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摘 要
一個(gè)形成沖擊機(jī)考慮。形成影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究，特別關(guān)注到周期n單沖擊運(yùn)動(dòng)，霍夫分岔非共振和弱共振的情況下，在1:4強(qiáng)共振條件下，余維2分叉和混沌次諧波和霍普夫分岔穩(wěn)定性議案等周期N單沖擊運(yùn)動(dòng)解析推導(dǎo)。與成形影響系統(tǒng)的狀態(tài)相關(guān)聯(lián)的龐加萊“部分，只是立即的沖擊后，被選擇，然后周期n單沖擊運(yùn)動(dòng)的擾動(dòng)地圖建立。穩(wěn)定性和周期一個(gè)單沖擊運(yùn)動(dòng)的局部分岔使用龐加萊“地圖分析。局部分岔分析和數(shù)值模擬表明，為期單沖擊運(yùn)動(dòng)，在大多數(shù)情況下，經(jīng)過倍周期分岔或Hopf分岔與控制參數(shù)的變化。為期單沖擊運(yùn)動(dòng)無論發(fā)生次諧波和Hopf分支在1:4強(qiáng)共振條件下。放牧不穩(wěn)定發(fā)生在強(qiáng)共振條件下。一般來說周期性影響運(yùn)動(dòng)的放牧邊界上的運(yùn)動(dòng)期間新出現(xiàn)的影響，或在運(yùn)動(dòng)期間的影響消失。附近余維的點(diǎn)2分叉存在不僅霍普夫分岔為期singleimpact運(yùn)動(dòng)，也期兩個(gè)雙沖擊運(yùn)動(dòng)的Hopf分岔。最后，在周期運(yùn)動(dòng)和形成沖擊系統(tǒng)的全局分岔系統(tǒng)參數(shù)的影響進(jìn)行了討論。在設(shè)計(jì)工具的影響是極大的興趣達(dá)到預(yù)期的周期性沖擊速度。為了便于這樣的設(shè)計(jì)，全球分岔圖的形成的影響，系統(tǒng)相對于強(qiáng)制頻率的相對碰撞速度作圖，從而使實(shí)踐工程師來選擇激勵(lì)的頻率范圍，其中穩(wěn)定期1單沖擊響應(yīng)可以是預(yù)計(jì)將發(fā)生，并預(yù)測影響較大的速度和響應(yīng)這樣的短時(shí)期沖擊。在設(shè)計(jì)和改造形成沖擊機(jī)，如果一些系統(tǒng)參數(shù)被賦予或限制，其他的參數(shù)，并迫使頻率可以通過周期性的穩(wěn)定性影響運(yùn)動(dòng)和分岔的分析來優(yōu)化，使得在成形沖擊系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定的期間具有較大的沖擊速度和更短的影響1單沖擊運(yùn)動(dòng)期。
關(guān)鍵詞：沖擊;振動(dòng);周期運(yùn)動(dòng);穩(wěn)定性;分枝
1引言
影響振蕩器產(chǎn)生每一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的部件碰撞的剛性障礙。這樣的系統(tǒng)具有反復(fù)沖擊在各種工程應(yīng)用中的存在，特別是在機(jī)構(gòu)和機(jī)器具有間隙或縫隙。振動(dòng)錘，沖擊阻尼器，機(jī)械壓實(shí)，銑削和成形的操作原則，離岸結(jié)構(gòu)，慣性振動(dòng)篩和打樁機(jī)等，是基于沖擊作用的運(yùn)動(dòng)物體。與其它設(shè)備，例如，用間隙，換熱器，核反應(yīng)堆的燃料元件，齒輪，管道系統(tǒng)，高速鐵路客車輪軌相互作用等機(jī)制，影響也會(huì)發(fā)生，但他們是不可取的，因?yàn)樗麄儙硎?，?yīng)變，縮短使用壽命和增加噪音。研究成反復(fù)沖擊動(dòng)力學(xué)有剛性障礙物或間隙，噪聲抑制和可靠性分析等影響時(shí)的物理過程是高度非線性和不連續(xù)的特點(diǎn)機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。非線性和不連續(xù)性的存在復(fù)雜反復(fù)沖擊系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析相當(dāng)，但它可以在理論上和數(shù)值與實(shí)際吻合較好，說明了不連續(xù)性。與單一的沖擊相比，振動(dòng)沖擊動(dòng)力學(xué)較為復(fù)雜，因此，受到了高度的關(guān)注。在分析和理解這些系統(tǒng)的性能大的興趣是研究工作致力于在這一領(lǐng)域的廣闊和不斷增加的金額反映。對振動(dòng)沖擊動(dòng)力學(xué)的一些重要問題，包括全局分叉[ 1-11 ] ，黏彈性振動(dòng)的影響[12] ，影響映射[ 10-19 ]的奇點(diǎn)，熱熱鬧鬧的影響[20] ，準(zhǔn)周期的影響[ 21?23] ，混沌控制[24]和實(shí)驗(yàn)研究[ 25,26]等，進(jìn)行了研究，在過去的數(shù)年。隨著理論研究成振動(dòng)的影響力度，研究到應(yīng)用到這些系統(tǒng)的開發(fā)，比如，輪軌鐵路客車的影響[ 27?29] ，沖擊噪聲分析[30,31] ，慣性振動(dòng)篩[ 32 ， 33 ] ，振動(dòng)錘[34] ，離岸結(jié)構(gòu)[35] ，單盤轉(zhuǎn)子與軸承游隙[36,37] ，地面秣陵動(dòng)力學(xué)[ 38 ] ，沖擊阻尼器[ 39?41] ，齒輪[ 42-44 ]等。
一個(gè)形成沖擊機(jī)被認(rèn)為是在紙張上。本研究的目的是把注意力集中在形成沖擊機(jī)，包括穩(wěn)定性， Hopf分支在非共振和弱共振的情況下，以1:4強(qiáng)共振條件下的次諧波和霍普夫分岔，余維2的動(dòng)力學(xué)分析分岔，放牧單一性和混沌運(yùn)動(dòng)等。周期n單沖擊運(yùn)動(dòng)解析推導(dǎo)。與成形影響系統(tǒng)的狀態(tài)相關(guān)聯(lián)的龐加萊“部分，只是立即的沖擊后，被選擇，然后周期n單沖擊運(yùn)動(dòng)的擾動(dòng)地圖建立。該singleimpact周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和局部分叉是使用龐加萊“地圖分析。最后，在周期運(yùn)動(dòng)和impactforming系統(tǒng)的全局分岔系統(tǒng)參數(shù)的影響進(jìn)行了討論。
2 形成沖擊機(jī)的力學(xué)模型
為形成沖擊機(jī)的力學(xué)模型與群眾M1和M2被顯示在圖1 [ 45,46] 。群眾M1和M2的位移是由X1和X2 分別代表。
群眾被連接到線性彈簧剛度與K1，K2和K3，和線性粘滯阻尼器與阻尼常數(shù)C1，C2和C3。在質(zhì)量M2激勵(lì)是諧波振幅 是激勵(lì)頻率。大眾M1相互影響與大眾M2時(shí)，他們的位移之差等于間隙，即.動(dòng)量守恒定律描述的影響系數(shù)歸還R,假設(shè)影響的持續(xù)時(shí)間相比可以忽略不計(jì)的力量。
該系統(tǒng)中，任何兩個(gè)連續(xù)的影響之間的運(yùn)動(dòng)過程，被認(rèn)為是。連續(xù)兩次沖擊之間的時(shí)間T總是設(shè)置為零直時(shí)瞬間前沖擊已經(jīng)結(jié)束，并在相位角僅用于使為時(shí)間原點(diǎn)一個(gè)合適的選擇在計(jì)算中。沖擊形成的狀態(tài)系統(tǒng)，只是立即的沖擊后，已經(jīng)成為初始條件的議案的后續(xù)處理。連續(xù)的影響之間的無量綱差運(yùn)動(dòng)方程由下式給出
其中是連續(xù)的影響之間的相位角，點(diǎn)（. ）表示分化的無量綱時(shí)間t ，和無量綱量被引進(jìn).
沖擊發(fā)生的 。保護(hù)的影響在氣勢和恢復(fù)系數(shù)的條件可以寫
其中R是恢復(fù)系數(shù),下標(biāo)前負(fù)號表示美國的影響和下標(biāo)加號表示美國影響剛過, 和 (i = 1;2)代表方法的速度和群眾離開Mi的分別即時(shí)影響。
為了分析一些復(fù)雜的分叉行為impact-forming系統(tǒng)可能發(fā)生時(shí),我們假定阻尼力學(xué)模型的比例阻尼Rayleigh-type暫時(shí)。 在章節(jié)5 - 7,我們分析一些可能的分叉特性與比例阻尼模型;在第8部分中,我們將考慮非比例阻尼和分析系統(tǒng)參數(shù)對周期運(yùn)動(dòng)和分支的影響,獲得優(yōu)化的參數(shù)。Eq. (1) 是經(jīng)得起分析治療由于比例阻尼。 讓代表Eq.(1)的規(guī)范模型矩陣。、 eigenfrequiencies表示系統(tǒng)的影響不再發(fā)生。 Eq.(1),根據(jù)變量事情的變化,成為
其中，I度是一個(gè)單位矩陣2*2, C和是對角線結(jié)構(gòu)矩陣，和,是方程的響應(yīng)Eq.（1）中的正則坐標(biāo)。
Eq.（1）方程的通解由下式給出
其中是典型的模態(tài)矩陣的元素，，阻尼固有頻率 aj
和bj是集成它們是常數(shù)由初始狀態(tài)（狀態(tài)確定剛之后每隔影響）和模態(tài)參數(shù)系統(tǒng)， AJ和Bj是振幅參數(shù)，由下式給出
3 周期N單沖擊運(yùn)動(dòng)
影響系統(tǒng)是這張地圖的convenientl迭代對應(yīng)于質(zhì)量m1驚人的質(zhì)量M2一次。在本節(jié)中，只在強(qiáng)迫的n個(gè)周期的周期性的運(yùn)動(dòng)模型，其中一個(gè)沖擊，是
認(rèn)為，這就是所謂的周期n單沖擊運(yùn)動(dòng)。我們可以建立IMPAC ?研究利用從運(yùn)動(dòng)方程推導(dǎo)映射的龐加萊“地圖。每件T成型機(jī)通過選擇龐加萊“部分. 該周期n單沖擊運(yùn)動(dòng)的干擾是地圖表示為
(8)
,v是不同參數(shù), 或者;是不動(dòng)點(diǎn)在超平面,和是擾動(dòng)向量X *。
根據(jù)合適的系統(tǒng)參數(shù)的條件下，所示的系統(tǒng). 1展品周期行為。在本文中，我們可以用符號q=p/n ，其中p是碰撞的次數(shù)，n是強(qiáng)制循環(huán)數(shù)表征vibroimpact系統(tǒng)的周期性沖擊運(yùn)動(dòng)。該P(yáng)eterka符號q ，最初由Peterka ，是在分析周期性影響運(yùn)動(dòng)和分岔特性（期間增加一倍，鞍結(jié)和定期運(yùn)動(dòng)的影響，放牧等分支重要的意義，可以根據(jù)變化來方便地確定值q ） ，而量Q具有周期性和混沌運(yùn)動(dòng)理性和非理性的價(jià)值觀，分別;見參考文獻(xiàn). [14]。
在q=1/n正運(yùn)動(dòng)是指如果無量綱時(shí)間t是直接設(shè)置為零只是撞擊后，立即就變成只是接下來的沖擊之前，亞利桑那州。 y坐標(biāo)的原點(diǎn)后，被移位到?jīng)_擊點(diǎn)時(shí)，判斷的周期為n單沖擊運(yùn)動(dòng)是基于事實(shí)它們滿足周期性下面的一組和匹配條件
其中和是二人的速度群眾M1和M2立即的影響之前，分別。
根據(jù)方程（ 3）及（ 9）中，兩個(gè)質(zhì)量塊的剛剛之前和碰撞后的速度，其中q = 1 / n的運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)，被寫成如下形式
插入集周期性和匹配條件（9）到一般的解決方案（5）和（6） ，可以得到5方程5個(gè)未知量，并求解他們，即整合AJ0 ， bj0和的常數(shù)與相位角相關(guān)的q=1/n的運(yùn)動(dòng)，這是由下式給出
(11)
(12)
(13)
(14)
其中
在式（ 11）中，符號表示能夠根據(jù)存在兩種不同的單沖擊周期解在同一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)振動(dòng)沖擊系統(tǒng)。它應(yīng)該指出的是周期的存在n單個(gè)沖擊軌道需要如下條件：
(15)
否則，就不可能為單沖擊周期性運(yùn)動(dòng)存在。代AJ0 ， bj0和為AJ ， BJ和方程。 （ 5 ）和（ 6 ），我們得到了周期解，其中對應(yīng)于一個(gè)沖擊過程中的強(qiáng)制的n個(gè)周期。插入時(shí)間t =0到周期的解決方案，我們可以獲得定點(diǎn)，這是預(yù)測期為n單沖擊軌道Poincare? “節(jié)。
4.擾動(dòng)的單周期沖擊運(yùn)動(dòng)圖
如果q=1/n運(yùn)動(dòng)不安的瞬間通過差異和 然后影響人們可以表達(dá)的差異和在接下來的影響。在這里，和分別代表位移和擾動(dòng)的速度q=1/ n的議案。受干擾的解決方案連續(xù)兩次沖擊之間的運(yùn)動(dòng)由下式給出
（16）
其中
對于不安q=1/n正運(yùn)動(dòng)的無量綱時(shí)間被設(shè)定為零之后直接產(chǎn)生影響，變成只是接下來的沖擊面前，。讓時(shí)，在連續(xù)兩次沖擊點(diǎn)的邊界條件由下式給出
其中下標(biāo)減號表示狀態(tài)正好前沖擊下標(biāo)加號表示狀態(tài)剛剛撞擊后，i= 1 ; 2 。
插入邊界條件（17）到受擾解決方案（ 16）t=0 ，我們可以解決
其中
對于擾動(dòng)q=1/n運(yùn)動(dòng)，沖擊發(fā)生用;即，
（22）
擾動(dòng)量和是包括在方程（22） 。為了簡化分析，我們可以讓
假設(shè)和使用隱式函數(shù)定理，我們可以求解方程。 （ 23），用于是通過簡單地表示
對和的偏導(dǎo)數(shù)可以通過以下方式表達(dá)
其中
插入邊界條件（ 17 ）和式（24）進(jìn)受干擾的解決方案（ 16）對于 t=te，我們終于拿到了Poincare? '地圖
該P(yáng)oincare? '地圖（ 26 ）可以通過簡單地表示
其中
線性化Poincare? “地圖在固定點(diǎn)結(jié)果中的雅可比矩陣
該矩陣的元素由下式給出
穩(wěn)定性和q= 1/1的運(yùn)動(dòng)本地分支通過計(jì)算和分析雅可比矩陣DF（ V， 0 ）的特征值來確定。如果DF（ V， 0 ）的所有特征值的模量是小于1，那么相應(yīng)的Q = 1/1的運(yùn)動(dòng)和它的固定點(diǎn)在龐加萊“部分是穩(wěn)定的。與此相反，如果DF（ V， 0 ）的特征值中的一個(gè)的模量是否大于統(tǒng)一，固定點(diǎn)是不穩(wěn)定的。如果DF（ V， 0 ）的與模塊的最大特征值趴在單位圓當(dāng)v = VC （VC是一個(gè)分叉值），那么有分叉發(fā)生的可能性。在一般情況下，分叉根據(jù)在單位圓上和它們在單位圓上，從而在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的質(zhì)的變化位置的特征值的數(shù)目多種方式發(fā)生。如果雅可比矩陣DF （V ， 0 ）的復(fù)共軛對特征值，穿越單位圓為V通過VC + + ;該DF（ V， 0 ）的頻譜的剩余部分將被假定為保持嚴(yán)格在單位圓內(nèi)，它可能是Hopf分岔與q = 1/1的運(yùn)動(dòng)發(fā)生有關(guān)。如果DF （V ，0）有一個(gè)真正的特征值，從點(diǎn)交叉的單位圓（-1 ，0）或點(diǎn)（ 1 ，0）為V穿過的vc ;該DF（ V， 0 ）的頻譜的剩余部分是分別在單位圓內(nèi)的嚴(yán)格，倍周期分岔或q= 1/1運(yùn)動(dòng)鞍結(jié)分岔發(fā)生時(shí)。此外，我們也應(yīng)考慮的情況下，并且該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究，特別關(guān)注1:4強(qiáng)烈的共鳴和余維2為q = 1/1的運(yùn)動(dòng)分岔。
5 .全局分歧單沖擊周期運(yùn)動(dòng)
在本節(jié)在前節(jié)中開發(fā)的分析是通過結(jié)果的表述為形成影響的系統(tǒng)驗(yàn)證。 Q = 1 / n的運(yùn)動(dòng)的存在性和穩(wěn)定性都明確地分析。此外，當(dāng)?shù)氐姆植嫣幾兓€(wěn)定，在上一節(jié)中所討論的點(diǎn)，都算，從而使有關(guān)不同種類的分岔的存在一些信息q= 1 / n的動(dòng)作即Hopf分岔，倍周期分岔，余維2分叉，在強(qiáng)共振情況下的次諧波和Hopf分岔等，形成沖擊機(jī)在這里學(xué)習(xí)涉及9無量綱參數(shù)。對于不同的類型形成沖擊機(jī)，主要范圍設(shè)計(jì)參數(shù)毫米，和由下式給出和 。一些系統(tǒng)參數(shù)，主要設(shè)計(jì)參數(shù)的范圍，被選擇用于分析可能的分叉特征q=1/n的議案。
形成沖擊系統(tǒng)，用系統(tǒng)參數(shù)（1）：和R=0.8 ，已被選定進(jìn)行分析。設(shè)n = 1 ，并且激勵(lì)頻率被作為控制參數(shù)，即 。 DF（ ，0）的特征值與計(jì)算 。雅可比矩陣DF （ ， 0 ）的所有特征值仍留在單位圓內(nèi)與。鄰提高到= c= 4.382277 ， DF （ ， 0 ）有一個(gè)復(fù)雜的共軛對的特征值，在單位圓上，而特征值的其余部分仍然在單位內(nèi)圈子。共軛復(fù)數(shù)對特征值將難逃單位圓相應(yīng)地，另一特征值仍然會(huì)留在單位圓內(nèi)鄰?fù)ㄍㄟ^c越來越多。這可能是Hopf分岔的q = 1/1的運(yùn)動(dòng)發(fā)生>c 。龐加萊“部采取的形式，這將是四維。本節(jié)，然后投射到平面等，這就是所謂的投影龐加萊'部分。一理論上的固定點(diǎn)q= 1/1運(yùn)動(dòng)，與相應(yīng)的迫使頻，被當(dāng)作初始地圖點(diǎn)。 該示例的理論分析可以很好的支持下面的數(shù)值結(jié)果。數(shù)值分析所進(jìn)行的，用于確定形成沖擊系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)
在圖2 ，從仿真結(jié)果所示為系統(tǒng)參數(shù)（ 1 ）和在不同強(qiáng)制頻率范圍[ 3.5 ， 8 ] 。質(zhì)量M2的速度，只是立刻沖擊后，顯示相對于強(qiáng)迫頻率 。有些投影龐加萊“部分繪制
圖。 3，如圖所示，由數(shù)值計(jì)算結(jié)果，即系統(tǒng)具有穩(wěn)定的q= 1/1運(yùn)動(dòng)與所看到的分岔圖圖。圖2（a ） 。如通過c = 4.382277越來越多，q= 1/1運(yùn)動(dòng)已經(jīng)改變了它的穩(wěn)定性和超臨界霍普夫運(yùn)動(dòng)的分叉出現(xiàn)，使得準(zhǔn)周期影響運(yùn)動(dòng)是天生的。正如預(yù)期的那樣，一個(gè)準(zhǔn)周期沖擊響應(yīng)，由吸引不變表示圓圖。圖3（a ） ，出現(xiàn)在=4.4 ，剛剛過了Hopf分岔值= 4.382277 。但應(yīng)當(dāng)指出的是準(zhǔn)周期吸引子，它是由一個(gè)閉合識(shí)別曲線在投影龐加萊“部分，在本質(zhì)上是光滑附近的分叉點(diǎn)。的價(jià)值進(jìn)一步動(dòng)作遠(yuǎn)離Hopf分岔值時(shí)，吸引不變?nèi)Φ臄U(kuò)大，及準(zhǔn)周期的平滑度吸引子是由度改變，直到它銷毀。大量增加的，相位鎖定發(fā)生，使得準(zhǔn)周期性的運(yùn)動(dòng)被鎖定到更高（比基本）期間，隨后變得不穩(wěn)定和混沌一周期吸引。然后系統(tǒng)先后經(jīng)歷了混沌運(yùn)動(dòng)， multiimpact周期運(yùn)動(dòng)，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的影響和q = 1/1的運(yùn)動(dòng)如是一個(gè)不斷增加的方式進(jìn)一步轉(zhuǎn)變;參見圖圖2（a ） 。這是q= 1/1的運(yùn)動(dòng)通過Hopf分岔產(chǎn)生不利路線混亂。 Hopf分岔的第二個(gè)值c2等于4.621614 。兩個(gè)窗口的周期一單沖擊運(yùn)動(dòng)，由準(zhǔn)周期，其他定期或混亂的區(qū)域分開，可以從觀察
圖分岔圖圖2（a ） 。可以發(fā)現(xiàn)， q= 1/1的第二窗口的運(yùn)動(dòng)存在過相對窄強(qiáng)制頻率范圍
當(dāng)雖然通過c3 = 4.822494 ，一個(gè)真正的特征值逃出點(diǎn)在單位圓（-1， 0）和DF（V ，0）的頻譜的剩余部分是嚴(yán)格內(nèi)的單位圓，q=1/1運(yùn)動(dòng)的倍周期分岔發(fā)生。與鄰進(jìn)一步增加，那么運(yùn)動(dòng)經(jīng)過一段繼承倍周期分岔，這最終導(dǎo)致明顯非周期性或混沌運(yùn)動(dòng);參見圖2（ b）所示。相平面的畫像q= 2/2 ， q= 4/4 ，q= 8/8和混沌運(yùn)動(dòng)是繪于圖圖4(a)–(d) 。存在q=2/3和5/ 7運(yùn)動(dòng)的分岔圖圖。 2（ b）所示。這兩個(gè)周期運(yùn)動(dòng)的相平面的肖像畫，繪于圖4 （ e）及（ f）條。 Q= 2/ 3的運(yùn)動(dòng)是由一個(gè)天生的混亂的變性，隨后q= 2/3的運(yùn)動(dòng)過渡通過運(yùn)動(dòng)的鞍結(jié)分岔再次混亂;參見圖2（ b）所示。q= 5/7的生成和過渡運(yùn)動(dòng)類似于這些q= 2/3的運(yùn)動(dòng)。
此后，形成影響系統(tǒng)經(jīng)歷了復(fù)雜的過程，如增加，這集中體現(xiàn)為如下：
混沌運(yùn)動(dòng)q= 6/8運(yùn)動(dòng)Hopf分岔其中q = 6/8運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)相關(guān)其中q = 6/ 8運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)相關(guān)其中相關(guān)的q= 3/ 4個(gè)運(yùn)動(dòng)階段鎖定混沌運(yùn)動(dòng)q = 1/2的運(yùn)動(dòng)。
過渡的復(fù)雜過程被清楚地顯示在圖2（ b）和5隨著增加，迫使頻率，混沌運(yùn)動(dòng)退化為q = 6/8的運(yùn)動(dòng)，在投影龐加萊“部分的6個(gè)固定的點(diǎn)來表示;參見圖5（ b）所示中Hopf分岔q= 6/8的固定點(diǎn)結(jié)果與q= 6/8的運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，
看圖5（c ） 。準(zhǔn)周期性運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換到其他相關(guān)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)q = 3/3由于其中q = 6/8的固定點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的如在圖可見圓圈的破裂。 5 （ d）和（ e）項(xiàng)。
6 .在1:4強(qiáng)共振條件下亞諧與Hopf分岔
6.1在1:4強(qiáng)共振條件下亞諧分叉
通常的分岔，從周期運(yùn)動(dòng)到準(zhǔn)周期的，發(fā)生非共振或共振條件下的非線性動(dòng)力系統(tǒng)下。如果一對復(fù)共軛特征值的DF （ V， 0 ）逃避單位圓為V通過臨界值的vc ，滿足條件和有可能是周期運(yùn)動(dòng)的Hopf分岔非共振或弱共振情況下發(fā)生的，其中條件是共振個(gè)弱點(diǎn)，和降低到非共振情況[ 47 ] 。如果復(fù)共軛特征值滿足條件和在分岔點(diǎn)，它可能是霍普夫或強(qiáng)烈的共鳴例次諧波分支（ 1:1，1:2， 1:3或1:4）發(fā)生[ 47 - 49 ] 。在這里，我們將考慮1:4強(qiáng)共振條件下。
系統(tǒng)參數(shù)（ 2 ） ：
和R = 0.8被選擇為分析與1:4強(qiáng)共振條件下相關(guān)的諧波分叉。雅可比矩陣的特征值DF（ ，），對應(yīng)于計(jì)算。矩陣DF （,0 ）具有兩對復(fù)共軛本征值和在強(qiáng)制頻率的區(qū)域。 DF （,0 ）的所有特征值，采用是在單位圓內(nèi)。當(dāng) 通過臨界值c = 4.137129 ，復(fù)共軛本征值對的從點(diǎn)（ 0，）的頻譜，其余DF（,0 ）保持在單位圓內(nèi)嚴(yán)格逃脫單位圓通行證。c是與1:4強(qiáng)烈的共鳴，在這DF （,0 ）的特征值相關(guān)的諧波分叉值是
從仿真結(jié)果表明，該impactforming系統(tǒng)，與系統(tǒng)參數(shù)（ 2 ） ，具有穩(wěn)定的q = 1/1運(yùn)動(dòng)與。強(qiáng)迫頻率傳遞到后c= 4.137129 ，不穩(wěn)定Q = 1/1的固定點(diǎn)的出現(xiàn)，使得一個(gè)家庭Q = 4/4固定點(diǎn)的誕生和穩(wěn)定。質(zhì)量M2的速度相對于不同的強(qiáng)制頻率的分岔圖繪于圖6，隨著迫使頻鄰增加，倍周期q = 4/4的運(yùn)動(dòng)發(fā)生分叉，并產(chǎn)生q = 7/7的議案;參見圖7（a ）和（b ） 。然而，沒有倍周期運(yùn)動(dòng)的順序出現(xiàn)由于兩個(gè)群眾放牧接觸。放牧接觸意味著，當(dāng)兩個(gè)物體的位移之差等于的間隙，兩個(gè)物體具有相同的速度聯(lián)系，即， 。由于增加為 = 4.20196 ，q = 8/ 8個(gè)運(yùn)動(dòng)的放牧出現(xiàn)不穩(wěn)定，在運(yùn)動(dòng)期間一個(gè)沖擊消失和運(yùn)動(dòng)過渡到q= 7/8的議案。一個(gè)q = 7/8的運(yùn)動(dòng)，在投影龐加萊“部分，如圖中所示為= 4.203 。圖7（c ） 。放牧接觸會(huì)導(dǎo)致不連續(xù)的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Poincaré的地圖和奇異性。兩個(gè)物體的相對運(yùn)動(dòng)的相平面肖像繪制了一系列強(qiáng)制圖頻率值。 8的圖。圖8（b ）是繪制Q = 8分之8運(yùn)動(dòng)用兩個(gè)質(zhì)量塊，從中可以觀察到，在運(yùn)動(dòng)期間一個(gè)沖擊消失且q = 7/8的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的放牧接觸的相平面的畫像。所述q = 8/ 8個(gè)運(yùn)動(dòng)與放牧的接觸時(shí)間的軌跡示于圖9 ，其中實(shí)線和虛線對應(yīng)于塊M2和M1的時(shí)間運(yùn)動(dòng)軌跡，分別。它清楚地觀察到，從時(shí)間軌跡，即兩個(gè)物體的放牧接觸發(fā)生在t = 20.1165 。由于增加為= 4.227 ，
q = 7/8運(yùn)動(dòng)的放牧失穩(wěn)發(fā)生，在運(yùn)動(dòng)為期影響再次消失和q = 6/8的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定;參見圖8（ d）所示。一個(gè) q = 6/8的運(yùn)動(dòng)如圖中所示為= 4.2275 。圖8（e ） 。以增加迫使頻率，形成沖擊系統(tǒng)經(jīng)歷到q = 1/1的運(yùn)動(dòng)，這是概括成過程中的過渡：q= 6/8運(yùn)動(dòng)→ q = 3/4的運(yùn)動(dòng)→長周期多沖擊運(yùn)動(dòng)→其中q = 1/1運(yùn)動(dòng)→ q= 1/1的運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)周期影響的議案。存在的q= 1/1的運(yùn)動(dòng)在圖2的窗口。 圖6 ，由準(zhǔn)周期和其他周期運(yùn)動(dòng)分開。 q= 1/1的第一窗口運(yùn)動(dòng)存在在寬強(qiáng)迫頻率范圍內(nèi)，而第二對被比較窄的頻率范圍。
6.2 。 Hopf分岔在1:4強(qiáng)共振條件下
系統(tǒng)參數(shù)（ 3 ） ：
和R = 0.8時(shí)，采取分析的強(qiáng)共振條件下的Hopf分岔的存在。 DF（ ， ）與q= 1/1的固定點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的特征值計(jì)算。矩陣DF（,0）具有兩對復(fù)共軛本征值和中的頻率范圍 DF （,0 ）的所有特征值，與趴在單位圓內(nèi)。作為強(qiáng)迫頻率穿過c= 4.408895 ，復(fù)共軛本征值從點(diǎn)（ 0，） DF（,0）的頻譜，其余逃脫停留在單位圓內(nèi)嚴(yán)格的單位圓。 Wc是用在該DF（,0 ）強(qiáng)共振條件下相關(guān)的Hopf分岔值的特征值為
結(jié)果從仿真結(jié)果表明， impactforming系統(tǒng)具有穩(wěn)定的q= 1/1運(yùn)動(dòng)以通過c = 4.408895 ，Q = 1/1的運(yùn)動(dòng)變得不穩(wěn)定，并產(chǎn)生準(zhǔn)周期影響運(yùn)動(dòng)。準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的影響，在預(yù)計(jì)的龐加萊“部分封閉的圓圈表示，繪制在圖 = 4.41 。圖10（a ） 。隨著增加，一個(gè)兜售型正切（倍）出現(xiàn)分叉和q = 4/4固定點(diǎn)穩(wěn)定;參見圖10 （ b）所示。由于增加為 = 4.4303 ,q = 4/4運(yùn)動(dòng)的放牧失穩(wěn)發(fā)生，在運(yùn)動(dòng)期間一個(gè)沖擊消失和q = 3/4的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定。q= 4/4的運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)群眾放牧接觸的相平面的畫像顯示在圖 = 4.4303 。 11 （ b）所示，從其中q= 4/4的過渡運(yùn)動(dòng)到q = 3/4，通過兩個(gè)質(zhì)量塊的放牧接觸時(shí)，可以觀察到很明顯。然后，該系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定q = 3/4在該區(qū)域的運(yùn)動(dòng)。
放牧接觸會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的質(zhì)的變化。該vibroimpact系統(tǒng)，與固定站的放牧間斷，已詳細(xì)研究文獻(xiàn)。 [ 12-17 ] 。單自由度的影響振蕩器的q = p / n運(yùn)動(dòng)的擦邊分岔文獻(xiàn)進(jìn)行了分析。 [14]。一般情況下，q= p / n運(yùn)動(dòng)的放牧邊界上的運(yùn)動(dòng)期間一個(gè)新的影響似乎還是在運(yùn)動(dòng)期間的影響消失，使運(yùn)動(dòng)過渡到q =（p +1） / n或（p -1） / n的議案。從仿真結(jié)果符合文獻(xiàn)中提到的結(jié)論。 [14]。此外，在龐加萊'地圖放牧的不連續(xù)性很可能是長期的定期或thaotic運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要原因。有必要使基礎(chǔ)研究到的一些現(xiàn)象放牧碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，這些系統(tǒng)的組件相互碰撞。
7.余維二分岔周期沖擊運(yùn)動(dòng)
7.1 余維2分叉（一）
余維2分叉嚴(yán)格的條件是不容易在工程實(shí)際應(yīng)用中遇到的問題。然而，存在的可能性，實(shí)際的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，有兩個(gè)不同的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)，附近的余維2分叉的臨界值工作，由于參數(shù)的變化。該impactforming機(jī)算得上是一個(gè)典型的例子。除了迫使頻率 ，間隙也隨不同厚度的工件形成的。改變這些參數(shù)可能會(huì)導(dǎo)致該沖擊成形機(jī)的工作原理附近的余維2分叉的關(guān)鍵參數(shù)的結(jié)果。改變這些參數(shù)可能會(huì)導(dǎo)致該沖擊成形機(jī)的工作原理附近的余維2分叉的關(guān)鍵參數(shù)的結(jié)果。那里的地圖存在的六宗余維2分岔，即雙重特征值 一個(gè)真正的特征值和復(fù)共軛本征值對同時(shí)逸出單位圓的，或1 ， 2個(gè)復(fù)共軛本征值對的同時(shí)逸出單位圓的，在這里，我們考慮：第一雙特征值的情況下，與然后再考慮在哪一個(gè)共軛復(fù)數(shù)對特征值和實(shí)特征值同時(shí)逃避單位圓的情況。形成沖擊系統(tǒng)，用系統(tǒng)參數(shù)（4）：
?和R = 0.8 ，已被選定為待分析。強(qiáng)迫頻率與間隙之和作為控制參數(shù)，即雅可比矩陣DF（ V， 0 ）的特征值計(jì)算與和 。 DF（ V， 0 ）的所有特征值留在單位圓內(nèi)的 。通過逐步增加和減少從點(diǎn)來改變控制參數(shù)V，我們發(fā)現(xiàn)存在兩個(gè)實(shí)特征值和 ，這是非常接近的點(diǎn)（-1 ，0）的unitncircle ，以及其他的特征值和將仍然留在單位圓內(nèi)的v等于
特征值和逃脫了單位圓的點(diǎn)(1,0) 和通過= 4.436158和 特征值和是約了雅可比矩陣的特征值兩倍Df(v,0)。
數(shù)值分析都進(jìn)行了展開附近的余維2分叉點(diǎn)的影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。從模擬整個(gè)動(dòng)力轉(zhuǎn)換顯示在分岔圖（-圖12 ），用于一系列的值，其中，所述質(zhì)量M2的速度，沖擊后立即顯示與強(qiáng)迫頻率 。人們可以觀察到，從圖，圖12（a ）至（ c）中，該系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定的q = 1/1運(yùn)動(dòng)迫使頻率的兩個(gè)不同的區(qū)域，而第二個(gè)附近發(fā)生的余維2分岔的值。但應(yīng)當(dāng)注意的是，其中q = 1/1運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)的強(qiáng)制頻率的第二區(qū)域很窄，并且消失為隨著增加值 ，強(qiáng)制頻率的區(qū)域變寬一般;見圖。圖12（a ） - （ c）所示。該q = 1/1的運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)于的第一區(qū)域，將發(fā)生超臨界的Hopf bifurcationmwith增加 ;參見圖12，在用q = 1/1運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)的強(qiáng)制頻率的第二區(qū)域，該運(yùn)動(dòng)將發(fā)生期間的增大而迫使頻率分岔，并且q = 2 /2移動(dòng)穩(wěn)定。然后q= 2 /2移動(dòng)的Hopf分岔出現(xiàn)，使系統(tǒng)表現(xiàn)出與q = 2 /2移動(dòng)相關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)周期影響的議案。q= 1/1運(yùn)動(dòng)的過渡過程是在圖1中的放大的局部形式繪出。 12 （a1）中。結(jié)果由無期加倍q= 1/1運(yùn)動(dòng)級聯(lián)發(fā)生時(shí)，附近的余維2分叉點(diǎn)，由于出現(xiàn)q = 2/2運(yùn)動(dòng)的Hopf分岔的模擬表演。此外， q = 1/1運(yùn)動(dòng)亞臨界Hopf分岔，在第二個(gè)窗口中，發(fā)生減少強(qiáng)迫次數(shù) ，和q = 1/1固定點(diǎn)的類型改變，從穩(wěn)定的焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)。有些投影龐加萊'節(jié)繪于圖。 14，15和17。該q = 1/1點(diǎn)，用相應(yīng)的參數(shù)v被取作在每一個(gè)數(shù)值分析的初始點(diǎn)的地圖。我們選擇的間隙 ，改變激振頻率數(shù)值分析。從仿真結(jié)果表明，該系統(tǒng)具有穩(wěn)定的Q = 1/1的議案 。質(zhì)量M2的相位滑動(dòng)肖像和時(shí)間的軌跡示于圖1中。 13倍周期的q = 1/1運(yùn)動(dòng)分叉的發(fā)生是由于瓦特逐漸增加，并且通過 = 4.435578 ，并且系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定的q= 2/2的運(yùn)動(dòng);見圖。圖14（a ）和（b ） 。在q = 2 /2移動(dòng)改變其穩(wěn)定性 > 4.44831 ，并且發(fā)生，使系統(tǒng)表現(xiàn)出與q = 2 /2移動(dòng)相關(guān)的如在圖看出準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的影響q = 2 /2移動(dòng)的Hopf分岔。圖14（c ）和（d ） 。隨著進(jìn)一步增加，鎖相發(fā)生，這樣的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)被鎖定到更高的一個(gè)周期吸引（超過為期）時(shí)期（見圖14 （ e）段） ，隨后變得不穩(wěn)定和混亂;參見圖14條（f ） 。
由于 經(jīng)過 = 4.395411遞減，其中q = 1/1的運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)的亞臨界霍普夫分岔發(fā)生。當(dāng) = 4.3954 ，為q = 1/1運(yùn)動(dòng)的固定點(diǎn)變得不穩(wěn)定焦點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)變到穩(wěn)定的q = 2/3的固定點(diǎn);參見圖15，相平面上的肖像和q = 2/3的運(yùn)動(dòng)時(shí)間軌跡繪制在圖16隨著減少2中，形成影響系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定的多沖擊周期運(yùn)動(dòng)和混沌;見圖。圖17（a ）和（ b）所示。該系統(tǒng)通過一個(gè)動(dòng)態(tài)的演進(jìn)與進(jìn)一步減少 ，其概括為：混沌多沖擊周期運(yùn)動(dòng)，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的影響，穩(wěn)定q = 1/1的運(yùn)動(dòng)，如圖所示。圖17（b ） - （ f）所示。事實(shí)上，這個(gè)過程是q = 1/1通過鎖相運(yùn)動(dòng)混亂Hopf分岔產(chǎn)生不利路線。在固定點(diǎn)的q = 1/1的運(yùn)動(dòng)，在圖中所示。 17 （f）中是穩(wěn)定的焦點(diǎn)。地圖點(diǎn)，從圖中給出的初始映射點(diǎn)。 17 （六） ，會(huì)來的q= 1/1運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)附近逐步顯現(xiàn)。選擇間隙的不同的值和不同的強(qiáng)制頻率 ，我們發(fā)現(xiàn)，在形成沖擊系統(tǒng)具有上述mentioned.S類似的動(dòng)態(tài)行為
7.2 .余維2分叉（二）
形成沖擊系統(tǒng)，用系統(tǒng)參數(shù)：
和R = 0.7，已經(jīng)選擇用于分析。強(qiáng)迫頻率和阻尼比被作為控制參數(shù)，即， DF（ V， 0 ）的特征值計(jì)算與和 。 DF（ V， 0 ）的所有特征值留在單位圓內(nèi)的 通過逐漸增大和降低從點(diǎn)來改變控制參數(shù)v ，我們就可以得到一個(gè)實(shí)特征值和一對復(fù)共軛本征值 。這是非常接近單位圓，第四特征值還停留在單位圓內(nèi)為V等于的特征值和都逃出來了單位圓為 （越來越多）和 （遞減）經(jīng)過 = 5.07452和= 0.0121274 。特征值和幾乎同時(shí)躲避單位圓，所以是約取為余維2分叉的價(jià)值。
形成沖擊系統(tǒng)，附近的余維2分叉點(diǎn)的局部行為，是通過數(shù)值模擬得到。局部分岔設(shè)置接近臨界值繪于圖18，分岔圖顯示在圖一系列的Z值。 19 ，人們可以觀察到，從圖圖19（a ） - （ c）中，該系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定q = 1/1運(yùn)動(dòng)迫使頻率的兩個(gè)不同的區(qū)域，并且其附近存在的余維2分岔的值的第二個(gè)。但應(yīng)注意的是，其中q = 1/1運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)的強(qiáng)制頻率的第二區(qū)域很窄，并且消失為 ，但是，強(qiáng)制頻率的區(qū)域成為一般寬而增大阻尼比參見圖圖19（a ） - （ c）所示。該q = 1/1的運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)于的第一區(qū)域，將經(jīng)過Hopf分岔與增加見圖19 。
在用q = 1/1運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)的強(qiáng)制頻率的第二區(qū)域，該運(yùn)動(dòng)將發(fā)生期間的增大而迫使頻率和q= 2 /2移動(dòng)穩(wěn)定所述分岔。然后q = 2 /2移動(dòng)的Hopf分岔出現(xiàn)，使系統(tǒng)表現(xiàn)出與運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。為q= 1/1運(yùn)動(dòng)的過渡過程是在圖的放大形式在本地繪制。 19 （a1）中。結(jié)果由無期加倍q = 1/1運(yùn)動(dòng)級聯(lián)發(fā)生時(shí)，附近的余維2分叉點(diǎn)，由于出現(xiàn)q = 2/2運(yùn)動(dòng)的Hopf分岔的模擬表演。q = 1/1運(yùn)動(dòng)此外亞臨界Hopf分岔，在第二窗口中，發(fā)生減少強(qiáng)迫頻率所看到的圖。圖19（a ） - （ c）所示，且q = 1/1的固定點(diǎn)的類型被改變時(shí)，
從穩(wěn)定的焦點(diǎn)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。有些投影龐加萊'部分繪于圖21和23 。我們選擇的阻尼比 = 0.012225 ，改變激振頻率數(shù)值分析。從仿真結(jié)果表明，該系統(tǒng)具有穩(wěn)定的q= 1/1運(yùn)動(dòng)與的結(jié)果，見圖。圖19（a ）和圖20 。該q = 1/1的運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷Hopf分支為通過以遞減的方式。在臨界值， DF （,0）的特征值給出如下：
我們可以得出結(jié)論，根據(jù)從模擬相關(guān)的特征值和結(jié)果，那為q = 1/1運(yùn)動(dòng)的亞臨界霍普夫分岔發(fā)生 ，和q = 1/ 1個(gè)固定點(diǎn)改變，從穩(wěn)定的焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn);參見圖21倍周期的q = 1/1運(yùn)動(dòng)分岔時(shí)為逐漸增加，并且通過 ，該系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定的q = 2/2的運(yùn)動(dòng);參見圖圖19（a ） 。該q = 2 /2移動(dòng)改變其穩(wěn)定性為并發(fā)生使該系統(tǒng)具有其中q = 2/2點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的如在圖看出準(zhǔn)周期性沖擊運(yùn)動(dòng)Q = 2/2運(yùn)動(dòng)的Hopf分支。圖22（a ） - （ d）所示。在進(jìn)一步上升，封閉的圈變成準(zhǔn)吸引。準(zhǔn)吸引不變?nèi)Ω俏藞A內(nèi)的地圖點(diǎn)，并為排斥或外面的地圖點(diǎn)。該系統(tǒng)通過準(zhǔn)吸引不變?nèi)α⒖滔萑牖煦邕\(yùn)動(dòng);見圖。 22 （ e）及（ f）條。
該q = 1/1的運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)于的第一區(qū)域，經(jīng)歷Hopf分支為通過c= 4.74017日益如在圖所示。圖23（a ）和（ b）所示。通過鎖相增加 ，準(zhǔn)周期吸引過境混亂;見圖。圖23（c ）和（d ） 。
Kugnetsov [49]認(rèn)為是一個(gè)二維圖，并分析了余維2分叉雙重特征值相關(guān)聯(lián)的地圖。洛[ 50 ]研究了霍普夫翻轉(zhuǎn)余維2分叉三維地圖。局部分岔集和完成的normalform地圖，有兩個(gè)分支相關(guān)聯(lián)的，都在分別說明參考文獻(xiàn)[ 49,50 ]。有兩個(gè)分支相關(guān)聯(lián)的余維2分叉之間的類似行為是存在霍普夫和倍周期固定點(diǎn)的分叉和Hopf分支周期與附近余維二分岔相關(guān)的點(diǎn)，兩個(gè)固定點(diǎn)。形成沖擊系統(tǒng)，近的有兩個(gè)分支相關(guān)聯(lián)的余維2分叉點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)行為，分別符合Kugnetsov和洛杉磯的分析。
我們分析模型比例阻尼在上述路段的一些可能存在的分岔。當(dāng)阻尼干擾，在模型比例阻尼的關(guān)鍵參數(shù)的偏差 ，是專門給，然后強(qiáng)迫頻率不斷（或遞減）發(fā)生變化，我們發(fā)現(xiàn)，通過數(shù)值模擬，該模型也可以表現(xiàn)出類似的動(dòng)態(tài)行為，近相應(yīng)的分岔點(diǎn)。阻尼模型的不屬于
在比例之一，由于偏差 。這意味著，如果發(fā)現(xiàn)為期singleimpact運(yùn)動(dòng)的余維2分岔的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)具有比例阻尼存在，可以肯定的是也存在著相應(yīng)的余維數(shù)在碰撞振動(dòng)系統(tǒng)具有一般線性阻尼2分叉。
8.系統(tǒng)參數(shù)對周期運(yùn)動(dòng)和分岔的影響
這里研究的形成影響系統(tǒng)涉及9系統(tǒng)參數(shù)： 。由于這種相對大量的參數(shù)的每個(gè)參數(shù)對impactforming系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)詳細(xì)的影響在這里就不介紹。然而，這是特別感興趣的，以獲得形成的影響 - 機(jī)系統(tǒng)中的參數(shù)空間中的實(shí)際區(qū)域的動(dòng)力學(xué)的全貌。以系統(tǒng)參數(shù)和R = 0.8為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)，我們分析在周期運(yùn)動(dòng)和分岔系統(tǒng)參數(shù)的影響。這里，在機(jī)械模型阻尼比將不假定為瑞利型的比例阻尼。
在設(shè)計(jì)工具的影響是極大的興趣達(dá)到預(yù)期的周期性沖擊速度。形成沖擊機(jī)的兩個(gè)部件相互碰撞它的工作過程中，使工件快速形式，所以馬上碰撞前的相對碰撞速度 ，是將形成沖擊系統(tǒng)的重要因素。圖。圖24（a ） - （ p）的繪制的分岔圖對于不同的系統(tǒng)參數(shù)的條件下，形成沖擊系統(tǒng)相對于不同的強(qiáng)制頻率的相對碰撞速度。對于相對的分岔圖沖擊速度相對于不等強(qiáng)迫頻率，與標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)，被繪制在圖圖24（a ） 。它被觀察到的，從該圖中，是q = 1/1運(yùn)動(dòng)期間經(jīng)歷的增大而迫使倍頻分岔，并且系統(tǒng)通過倍周期的q = 1/1的軌道級聯(lián)落入混沌運(yùn)動(dòng)。唯一改變的參數(shù)給出了圖。圖24（b ） - （ p）和所有其他的參數(shù)，在圖中的描述沒有給出，都是一樣的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)。短周期的影響是非常重要的加工成形沖擊機(jī)的效率，所以q = 1/1的響應(yīng)窗口的寬度，以在右側(cè)q= 1/1峰值速度有關(guān)，在下面的分析中強(qiáng)調(diào)。變化質(zhì)量分布的影響，通過改變它的值，并再次改變所述強(qiáng)制頻率的影響。作為大規(guī)模毫米的分布增大時(shí)，q= 1/1運(yùn)動(dòng)的相對碰撞速度略有增加，且q = 1/1和1/2的運(yùn)動(dòng)的區(qū)域的收縮和長周期和混沌區(qū)域被擴(kuò)大為在可見圖24 （ b）;
將發(fā)生的q= 1/1運(yùn)動(dòng)Hopf分支為正日益改變。作為大規(guī)模毫米的分布被減小，q = 1/1且q = 1/2的運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)窗口移向更高的頻率，周期倍增q= 1/1運(yùn)動(dòng)分岔發(fā)生增加 。低結(jié)果在低相對碰撞速度和單沖擊周期運(yùn)動(dòng)（圖24 （ c））的放大窗口。作為剛性的分布在一個(gè)增加的方式被改變，形成沖擊系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為基本上類似于在圖24 （一） ，以及對貨幣供應(yīng)量M1的質(zhì)量M2的相對碰撞速度略有下降;參見圖第24（d ） 。低結(jié)果q = 1/1和q = 1/2運(yùn)動(dòng)的窄窗;參見圖24 （ e）所示。剛度的低分布導(dǎo)致大的沖擊速度，而q = 1/1運(yùn)動(dòng)的窗口變窄。很明顯，在q= 1/1的軌道發(fā)生倍周期分岔低例;參見圖24 （ f）段。對于大型 ， q= 1/1的窗口的運(yùn)動(dòng)也變得狹隘和準(zhǔn)周期，其他定期和地區(qū)混沌運(yùn)動(dòng)，被顯著放大，相對沖擊速度明顯減少和q = 1/1的運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷Hopf分岔與增加迫使頻率，如圖所示。第24（g ） 。由于間隙d增加時(shí)，其他的周期，準(zhǔn)周期和混沌運(yùn)動(dòng)的區(qū)域略有縮水，而q = 1/1和1/2的運(yùn)動(dòng)區(qū)域較小;參見圖24 （h）。
人們可以觀察到，從圖24 （ h）中，指沒有碰撞發(fā)生時(shí)，使系統(tǒng)將進(jìn)行簡單的振動(dòng)，并表現(xiàn)為一個(gè)線性系統(tǒng)的范圍內(nèi)強(qiáng)制頻率 。作為間隙的值變得越小，形成沖擊系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為基本上類似于在圖圖24（a ） ;參見圖24（I ） 。增加阻尼比通常導(dǎo)致較低的相對碰撞速度，如圖所示。第24（j ） 。減小阻尼通常導(dǎo)致對M1和單沖擊周期運(yùn)動(dòng)，如圖可見較小的區(qū)域中的質(zhì)量M2的更高的沖擊速度。 24 （ K） 。作為阻尼的分布被增加或減少，該系統(tǒng)表現(xiàn)出類似的行為，在圖圖24（a ） ;見圖24 （ l）及（m） 。增加阻尼引線的相對碰撞速度的明顯增加的分布，減少對應(yīng)的相反的結(jié)果;見圖。第24（n ）及（o ） 。對于較小的R ，相對碰撞速度明顯降低;參見圖24 （ P） 。對于或低值，為或的高值，這可能是q = 1/1的運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷Hopf分岔與增加。對于參數(shù)分布的其他情形時(shí)，q = 1/1的運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷同期間增加了倍周期分岔。此外，在圖24 （b,（e）及（k ）存在的q = 1/1的運(yùn)動(dòng)很窄的窗口。q= 1/1的的運(yùn)動(dòng)，例如窄窗口也已在觀察圖2 ,6,12和前幾節(jié)的19。
高沖擊速度和短沖擊期間是用于提高成形沖擊機(jī)的工作效率的兩個(gè)重要因素。分析上述表明，合適的系統(tǒng)參數(shù)，通常會(huì)導(dǎo)致在兩個(gè)大的相對碰撞速度和更短的期間內(nèi)對單沖擊周期運(yùn)動(dòng)。低和導(dǎo)致q= 1/1的運(yùn)動(dòng)相對碰撞速度的更高的峰值。然而，其結(jié)果是違背低和高 ，和。變異的和，與區(qū)域和相關(guān)聯(lián)的不會(huì)影響的q= 1/1的反應(yīng)明顯的峰值速度。此外，變化不會(huì)明顯影響q = 1/1運(yùn)動(dòng)窗口的寬度。然而，周期性運(yùn)動(dòng)的窗口的寬度是由的變化明顯影響，這是應(yīng)當(dāng)注意，下部強(qiáng)制頻率導(dǎo)致了較長的時(shí)期。大的沖擊速度和短周期是重要的impactforming機(jī)的工作效率，因此q = 1/1的響應(yīng)窗口的寬度，以在右側(cè)q= 1/1的峰值速度的關(guān)聯(lián)，是相當(dāng)大的興趣。系統(tǒng)參數(shù)的選擇接近
和的形成影響系統(tǒng)可以表現(xiàn)出所述q = 1/1的運(yùn)動(dòng)與在強(qiáng)迫的一個(gè)周期相對較大的沖擊速度。該分岔圖，用優(yōu)化參數(shù)相關(guān)聯(lián)，如圖所示：和0.1.系統(tǒng)參數(shù)的有效性是由帶有參數(shù)的一個(gè)例子示出，25，很明顯，兩個(gè)質(zhì)量塊的相對運(yùn)動(dòng)的峰值沖擊速度，其中q = 1/1運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)，顯著地增加。我們可以觀察到，從圖25 ，這為q = 1/1運(yùn)動(dòng)的窗口移向更高的頻率和周期發(fā)生增加倍增q= 1/1運(yùn)動(dòng)分岔，結(jié)果示于圖25表示的，優(yōu)化的參數(shù)導(dǎo)致兩個(gè)高峰值沖擊速度和更短的周期的影響對于q = 1/1的運(yùn)動(dòng)。
9 .結(jié)論
形成沖擊機(jī)的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究，特別關(guān)注到周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性， Hopf分岔非共振和弱共振的情況下，以1:4強(qiáng)共振條件下的次諧波和霍普夫分岔，余維2分叉和混沌運(yùn)動(dòng)等。局部分岔分析和數(shù)值模擬表明，q= 1/1的運(yùn)動(dòng)，在大多數(shù)情況下，經(jīng)過倍周期分岔或Hopf分岔與控制參數(shù)的變化。
在q= 1/1的運(yùn)動(dòng)無論經(jīng)歷次諧波和Hopf分支在1:4強(qiáng)共振條件下，系統(tǒng)表現(xiàn)出相應(yīng)的q = 4 /4或準(zhǔn)周期性影響的議案。觀察感興趣的是，q= p / n運(yùn)動(dòng)的放牧不穩(wěn)定發(fā)生在強(qiáng)共振條件下。一般來說，q=p /n的放牧邊界在運(yùn)動(dòng)期間運(yùn)動(dòng)的新的沖擊或會(huì)出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)期間的影響消失，使q = p / n運(yùn)動(dòng)過渡到q =（p+1）/ n或q =（p- 1 ）/ n的議案。
形成沖擊系統(tǒng)， ofcodimension 2分岔的條件下，可以表現(xiàn)更復(fù)雜的準(zhǔn)周期性沖擊運(yùn)動(dòng)。附近的余維2分岔點(diǎn)存在不僅超臨界Hopf分岔q = 1/1的運(yùn)動(dòng)，也q= 2/2運(yùn)動(dòng)的Hopf分岔。
在設(shè)計(jì)工具的影響是極大的興趣達(dá)到預(yù)期的周期性沖擊速度。為了便于這樣的設(shè)計(jì)，該類型的示意圖示于圖2，6， 12 ， 24和25可能是有用的。全局分岔圖的形成的影響，對系統(tǒng)的改變迫使頻率的相對碰撞速度使實(shí)踐工程師來選擇在其中穩(wěn)定期1單沖擊響應(yīng)可以預(yù)期發(fā)生的激發(fā)的頻率范圍，以及預(yù)測的峰沖擊速度和響應(yīng)這樣的短時(shí)期沖擊。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)選用近并且可以得到 singleimpact周期運(yùn)動(dòng)與兩個(gè)物體的相對較大的沖擊速度。在設(shè)計(jì)和改造的形成沖擊機(jī)，如果某些系統(tǒng)參數(shù)被賦予或限制，其他的參數(shù)，并迫使頻率可以通過穩(wěn)定的周期性影響運(yùn)動(dòng)和分岔分析優(yōu)化，使得在成形沖擊系統(tǒng)表現(xiàn)出穩(wěn)定的時(shí)期一個(gè)單沖擊運(yùn)動(dòng)，更大的沖擊速度和更短的影響期。在圖中所示的機(jī)械模型的動(dòng)力學(xué)分析的方法。 1可以被應(yīng)用到其他振動(dòng)的機(jī)器和設(shè)備，例如，振動(dòng)錘，壓實(shí)和成形機(jī)，慣性振動(dòng)篩，振動(dòng) - 沖擊樁機(jī)和機(jī)械系統(tǒng)具有間隙或縫隙等。
致 謝
作者感謝國家自然科學(xué)基金（ 50475109,10572055 ）和中國甘肅省人民政府自然科學(xué)基金（ 3ZS051 -A25 -030 ， ZS- 031- A25 -007 -Z （重點(diǎn)項(xiàng)目） ）承認(rèn)的支持。
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