)外齒輪網(wǎng)格的劃分還受到其他參數(shù)的影響。根據(jù)這些參數(shù)來確定那些地方要細致劃分而哪些地方可以粗略劃分。通常輪齒接觸的區(qū)域和齒根仔細劃分網(wǎng)格。齒輪網(wǎng)格的劃分可以隨著這些參數(shù)的變化而變化。
嚙合分析時傳遞得力矩也要給出。
3） 、自動劃分內(nèi)外齒輪的FEM網(wǎng)格
結構尺寸、齒輪參數(shù)、嚙合位置參數(shù)、FEM網(wǎng)格劃分參數(shù)給定后，程序就可以自動為內(nèi)外齒輪劃分網(wǎng)格。
4） 、給出內(nèi)齒輪輪齒的嚙合范圍，生成內(nèi)外齒輪齒面的嚙合點對
內(nèi)齒輪輪齒嚙合范圍如圖7所示。如圖4中給出的內(nèi)外齒輪齒面的嚙合點對也是自動生成的。
5）、計算每對嚙合點對的間隙εk
每個嚙合點對的間隙是根據(jù)幾何關系自動計算的。
6） 、給出內(nèi)外齒輪的邊界條件
圖8b和圖7a所示的被固定的節(jié)點是作為邊界條件分別計算外齒輪和內(nèi)齒輪的變形影響系數(shù)。
7） 、利用3D和FEM計算齒面嚙合點的變形影響系數(shù)
嚙合點對取定后，通過3D和FEM計算假定嚙合點的變形影響系數(shù)。例如，計算一對嚙合點的變形影響系數(shù)時，模型如圖8所示，將一個單位力沿著嚙合點所在漸開線作用在嚙合點上，那么各嚙合點沿著各自漸開線的變形量可以通過3D和FEM計算出來。齒面上所有嚙合點都重復這樣的計算。然后將這些計算出來的變形量寫成矩陣就得到外齒面嚙合點的變形影響系數(shù)矩陣。內(nèi)齒輪利用圖7中給出的FEM模型也通過相同方法計算。
8） 、建立方程（11）-（13），解方程求得輪齒載荷
建立方程（11）-（13）的數(shù)學模型，運用數(shù)學規(guī)劃法中的改進單純形法解方程求得輪齒載荷（嚙合點對之間的接觸力）。
9） 、運用FEA計算銷和滾動體的載荷
根據(jù)外齒輪的固定的邊界節(jié)點的反作用力的計算，運用FEA來計算銷和滾動體的載荷。
10） 、根據(jù)銷和滾動體的載荷方向確定新的邊界條件
在第6步中，所有的止推支承和滾動支承被固定作為計算外齒輪變形影響系數(shù)的邊界條件。這些最初的邊界條件并不是完全正確。正確的邊界條件由止推支承和滾動支承上的載荷方向得到。如果銷和滾動體上承受壓力，則這個銷或滾動體在下一次計算時仍被固定；反過來，如果銷或滾動體受到拉力，說明它們不承受載荷，則下次就不用計算。銷和滾動體上所有載荷的方向像這樣核對之后就得到新的邊界條件。得到的新的邊界條件用在第7步中外齒輪的變形影響系數(shù)的下一次計算中。
11） 、判斷邊界條件是否改變
在第10步中得到的外齒輪的新的邊界條件與前一次計算的舊邊界條件比較。如果沒有變化則執(zhí)行第12步；如果邊界條件變了，跳到第7步，用新的邊界條件重新計算。舊的邊界條件指前面計算中使用的邊界條件，新的邊界條件指當前計算中使用的邊界條件。
12） 、輸出輪齒載荷，銷和滾動體載荷
輪齒載荷、銷和滾動體載荷由此輸出。
13） 、結束
6.計算舉例
齒輪參數(shù)和結構尺寸如表1所示。在所有計算中，外齒輪的偏移方向沿著+Y方向，如圖1、2、6。
圖9a是計算中用到的三維FEM模型。圖9b是圖9a的一個剖視圖，它只顯示了部分齒。在圖9中，嚙合齒被細致地劃分了網(wǎng)格。在外面齒寬方向有16個網(wǎng)格（17個節(jié)點），在齒廓上有12個網(wǎng)格，齒根圓角部分有8個網(wǎng)格。計算中輸出力矩為15kg·m。計算結果如下。
（a）FEM的三維模型
（b）嚙合齒的剖視圖
圖9 PDSTD嚙合分析的三維FEM模型
6．1 輪齒載荷的分布
圖10反映了每對齒的最小間隙與齒所處的位置之間的關系。在圖10中，每對齒的位置用一個角度α0表示，如圖2。每對嚙合的齒上的總載荷是根據(jù)所有節(jié)點載荷計算的，每對齒的總載荷和它的位置之間的關系如圖10所示。圖2與圖10中顯示的齒數(shù)一致。從圖2可以看出齒5、6、7、8并不在外齒輪的偏移方向（圖2中α0=90°）上。它們在Y軸左邊，這是由于齒4、5、6、7、8之間有很小的嚙合間隙。在圖10中，可以看出6、7齒上的總載荷遠大于5、8齒。
圖10 齒側間隙和輪齒載荷分布
節(jié)點合力沿著齒廓方向，輪齒合力的縱向分布如圖11所示。從圖11可以看出輪齒載荷的縱向分布并不是平行于橫坐標的直線，這是由于銷只在左邊支承，如圖8a和b。在圖8a中，力矩通過齒輪左邊的銷傳遞，所以在FEA中只有齒輪左邊的銷（節(jié)點）被固定作為邊界條件，如圖8b。如果嵌在齒輪中的銷不是懸臂結構，它們被外齒輪的兩邊支承著，那么圖11就成為關于齒寬中心對稱的分布。
圖11 輪齒載荷的縱向分布
圖12a是5齒表面嚙合點載荷的等值線。圖12b-d分別是6、7、8齒齒面嚙合點的載荷等值線圖。在圖12中，橫坐標是齒寬，縱坐標是嚙合點在齒廓上的位置?？v坐標為1則點在齒頂，縱坐標為13則點在齒根。所以圖12a-d分別是5、6、7、8齒輪齒載荷在整個齒面的分布。
（a）5齒載荷在齒面分布 （b）6齒載荷在齒面分布
（c）7齒載荷在齒面分布 （d）8齒載荷在齒面分布
從圖12可以看出，5、6齒在齒頂處接觸而7、8齒在齒中間接觸。
6．2 銷載荷分布
圖13是銷的承載與其位置的關系。在圖13中，銷的位置像圖2中一樣用角度α0表示，縱坐標是銷的載荷。圖2中顯示的銷的數(shù)目圖13中亦有給出。從圖13中可以發(fā)現(xiàn)8個銷都承受載荷，銷4載荷最大。
6．3 滾動體載荷分布
圖14是滾動體上的總載荷與其位置的關系。在圖14中，滾動體的位置同圖2也是用角度α0表示的，縱坐標是滾動體上的總載荷。圖14中滾動體數(shù)目由圖2得到。從圖14中可以看出只有銷1、2、3、4、5、6、19、20、21、22承受載荷，其余滾動體不承載。從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，銷1、2、3、4、5、6、19、20、21、22都位于Y軸的右邊。
圖13 銷上載荷分布
圖15是滾動體載荷的縱向分布圖。從圖中可以看出，滾動體5承受最大載荷。
圖14 滾動體上載荷分布
圖15 滾動體載荷縱向分布
圖16 輪齒、銷、滾動體載荷比較
圖16是輪齒、銷、滾動體載荷的一個比較。從圖中可以看出，輪齒上的最大總載荷遠大于銷和滾動體上的最大載荷。同樣，銷的最大載荷比滾動體的大。
7.結論
（1） 由于對少齒差行星齒輪傳動沒有一個有效的方法來進行載荷分析和強度計算，本文提出用一個力學模型和有限元的方法來完成這種傳動形式的嚙合分析和強度計算。經(jīng)過多年努力，三維有限元程序得到極大發(fā)展，可以完成少齒差行星傳動的嚙合分析，弄清楚輪齒、銷和滾動體上的載荷分布。
（2） 當傳動系統(tǒng)受到15㎏·m的力矩作用時，有四對齒參與嚙合。承載的齒并不在外齒輪偏移方向的上方，而是在與偏移方向成20°-30°的方向上。承載齒齒側間隙變小。
（3） 齒7、8的齒面中間區(qū)域承載而齒5、6的齒頂承載。齒6、7分擔了總載荷的大部分，并且齒7承受的載荷最大。輪齒載荷并不是由于銷的懸臂結構而沿著齒寬的縱向分布。
（4） 輪齒承受載荷遠大于銷和滾動體。所有的銷均承受載荷，且銷4載荷最大，而只有一部分滾動體承受載荷，滾動體5載荷最大。
（5） 這里只給出FEM的計算結果。需要用實驗測試來驗證這些計算結果。下一部分的研究將是少齒差行星齒輪傳動的實驗測試。
致 謝
感謝中國航空航天協(xié)會！作者于1994年以前在中國西安西北工業(yè)大學工作時，該協(xié)會資助了這項研究。
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