有限元分析基礎(chǔ).ppt

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1、有限元分析基礎(chǔ),2010.8,2,內(nèi)容結(jié)構(gòu),第一章 概述,第六章 空間問題的有限單元法,第七章 軸對稱旋轉(zhuǎn)單元,第五章 等參元,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,3,1.1 有限單元法的概念,1.2 有限單元法基本步驟,1.3 工程實(shí)例,第一章 概述,4,第一章 概述,1.1 有限單元法的概念,基本思想:借助于數(shù)學(xué)和力學(xué)知識(shí)，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)而解決工程技術(shù)問題。 Finite Element Method -_FEM Finite Element Analysis,5,第一章 概述,三大類型(按其推導(dǎo)方法分): (1) 直接剛度法(

2、簡稱直接法): 根據(jù)單元的物理意義，建立有關(guān)場變量表示的單元性質(zhì)方程。 (2) 變分法 直接從求解泛函的極值問題入手，把泛函的極植問題規(guī)劃成線性代數(shù)方程組，然后求其近似解的一種計(jì)算方法。 (3) 加權(quán)余量法 直接從控制方程中得到有限單元方程，是一種近似解法。,6,1.2 有限單元法基本步驟,(1) 待求解域離散化 (2) 選擇插值函數(shù) (3) 形成單元性質(zhì)的矩陣方程 (4) 形成整體系統(tǒng)的矩陣方程 (5) 約束處理，求解系統(tǒng)方程 (6) 其它參數(shù)計(jì)算,第一章 概述,7,圖1-2 工程問題有限單元法分析流程,第一章 概述,8,1.3 工程實(shí)例,(a) 鏟運(yùn)機(jī)舉升工況測試,第一章 概述,(b) 鏟

3、運(yùn)機(jī)工作裝置插入工況有限元分析,圖1-3 WJD-1.5型電動(dòng)鏟運(yùn)機(jī),9,第一章 概述,(a) KOMATSU液壓挖掘機(jī) (b) 某液壓挖掘機(jī)動(dòng)臂限元分析 圖1-4 液壓挖掘機(jī),10,圖1-5 駕駛室受側(cè)向力應(yīng)力云圖 圖1-6 接觸問題結(jié)構(gòu)件應(yīng)力云圖,第一章 概述,11,第一章 概述,圖1-7 液壓管路速度場分布云圖 圖1-8 磨片熱應(yīng)力云圖,圖1-9 支架自由振動(dòng)云圖,12,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,2.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性,2.2 結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識(shí),2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束,2.4 自由度計(jì)算公式,13,2.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性,結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞載荷的。如果不計(jì)材

4、料的應(yīng)變，在其受到任意載荷作用時(shí)其形狀和位置沒有發(fā)生剛體位移時(shí)，稱之為幾何不變結(jié)構(gòu)或幾何穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，反之則稱為幾何可變結(jié)構(gòu)或幾何不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。幾何可變結(jié)構(gòu)不能承受和傳遞載荷。對結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何構(gòu)造分析也是能夠?qū)こ探Y(jié)構(gòu)作有限單元法分析的必要條件。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,14,(a) 結(jié)構(gòu)本身可變 (b) 缺少必要的約束條件 (c) 約束匯交于一點(diǎn) 圖2-1 幾何可變結(jié)構(gòu),第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,15,2.2 結(jié)構(gòu)計(jì)算基本知識(shí),2.2.1 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖,實(shí)際結(jié)構(gòu)總是很復(fù)雜的，完全按照結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況進(jìn)行力學(xué)分析是不可能的，也是不必要的，因此在對實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)計(jì)算之前，必須將其作合理的簡化，使之成為

5、既反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)與特點(diǎn)，又便于計(jì)算的幾何圖形。這種被抽象化了的簡單的理想圖形稱之為結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡圖，有時(shí)也稱為結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。 結(jié)構(gòu)計(jì)算所常用的結(jié)點(diǎn)和支座的簡化形式: （1）結(jié)點(diǎn)： 鉸結(jié)點(diǎn)； 剛結(jié)點(diǎn)； 混合結(jié)點(diǎn)。 （2）支座： 活動(dòng)鉸支座； 固定鉸支座 ； 固定支座 ； 定向支座,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,16,2.2.2 結(jié)構(gòu)的分類與基本特征,按結(jié)構(gòu)在空間的位置分 結(jié)構(gòu)可分為平面結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)兩大類 (2) 按結(jié)構(gòu)元件的幾何特征分 桿系結(jié)構(gòu)： 梁、拱、桁架、剛架、桁構(gòu)結(jié)構(gòu)等 。 板殼結(jié)構(gòu) 實(shí)體結(jié)構(gòu)實(shí)體結(jié)構(gòu)的長、寬、高三個(gè)尺寸都很 大，具有同一量級。 混合結(jié)構(gòu),第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,

6、17,(3) 按結(jié)構(gòu)自由度分 靜定結(jié)構(gòu)自由度為零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特征: a. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力可全部由平衡方程式求出，并且解答是唯一的。 b. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力與材料的性質(zhì)和截面特征（幾何尺寸，形狀）無關(guān)。 c. 靜定結(jié)構(gòu)上無外載荷作用時(shí)，其內(nèi)力及支座反力全為零。 d. 若靜定結(jié)構(gòu)在載荷作用下， 結(jié)構(gòu)中的某一部分能不依靠于其它部分， 獨(dú)立地與載荷保持平衡時(shí)，則其它部分的內(nèi)力為零。 e. 當(dāng)將一平衡力系作用于靜定結(jié)構(gòu)的一個(gè)幾何不變部分時(shí)，結(jié)構(gòu)的其余部分都無內(nèi)力產(chǎn)生。 f. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個(gè)內(nèi)部幾何不變部分上的載荷作等效變換時(shí)，其余部分的內(nèi)力不變。 g. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個(gè)內(nèi)部

7、兒何不變部分作構(gòu)造改變時(shí)，其余部分的內(nèi)力不變。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,18,超靜定結(jié)構(gòu)自由度大于零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特性： a. 超靜定結(jié)構(gòu)僅僅滿足靜力平衡條件的解有無窮多個(gè)，但同時(shí)滿足結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件的解僅有一個(gè)。 b. 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支反力不僅與載荷有關(guān)，而且與林料的力學(xué)性能和截面尺寸有關(guān)。 c. 超靜定結(jié)構(gòu)在非載荷因素作用下，如溫度變化、支座沉陷、制造誤差等而產(chǎn)生的位移會(huì)受到多余約束的限制，結(jié)構(gòu)內(nèi)必將產(chǎn)生內(nèi)力。 d. 超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束破壞后，結(jié)構(gòu)仍然保持幾何不變性，因而仍有一定的承載能力， 不致整個(gè)結(jié)構(gòu)遭受破壞。 e. 超靜定結(jié)構(gòu)由于具有多余的約束，因而比相應(yīng)的靜定結(jié)構(gòu)具有

8、較大的剛度和穩(wěn)定性， 在載荷作用下，內(nèi)力分布也較均勻，且內(nèi)力峰值也較靜定結(jié)構(gòu)為小。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,19,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,(1) 具有奇數(shù)跨的剛架 正對稱載荷作用,2.2.3 結(jié)構(gòu)對稱性的利用 對稱結(jié)構(gòu)在正對稱載荷下，對稱軸截面上只能產(chǎn)生正對稱的位移，反對稱的位移為零；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷下，對稱軸截面上只有反對稱的位移，正對稱的位移為零。,(a) 對稱剛架 （b) 變形狀態(tài)分析 (c) 對稱性利用 圖2-22對稱性利用示意圖,20, 對稱剛架承受反對稱載荷作用,(a) 對稱剛架 (b) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性利用 圖2-23 反對稱性利用示意圖,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)

9、造分析,21,(a) 變形狀態(tài)分析 (b) 對稱性利用 圖2-24對稱性利用示意圖,(2) 具有偶數(shù)跨的剛架 正對稱載荷作用,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,22, 反對稱載荷作用,(b) 反對稱性狀態(tài)分析,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,(a) 變形狀態(tài)分析,(c) 反對稱性受力分析 (d) 反對稱性利用 圖2-25對稱性利用示意圖,23,2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束,(1) 自由度 指結(jié)構(gòu)在所在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以獨(dú)立改變的幾何參數(shù)的數(shù)目，也就是確定該結(jié)構(gòu)位置時(shí)所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。 (2) 約束 指減少結(jié)構(gòu)自由度的裝置，即限制結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的裝置。 a. 支座鏈桿的約束 b. 鉸的約束: 單鉸；

10、 復(fù)鉸； 完全鉸與不完全鉸。,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,24,第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析,(1)桁架自由度計(jì)算公式,一個(gè)平面體系的自由度計(jì)算結(jié)果，不外下述三種可能： a. W0 表明結(jié)構(gòu)缺少必要的約束， 可運(yùn)動(dòng)， 故結(jié)構(gòu)必定是幾何可變體系。 b. W=0 表明結(jié)構(gòu)具有保證幾何不變所需的最少的約束數(shù)。 c. W0 表明結(jié)構(gòu)具有多余約束。,2.4 自由度計(jì)算公式,桁架中的結(jié)點(diǎn)數(shù)為j，桿件數(shù)為g，支座鏈桿數(shù)為z，則桁架的自由度W 為,(2) 平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計(jì)算公式,25,3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,3.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣,3.3 坐標(biāo)變換及單元?jiǎng)偠?/p>

11、矩陣,3.4 整體剛度矩陣,3.5 約束處理及求解,3.6 計(jì)算示例,3.7 ANSYS桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,3.8ANSYS剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,26,3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示,工程上許多由金屬構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，如塔式桁構(gòu)支承架、起重機(jī)起重臂架、鋼結(jié)構(gòu)橋梁、鋼結(jié)構(gòu)建筑等可以歸結(jié)為桿系結(jié)構(gòu)。桿系結(jié)構(gòu)按各桿軸線及外力作用線在空間的位置分為平面桿系和空間桿系結(jié)構(gòu)。 桿系結(jié)構(gòu)可以由桿單元、梁單元組成。,(a) Liebherr塔式起重機(jī) (b) Liebherr履帶式起重機(jī),(c) 鋼結(jié)構(gòu)橋梁 (d) 埃菲爾鐵塔 圖3-1 桿系結(jié)構(gòu),第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,27,3.1.1 結(jié)構(gòu)離散化,由于

12、桿系結(jié)構(gòu)本身是由真實(shí)桿件聯(lián)接而成，故離散化比較簡單，一般將桿件或者桿件的一段( 一根桿又分為幾個(gè)單元 )作為一個(gè)單元，桿件與桿件相連接的交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。 桿系結(jié)構(gòu)的離散化的要點(diǎn)可參考如下： a. 桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、自由端、集中載荷作用點(diǎn)、支承點(diǎn)以及沿桿長截面突變處等均可設(shè)置成結(jié)點(diǎn)。這些結(jié)點(diǎn)都是根據(jù)結(jié)構(gòu)本身特點(diǎn)來確定的。 b. 結(jié)構(gòu)中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)間的每一個(gè)等截面直桿可以設(shè)置為一個(gè)單元。 變換為作用在結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)載荷。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,28,c. 變截面桿件可分段處理成多個(gè)單元，取各段中點(diǎn)處的截面近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿進(jìn)行計(jì)算。 d. 對曲桿組成的結(jié)構(gòu)，可

13、用多段折線代替，每端折線為一個(gè)單元。如若提高計(jì)算精度，也可以在桿件中間增加結(jié)點(diǎn)。 e. 在有限元法計(jì)算中，載荷作用到結(jié)點(diǎn)上。當(dāng)結(jié)構(gòu)有非結(jié)點(diǎn)載荷作用時(shí)，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,(a) 結(jié)點(diǎn)載荷處理方式 (b) 等效結(jié)點(diǎn)載荷處理方式 圖3-2桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖,29,3.1.2 坐標(biāo)系,圖3-3 坐標(biāo)系示意圖,為了建立結(jié)構(gòu)的平衡條件，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析，尚需要建立一個(gè)對每個(gè)單元都適用的統(tǒng)一坐標(biāo)系，即結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系或稱之為整體坐標(biāo)系、總體坐標(biāo)系。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,30,3.1.3 向量表示,在有限單元法中力學(xué)向量的規(guī)定為：當(dāng)線位移及相應(yīng)力

14、與坐標(biāo)軸方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)；轉(zhuǎn)角位移和力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標(biāo)軸正向相一致時(shí)為正。對于任意方向的力學(xué)向量，應(yīng)分解為沿坐標(biāo)軸方向的分量。,剛架結(jié)構(gòu)示意圖 (b) 結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力分向量 圖3-4 平面剛架分析示意圖,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,31,結(jié)點(diǎn)位移列向量為,單元e結(jié)點(diǎn)位移列向量為,結(jié)點(diǎn)力向量為,單元e結(jié)點(diǎn)力列向量為,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,32,3.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣,3.2.1 軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù),有限單元法分析中，雖然對不同結(jié)構(gòu)可能會(huì)采取不同的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構(gòu)建的位移函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的性能、能否真

15、實(shí)反映真實(shí)結(jié)構(gòu)的位移分布規(guī)律等，直接影響計(jì)算結(jié)果的真實(shí)性、計(jì)算精度及解的收斂性。 為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下列要求: a. 單元位移函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度數(shù)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。至于高次項(xiàng)要選取多少項(xiàng)，則應(yīng)視單元的類型而定。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,33,由單元結(jié)點(diǎn)位移，確定待定系數(shù)項(xiàng) 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 所以 用結(jié)點(diǎn)位移表示 其中 、 分別表示當(dāng) ， 時(shí)； ， 時(shí)的單元內(nèi)的軸向位移狀態(tài)，故稱為軸向位移形函數(shù)。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)當(dāng)全部包含在位移函數(shù)中。 c. 單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在

16、單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰單元之間的位移協(xié)調(diào)性。,34,3.2.2 梁單元平面彎曲的位移函數(shù) 梁單元平面彎曲僅考慮結(jié)點(diǎn)的四個(gè)位移分量 ， ， ， ，由材料力學(xué)知,各截面的轉(zhuǎn)角: 故梁單元平面彎曲的位移表達(dá)式可分為僅包含四個(gè)待定系數(shù) ， ， ， 的多項(xiàng)式 單元結(jié)點(diǎn)位移條件 當(dāng) 時(shí) ， 當(dāng) 時(shí) ，,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,35,稱為形函數(shù)矩陣。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,36,3.2.3 單元的應(yīng)力應(yīng)變 在彈性范圍內(nèi)，并且不考慮剪力的影響時(shí)，平面剛架單元內(nèi)任一點(diǎn)的軸向線應(yīng)變由兩部分組成，即軸向應(yīng)變與彎曲應(yīng)變之和，其軸向應(yīng)變與平面桁架軸向應(yīng)變相同。 軸向應(yīng)變?yōu)?彎曲應(yīng)變?yōu)?y為梁

17、單元任意截面上任意點(diǎn)至中性軸 (x軸)的距離。 得出平面剛架單元應(yīng)變,圖3-5 彎曲應(yīng)變計(jì)算示意圖,則,平面剛架梁單元的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,37,3.2.4 平面剛架梁單元的剛度矩陣 梁單元的i，j結(jié)點(diǎn)發(fā)生虛位移為,單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為,由虛功原理有,由于結(jié)點(diǎn)虛位移 的任意性，故上式可寫成,上式稱為局部坐標(biāo)下的平面剛架單元的剛度方程，簡稱為單剛。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,38,橫截面積A 橫截面對形心軸z的靜矩S 橫截面對主慣性軸z的慣性矩I 得到四個(gè)3 3子塊所組成的局部坐標(biāo)系下的平面剛架梁單元的單元?jiǎng)偠染仃嚒?第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限

18、單元法,39,平面桁架的單元?jiǎng)偠染仃嚍?空間桁架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有3個(gè)位移分量，其單元結(jié)點(diǎn)位移列向量,空間桁架局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀?6的,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,40,空間剛架單元每個(gè)結(jié)點(diǎn)有6個(gè)位移分量，其單元結(jié)點(diǎn)位移列向量,空間剛架局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囀?212的。,(a) 桿單元i端產(chǎn)生單位位移 (b) 桿單元j端產(chǎn)生單位位移 圖3-6 平面桁架單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義,(a) 梁單元i端產(chǎn)生單位位移 (b) 梁單元j端產(chǎn)生單位位移,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,41,(c) 梁單元i端產(chǎn)生單位角位移 (d) 梁單元j端產(chǎn)生單位角位移 圖3-7 平面剛架單元?jiǎng)偠认?/p>

19、數(shù)的物理意義,3.2.5 單元的剛度矩陣的性質(zhì) a. 單元?jiǎng)偠染仃噧H與單元的幾何特征和材料性質(zhì)有關(guān)。僅與單元的橫截面積A、慣性矩I、單元長度l、單元的彈性模量E有關(guān)。 b. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對稱陣。在單元?jiǎng)偠染仃噷蔷€兩側(cè)對稱位置上的兩個(gè)元素?cái)?shù)值相等，即，根據(jù)是反力互等定理。 c. 單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)奇異陣。 d. 單元?jiǎng)偠染仃嚳梢苑謮K矩陣的形式表示。具有確定的物理意義。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,42,3.3 坐標(biāo)變換及單元?jiǎng)偠染仃?3.3.1 坐標(biāo)變換 在整體坐標(biāo)系中單元結(jié)點(diǎn)力向量和結(jié)點(diǎn)位移列向量 可分別表示成,(a) 向量轉(zhuǎn)換分析 (b) 向量轉(zhuǎn)換 圖3-8 向量轉(zhuǎn)換示意圖

20、,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,43,對于梁單元如圖3-8(b)所示，則有,可簡寫為,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,44,同理,式中 平面剛架梁單元的從局部坐標(biāo)系向整體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。,3.3.2 整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?式中 整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚒?和 一樣， 為對稱陣、奇異陣。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,45,3.4 整體剛度矩陣,3.4.1 整體剛度矩陣的建立 整體剛度矩陣也稱之為結(jié)構(gòu)剛度矩陣或總體剛度 矩陣，簡稱總剛。 整體剛度矩陣的求解是建立在結(jié)構(gòu) 平衡條件的基礎(chǔ)之上， 因此研究對象以整體坐標(biāo)系為 依據(jù)。,圖3-9 載荷向量示意圖,如右圖所示剛架

21、結(jié)構(gòu)，其結(jié)點(diǎn)載荷列向量分別為,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,46,結(jié)構(gòu)載荷列向量,結(jié)點(diǎn)位移列向量,建立結(jié)點(diǎn)平衡條件方程式如右表。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,47,用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,48,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,49,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,50,單元?jiǎng)偠染仃囉?2的子矩陣組成， 每個(gè)子矩陣是33的方陣。 的上角標(biāo)表示單元編號(hào)，下角標(biāo)表示單元j端單位位移所引起的i端相應(yīng)力。 將桿端內(nèi)力與結(jié)點(diǎn)位移關(guān)系式代入結(jié)點(diǎn)的平衡條件方程式中，經(jīng)整理得：,簡寫為,稱之為結(jié)構(gòu)原始平衡方程。其中,

22、為整體剛度矩 陣。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,51,3.4.2 整體剛度矩陣的集成 整體剛度矩陣是由在整體坐標(biāo)系下，矩陣按照結(jié)點(diǎn)編號(hào)的順序組成的行和列的原則，將全部單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)展成nn方陣后對號(hào)入座疊加得到。,對于單元1,對于單元2,對于單元3,單元?jiǎng)偠染仃嚰傻贸稣w剛度矩陣,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,52,3.4.3 整體剛度矩陣的性質(zhì) 整體剛度矩陣 中位于主對角線上的子塊 ，稱為主子塊，其余 為副子塊。 a. 中主子塊 由結(jié)點(diǎn)i的各相關(guān)單元的主子塊擴(kuò)展之后疊加求得，即 b. 當(dāng)結(jié)點(diǎn)i、 j為單元e的相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊 為該單元e相應(yīng)的副子塊，即 。 c. 當(dāng)

23、結(jié)點(diǎn)i、 j為非相關(guān)結(jié)點(diǎn)時(shí)， 中副子塊 為零子塊，即 。 d. 僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有關(guān)。 e. 為對稱方陣， f. 為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因?yàn)榻⒄w剛度矩陣時(shí)沒有考慮結(jié)構(gòu)的邊界約束條件。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,53,g. 為稀疏矩陣，整體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū)域的寬度與結(jié)點(diǎn)編號(hào)有關(guān)，非零元素分布在以對角線為中心的帶狀區(qū)域內(nèi)，稱為帶狀分布規(guī)律，見圖3-10(a)。在包括對角線元素在內(nèi)的區(qū)域中，每行所具有的元素個(gè)數(shù)叫做把半帶寬，以d表示。 最大半帶寬等于相鄰結(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值加 1 與結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)的乘積，結(jié)點(diǎn)號(hào)差越大半帶寬也就越大。計(jì)算

24、機(jī)以半帶寬方式存儲(chǔ)，見圖3-10(b)。半帶寬越窄，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運(yùn)算次數(shù)。其效果對大型結(jié)構(gòu)顯得尤為突出。 圖3-10 整體剛度矩陣存儲(chǔ)方法 h. 整體剛度矩陣稀疏陣。 故整體剛度矩陣不能求逆，必須作約束處理方能正確地將結(jié)點(diǎn)位移求出，進(jìn)而求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場。,(a) 帶狀分布規(guī)律,(b) 帶狀存儲(chǔ),第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,54,3.5 約束處理及求解,3.5.1 約束處理的必要性 建立結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 時(shí)，并未考慮支承條件（約束），也就是說，將原始結(jié)構(gòu)處理成一個(gè)自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結(jié)構(gòu)。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解。

25、可以參照第 2 章的原則，結(jié)合實(shí)際工程結(jié)構(gòu)引入支承條件，即對結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 做約束處理。 約束處理后的方程稱為基本平衡方程。 統(tǒng)一記為,3.5.2 約束處理方法 約束處理常用方法有填0置1法和乘大數(shù)法。采用這兩種方法不會(huì)破壞整體剛度矩陣的對稱性、稀疏性及帶狀分布等特性。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,55,下面以圖3-11所示剛架結(jié)構(gòu)為例，解釋如何進(jìn)行約束處理。對于下圖所示剛架結(jié)構(gòu),設(shè)結(jié)點(diǎn)位移列向量為 設(shè)結(jié)點(diǎn)載荷列向量為,固定支座 (b) 支座強(qiáng)迫位移已知 圖3-11 結(jié)構(gòu)約束,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,56,其原始平衡方程式為,按照每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移分量將上式展開為,第三

26、章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,57,對于如圖3-11(a)所示，結(jié)構(gòu)約束（支座）位移全部為零，此時(shí)做約束處理時(shí)，采用填0置1法比較適宜。 對于如圖3-11(b)所示，某約束（支座）位移為給定的強(qiáng)迫值，此時(shí)做約束處理時(shí)，采用乘大數(shù)法比較適宜。 (1) 填0置1法 如右圖所示結(jié)點(diǎn)1、3處為固定支座，可知 將整體剛度矩陣中與之相對應(yīng)的主對角元素全部置換成1， 相應(yīng)行和列上的其它元素均改為0。 同時(shí)，所在同一行上的載荷分量替換成0，則有,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,58,則,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,也可簡便地采用劃行劃列的辦法。在整體剛度矩陣中將與約束位移為 0 的行和列劃

27、掉，包括相關(guān)的所在行的位移和載荷向量。,59,處理后得基本平衡方程 (2) 乘大數(shù)法 右圖所示剛架，結(jié)點(diǎn)1為固定支座，結(jié)點(diǎn)3處在方向的約束為已知強(qiáng)迫位移。即 將整體剛度矩陣中與之相對應(yīng)的主對角元素全部乘以一個(gè)大數(shù)N，一般取 。同時(shí)，將相應(yīng)同一行上的載荷分量替換成 N 乘以其主對角剛度系數(shù)和給定的強(qiáng)迫位移（包括零位移）。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,60,得到,由于N 足夠大，可以近似認(rèn)為,則得出,同時(shí)得到,求出位移 之后，即可以求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場 。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,61,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,用有限單元法計(jì)算空間剛架結(jié)構(gòu)，在原理上及推導(dǎo)過程與計(jì)算

28、平面剛架結(jié)構(gòu)相同。在此不再重復(fù)。但應(yīng)注意到，由于空間的每一結(jié)點(diǎn)一般具有六個(gè)自由度，故計(jì)算較之復(fù)雜些。,3.6 計(jì)算示例 設(shè)兩桿的桿長和截面尺寸相同，,桿件長 m。,圖3-12 剛架受力簡圖,62,結(jié)構(gòu)離散化后 將結(jié)構(gòu)劃分為4個(gè)結(jié)點(diǎn)、3個(gè)單元,截面積,，慣性矩,(2) 求結(jié)點(diǎn)載荷 首先須求局部坐標(biāo)系中固定端內(nèi)力,(a) 單元1作為兩端固定梁反力示意圖 (b) 單元2作為兩端固定梁反力示意圖 圖3-13內(nèi)力示意圖,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,63,單元1,單元2,在局部坐標(biāo)系下單元載荷列向量,單元1,單元2,單元3,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,64,為了求出在整體坐標(biāo)下的載荷列

29、向量，先求單元得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,單元1、2,單元3,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,65,求各單元在整體坐標(biāo)下的等效結(jié)點(diǎn)載荷,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,66,求剛架的等效結(jié)點(diǎn)載荷,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,67,因?yàn)闊o結(jié)點(diǎn)載荷作用，總結(jié)點(diǎn)載荷即為等效結(jié)點(diǎn)載荷。,(3) 求單元?jiǎng)偠染仃?由于單元1、2、3的尺寸相同，材料彈性模量相同，故,梁單元的局部坐標(biāo)下的剛度矩陣表達(dá)式,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,68,則,（4）求整體坐標(biāo)系中的,單元1,單元2,單元3,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,69,（5）求結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣,利用剛度集成法,（6）建立原始平

30、衡方程式,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,70,（7）引入約束條件解方程組,由于1、3、4為固定端， 修改整體剛度矩陣中的13，612行與列， 以及載荷列向量中的相應(yīng)的行，既約束處理。,建立基本平衡方程,即,得到,（8）求各桿的桿端力,單元3結(jié)點(diǎn)位移列向量,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,71,單元1桿端內(nèi)力計(jì)算,單元2桿端內(nèi)力計(jì)算,單元3桿端力計(jì)算,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,72,（9）作內(nèi)力圖,（a） 剛架軸力圖,（b） 剛架剪力圖,（c） 剛架軸彎矩圖 圖3-14 剛架內(nèi)力圖,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,73,3.7 ANSYS桁架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,=1m;

31、,=1m; 材料為Q235;,（1）選擇單元類型,運(yùn)行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete,在結(jié)點(diǎn)8上施加豎直向下的集中載荷F60000N， 約束為結(jié)點(diǎn)1處約束X,Y方向自由度，結(jié)點(diǎn)5處約束Y方向自由度。,圖3-15 桁架結(jié)構(gòu)示意圖 圖3-16 桁架各單元橫截面圖,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,圖3-17 單元類型對話框,74,圖3-18 單元類型庫對話框,（2）設(shè)置材料屬性,運(yùn)行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models,圖3-19選擇材料屬性對話框 圖3-20設(shè)置材料1屬性對話,（3）設(shè)置單元截面形式

32、,選擇菜單PreprocessorSectionsBeamCommon Sections,圖3-21梁截面設(shè)置對話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,75,（4）定義實(shí)常數(shù),運(yùn)行Real ConstantsAdd/Edit/Delete,圖3-22 設(shè)置LINK1單元的實(shí)常數(shù),（5）建立模型,首先生成結(jié)點(diǎn)，運(yùn)行主菜單PreprocessorModeling Create Nodes In Active CS; 再生成單元，運(yùn)行主菜單 PreprocessorModelingCreateElementsAuto NumberedThru Nodes穿越結(jié)點(diǎn)命令。,圖3-23 創(chuàng)建結(jié)點(diǎn)對話框

33、,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,76,圖3-24通過結(jié)點(diǎn)建立單元,圖3-25 桁架的有限元模型,（6）施加約束,運(yùn)行主菜單SolutionDefine Loads ApplyStructuralDisplacementOn Nodes,圖3-26 結(jié)點(diǎn)施加約束對話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,77,（7）施加載荷 運(yùn)行主菜單SolutionDefine LoadsApplyStructural Force/MomentOn Nodes。,圖3-27 結(jié)點(diǎn)施加載荷對話框,（8）求解 運(yùn)行主菜單 Solution SolveCurrent LS，分析當(dāng)前的負(fù)載步驟命令， 彈出如

34、圖3-28所示對話框，單擊OK，開始運(yùn)行分析。分析完畢后， 在信息窗口中提示計(jì)算完成， 單擊Close將其關(guān)閉。,（9）后處理 運(yùn)行主菜單 General PostprocPlot Results Contour PlotNodal Solu命令，運(yùn)行DOF Solution Displacement vector sum，出現(xiàn)桁架軸向應(yīng)力云圖。,圖3-29 云圖顯示對話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,圖3-28 求解對話框,78,圖3-30 位移云圖,選擇Stressvon Mises stress，則出現(xiàn)桁架位移云圖,圖3-31 云圖顯示對話框,圖3-32 軸向應(yīng)力云圖,桁架的位

35、移云圖可知，最大位移發(fā)生在桁架的中部，最大位移為 m。 桁架的軸向應(yīng)力云圖可知，最大應(yīng)力發(fā)生在2單元。最大應(yīng)力45.9MPa。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,79,3.8 ANSYS剛架結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,圖3-33 剛架示意圖,約束形式為：A、D點(diǎn)施加全約束。在BC梁中點(diǎn)處受到豎直向下集中載荷的作用F1=20000N， AB柱的中點(diǎn)處受水平向右的集中載荷 F2=10000N；AB2m， BC2m，材料為鋼材，彈性模量E=2.11011Pa，泊松比=0.3。,（1）選擇分析范疇,圖3-34選擇分析范疇對話框,在主菜單中單擊Preferences菜單， 彈出Preferences for GU

36、I Filtering窗口， 選擇Structural， 然后單擊OK按鈕。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,80,（2）選擇單元類型 運(yùn)行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete， 彈出Element Types對話框，選擇BEAM188單元。,圖3-35 單元類型對話框,圖3-36 單元類型庫對話框,（3）設(shè)置單元截面形式 運(yùn)行PreprocessorSectionBeamCommon Sections，彈出 Beam Tool 對話框，W1選項(xiàng)欄中填寫0.1，W2選項(xiàng)欄中填寫0.2，t1t4中填寫0.008。 設(shè)置完畢單擊OK按鈕。,圖3-37

37、 梁截面設(shè)置對話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,81,（4）設(shè)置材料屬性 運(yùn)行PreprocessorMaterial Props Material Models，彈出Define Material Model Behavior對話框。雙擊Isotropic選項(xiàng)，彈出Linear Isotropic Properties for Material Number1對話框，在EX選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值2.1e11，在PRXY選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值0.3。設(shè)置完畢單擊OK按鈕。,圖3-38 選擇材料屬性對話框,圖3-39 設(shè)置材料屬性對話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,82,（5）建立模型

38、設(shè)置材料屬性對話框運(yùn)行PreprocessorModelingCreateKeypointsIn Active CS。創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)1，在NPT選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值1， 表示設(shè)置的關(guān)鍵點(diǎn)號(hào)為1，在X,Y,Z欄中設(shè)置數(shù)值0，0，0，表示關(guān)鍵點(diǎn)1的坐標(biāo)為：（0,0,0）。同理設(shè)置關(guān)鍵點(diǎn)2，3，4。坐標(biāo)分別為（0,2,0），（2,2,0），（2,0,0）。 運(yùn)行PreprocessorModelingCreate LinesLinesStraight Line， 彈出Create Straight Line 對話框。 分別拾取點(diǎn) 1-2, 3-4,2-3。并經(jīng)過布爾運(yùn)算將兩直線相加。,圖3-40 創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)

39、對話框,圖3-41 創(chuàng)建直線對話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,83,圖3-42 剛架模型,（6）劃分網(wǎng)格 選擇剛架的單元屬性，運(yùn)行Preprocessor MeshingMesh AttributesPicked lines，彈出Line Attributes對話框。拾取剛架后彈出Meshing Attributes對話框，采取默認(rèn)設(shè)置。 點(diǎn)擊OK。,圖3-43 劃分網(wǎng)格拾 取線對話框,圖3-44設(shè)置網(wǎng)格單元屬性,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,84,選擇 PreprocessorMeshingSize Cntrls Manual Size LinesPicked Lines

40、，選擇剛架，彈出對話框。在NDIV一欄中輸入30，單擊OK。最后在Mesh Tool中自由劃分網(wǎng)格。,圖3-45 定義單元尺寸拾取線對話框,圖3-46 設(shè)置線上單元尺寸對話框,（7）施加約束 運(yùn)行 Solutiondefine Loads ApplyStructure Displacement On Keypoints，選擇關(guān)鍵點(diǎn)1，選擇ALL DOF。同理對關(guān)鍵點(diǎn)4進(jìn)行全約束。,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,85,圖3-47 對關(guān)鍵點(diǎn)施加全約束,（8）施加載荷。 將圖形結(jié)點(diǎn)顯示，運(yùn)行PlotCtrlsNumbering，激活Node Numbers后面的選框，使它變成on形式。選擇菜

41、單SolutionDefine LoadsApplyStructure Force/ MomentOn Nodes。拾取結(jié)點(diǎn)17，施加集中載 荷Fy=-20000N。 同理，在結(jié)點(diǎn)7上施加集中載荷Fx=10000N。,圖3-48 編號(hào)顯示設(shè)置對話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,86,圖3-49 拾取點(diǎn)對話框 圖3-50 施加約束、載荷后的剛架有限元模型,（9）求解 選擇 SolutionSolveCurrent LS，彈出如右圖所示對話框，單擊OK按鈕，開始計(jì)算。計(jì)算結(jié)束會(huì)彈出計(jì)算完畢對話框，單擊Close關(guān)閉對話框，計(jì)算完畢。,圖3-51 求解對話框,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限

42、單元法,87,（10）后處理 顯示位移云圖：運(yùn)行 General PostprocPlot Results Contour PlotNodal Solu。 彈出如下圖所示對話框，運(yùn)行DOF SolutionDisplacement vector sum顯示剛架位移云圖。,圖3-52 云圖顯示對話框 圖3-53 剛架的位移云圖,第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法,88,4.1 平面應(yīng)力問題,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,4.2 平面應(yīng)變問題,4.3 平面問題的離散化,4.4 平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元,4.5 ANSYS平面結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,89,嚴(yán)格地說，任何彈性體都是處于三維受力狀態(tài)，因而都是空

43、間問題，但是在一定條件下，許多空間問 題都可以簡化成平面問題。 平面問題可以分為兩類：平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。,圖4-1 平面問題應(yīng)力狀態(tài),第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,90,4.1 平面應(yīng)力問題,圖4-2(a) 平面應(yīng)力問題,如圖所示的深梁結(jié)構(gòu)，其厚度方向的尺寸遠(yuǎn)比其它兩個(gè)方向的尺寸小得多，可視為一薄板。它只承受作用在其平面內(nèi)的載荷，且沿厚度方向不變，計(jì)算時(shí)以中性面為研究對象。其力學(xué)特點(diǎn)是：,平面應(yīng)力問題的應(yīng)力應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣即彈性矩陣為：,。,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,91,圖4-2(b) 平面應(yīng)變問題,4.2 平面應(yīng)變問題,圖示為一圓形涵洞的橫截面。其長度方向上的尺寸遠(yuǎn)比其它

44、兩個(gè)方向上的尺寸大得多，同樣，載荷作用在xy坐標(biāo)面內(nèi)，且沿z軸方向均 勻分布。其力學(xué)特點(diǎn)是：,但一般情況下,平面應(yīng)變問題的彈性矩陣只需將式(4-1)中的E換成,換成,，,即可。,。,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,92,無論是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題的應(yīng)力,與 應(yīng)變,之間的關(guān)系均為：,，其中：,為初應(yīng)變。,式中,4.3 平面問題的離散化,(a) 三結(jié)點(diǎn)三角形單元 (b) 四結(jié)點(diǎn)正方形單元 (c) 四結(jié)點(diǎn)矩形單元 (d) 四結(jié)點(diǎn)四邊形單元,圖4-3 平面問題單元的主要類型,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,93,圖4-4(a)表示的是帶有橢圓孔的平板，在均勻壓力作用下的應(yīng)力集中問題。圖4-

45、5(b)是利用結(jié)構(gòu)的對稱性，采用三結(jié)點(diǎn)三角形單元而離散后的力學(xué)模型，各單元之間以結(jié)點(diǎn)相連。,(a) 均勻受力板力學(xué)模型 (b) 力學(xué)模型離散化,圖4-4 平面問題有限單元法的計(jì)算力學(xué)模型,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,94,4.4 平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元,4.1.1 位移函數(shù),圖4-5 三角形單元,如果把彈性體離散成為有限個(gè)單元體，而且單元很小時(shí)，就很容易利用其結(jié)點(diǎn)的位移，構(gòu)造出單元的位移插值函數(shù)，即位移函數(shù)。,位移函數(shù)矩陣形式：,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,95,簡寫為：,由于位移函數(shù)適用于單元中的任意一點(diǎn)，所以帶入3個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)后，得出結(jié)點(diǎn)處位移函數(shù)為,簡寫為：,第四章 平面結(jié)構(gòu)問

46、題的有限單元法,96,解出,其中，,是三角形單元的面積，當(dāng)三角形單元結(jié)點(diǎn)i、j、m按逆時(shí)針次序排列時(shí)，則有,4.4.2 形函數(shù)矩陣,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,97,其中記號(hào),表示將i、j、m進(jìn)行輪換后，可得出另外兩組帶腳標(biāo)的a、b、c的公式。,單元位移函數(shù)為結(jié)點(diǎn)位移的插值函數(shù)，即,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,(4-9),98,令,在式(4-10)中表示的 稱為形函數(shù)，于是位移函數(shù)表達(dá)式用形函數(shù)表示為：,(4-10),(4-11),寫成矩陣形式,(4-12),第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,99,由幾何方程知,將式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏導(dǎo)數(shù)，得,(4-13),4.

47、4.3 單元的應(yīng)力與應(yīng)變,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,100,簡寫為：,(4-14),由于B是常量，單元內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變分量也都是常量，這是由于采用了線性位移函數(shù)的緣故，這種單元稱為常應(yīng)變?nèi)切螁卧?(4-15),第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,101,由彈性力學(xué)的物理方程可知，其應(yīng)力與應(yīng)變有如下關(guān)系：,(4-16),將式(4-14)代入式(4-16)，得,(4-17),式中,(4-18),S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，對平面應(yīng)力問題，其子矩陣為,(4-19),由式(4-17)看出，應(yīng)力分量也是一個(gè)常量。在一個(gè)三角形單元中各點(diǎn)應(yīng)力相同，一般用形心一點(diǎn)表示。其應(yīng)變也可同樣表示。,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的

48、有限單元法,102,用虛功原理來建立結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系式，從而得出三角形單元的剛度矩陣。,(a) 實(shí)際力系 (b) 虛設(shè)位移,圖4-6 彈性體虛功原理的應(yīng)用,4.4.4 三角形單元?jiǎng)偠染仃?第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,103,結(jié)點(diǎn)力列向量和應(yīng)力列向量分別為,結(jié)點(diǎn)虛位移列向量和虛應(yīng)變列向量為,用虛功原理建立三角形單元的虛功方程為,由式(4-12)式知,，,代入式(4-20)得,(4-20),第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,104,由于虛位移是任意的，等號(hào)兩邊可左乘,，得,(4-21),三角形單元的剛度矩陣可寫成,(4-22),用分塊矩陣形式表示,(4-23),第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的

49、有限單元法,105,結(jié)構(gòu)的平衡條件可用所有結(jié)點(diǎn)的平衡條件表示。假定i 結(jié)點(diǎn)為結(jié)構(gòu)中的任一公共結(jié)點(diǎn)，則該結(jié)點(diǎn)平衡條件為：,i 結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力列向量,圍繞i結(jié)點(diǎn)所有單元的結(jié)點(diǎn)力的向量和,i結(jié)點(diǎn)的載荷列向量。,4.4.5 整體剛度矩陣,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,106,每個(gè)結(jié)點(diǎn)由兩個(gè)平衡方程組成，若結(jié)構(gòu)共有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，則有2n個(gè)平衡方程。整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡條件由式(4-24)求和得到，即：,i1，2，n,(4-26),(4-27),其中，K為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣； 為結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移列向量。,(4-28),第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,107,將式(4-26)、式(4-27)代入式(4-25)中得,(

50、4-29),整體剛度矩陣也可按結(jié)點(diǎn)寫成分塊矩陣的形式：,(4-30),同桿系結(jié)構(gòu)一樣，整體剛度方程經(jīng)過約束處理后，即可求出結(jié)點(diǎn)位移，進(jìn)而求出所希望的應(yīng)力場。,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,108,4.5 ANSYS平面結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,4.5.1問題描述,如圖4-7所示長方形板ABCD，板厚0.04m，孔半徑r=0.2m，E=210GPa，泊松比=0.3，約束條件：在長方形底邊AD約束全部自由度, BC邊施加垂直向下均布載荷g=10000000N/m。,圖4-7 長方形板結(jié)構(gòu),4.5.2 ANSYS求解操作過程,打開Ansys軟件，在Ansys環(huán)境下做如下操作。,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元

51、法,109,圖4-8 單元類型對話框,（1）選擇單元類型 運(yùn)行PreprocessorElement TypeAdd/Edit/Delete，彈出Element Types對話框，如圖4-8所示。單擊Add，彈出 Library of Element Types窗口，如圖4-9所示，依次選擇Structural Solid，Quad 8 node 82，單擊OK。,圖4-9 單元類型庫對話框,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,110,在Element Types對話框中，如圖4-10所示，單擊Options，彈出如圖4-11所示對話框，設(shè)置K3選項(xiàng)欄為Plane strs w/thk，設(shè)置K5

52、選項(xiàng)欄為Nodal stress，設(shè)置K6選項(xiàng)欄為No extra output。表示單元是應(yīng)用于平面應(yīng)力問題，且單元是有厚度的。,圖4-10 單元類型對話框,圖4-11 PLANE82 單元選項(xiàng)設(shè)置對話框,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,111,（2）定義實(shí)常數(shù) 運(yùn)行PreprocessorReal ConstantsAdd /Edit/Delete，彈出如圖4-12所示對話框，點(diǎn)擊Add，彈出如圖4-13所示對話框，點(diǎn)擊OK，彈出如圖4-14所示對話框，在THK選項(xiàng)欄中設(shè)置板厚度為0.04m。設(shè)置完畢單擊OK按鈕。,圖4-12 實(shí)常數(shù)對話框,圖4-13 選擇要設(shè)置實(shí)常數(shù)的單元類型,圖4-

53、14 PLANE82實(shí)常數(shù)設(shè)置,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,112,（3）設(shè)置材料屬性 運(yùn)行PreprocessorMaterial PropsMaterial Models，彈出如圖4-15所示對話框，依次雙擊Structural，Linear，Elastic，Isotropic，彈出圖4-16所示對話框，在EX選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值 2.1e11，在PRXY選項(xiàng)欄中設(shè)置數(shù)值0.3。設(shè)置完畢單擊OK按 鈕。,圖4-15 選擇材料屬性對話框,圖4-16 設(shè)置材料屬性對話框,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,113,（4）建立模型 運(yùn)行PreprocessorModelingCreateArea

54、RectangleBy 2 Corners，彈出如圖4-17所示對話框，設(shè)置參數(shù)， WP X選項(xiàng)欄中填寫0，WP Y選項(xiàng)欄中填寫0，Width選項(xiàng)欄中填寫1.5，Height選項(xiàng)欄中填寫1，單擊OK。繼續(xù)運(yùn)行PreprocessorModelingCreateAreaCircleSolid Circle，得到如圖4-18所示對話框，在WP X選項(xiàng)欄中填寫0.75，WP Y選項(xiàng)欄中填寫0.5，在Radius選項(xiàng)欄中填寫0.2，設(shè)置完畢點(diǎn)擊OK按鈕。,圖4-17 建立矩形對話框,圖4-18 創(chuàng)建實(shí) 心圓對話框,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,114,進(jìn)行布爾運(yùn)算：PreprocessorMode

55、lingOperateBooleans SubtractAreas，先選矩形面單擊 OK，再單擊圓面，單擊OK。得 到如圖4-19所示圖形。,圖4-19 長方形板模型,（5）劃分網(wǎng)格 運(yùn)行MeshingSize CntrlsManual SizeAreasAll Areas，彈出如圖4-20所示對話框，在SIZE選項(xiàng)欄中填寫0.05，點(diǎn)擊OK按鈕。,圖4-20 設(shè)置網(wǎng)格尺寸對話框,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,115,運(yùn)行MeshMesh Tool，彈出如圖4-21所示對話框，在Shape選項(xiàng)欄后面，選擇Tri和Free，單擊Mesh.劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格劃分如圖4-22所示。,圖4-21 網(wǎng)格

56、劃分對話框,圖4-22 劃分網(wǎng)格后的有限元模型,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,116,圖4-23 施加全約束,（6）施加約束 選擇菜單SolutionDefine LoadsApplyStructure DisplacementOn Lines，選擇長方形底邊，彈出圖4-23所示對話框，選擇All DOF，單 擊OK。,（7）施加載荷 選擇菜單SolutionDefine LoadsApplyStructure PressureOn Lines，彈出如圖4-24所示對話框。拾取長方形上邊，單擊OK按鈕。彈出如圖4-25所示對話框。在VALUE選項(xiàng)欄中填寫10000000。設(shè)置完畢點(diǎn)擊OK完

57、成設(shè)置。,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,117,圖4-24 拾取要施加載荷的邊,圖4-25 施加載荷對話框,（8）求解 運(yùn)行SolutionSolveCurrent LS，彈出如圖4-26所示對話框。單擊OK按鈕，開始計(jì)算，計(jì)算結(jié)束會(huì)彈出計(jì)算完畢對話框，單擊Close關(guān)閉對話框，計(jì)算完畢。,圖4-26 求解當(dāng)前步載荷對話框,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,118,（9）后處理 運(yùn)行 General PostprocPlot ResultsContour Plot Nodal Solu，彈出如圖4-27所示對話框，運(yùn)行DOF SolutionDisplacement vector sum和

58、Stressvon Mises stress，分別顯示長方形面板的位移云圖和應(yīng)力云圖。 結(jié)果顯示如圖4-28和圖4-29所示。,圖4-27 云圖顯示對話框,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,119,圖4-28 位移變形云圖,圖4-29 等效應(yīng)力云圖,4.5.3 結(jié)論,從圖4-28長方形面板的位移云圖可知，最大位移發(fā)生在圓孔的上部，最大位移為0.75010-4m。 從圖4-29長方形面板的應(yīng)力云圖可知，最大應(yīng)力發(fā)生在圓孔的兩側(cè)，最大應(yīng)力為32.9MPa。,第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法,120,5.1坐標(biāo)變換與平面四結(jié)點(diǎn)等參元,第五章 等參元,5.2平面八結(jié)點(diǎn)等參單元,5.3單元?jiǎng)偠染仃?5.

59、4 ANSYS等參元計(jì)算示例,121,5.1 坐標(biāo)變換與平面四結(jié)點(diǎn)等參元,圖5-1(a)為一個(gè)任意四邊形單元，稱為實(shí)際單元。在實(shí)際單元內(nèi)以對邊的中點(diǎn)連線建立起一個(gè)局部坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換把實(shí)際單元“映射”為如圖5-1(b)所示的一個(gè)正方形，此坐標(biāo)系稱為單元的自然坐標(biāo)系或等參數(shù)坐標(biāo)系，正方形稱為基本單元，基本單元內(nèi)任一 點(diǎn)P( ， )與實(shí)際單元內(nèi)的一點(diǎn)P(x，y)唯一對應(yīng)。,(a) 直角坐標(biāo)系與實(shí)際單元 (b) 自然坐標(biāo)系與基本單元,圖5-1 四結(jié)點(diǎn)等參單元,第五章 等參元,122,實(shí)際單元與基本單元的對應(yīng)關(guān)系可寫為,或,其中,用同樣的形狀函數(shù)來插值單元內(nèi)任意一點(diǎn)(x, y)的位移,(5-1),

60、(5-2),第五章 等參元,123,為此單元的結(jié)點(diǎn)位移列向量， 為形狀函數(shù)矩陣。這里采用了同樣的形狀函數(shù)式(5-2)，用同樣的結(jié)點(diǎn)插值函數(shù)表示出單元的幾何坐標(biāo)x、y與u、v，這種單元稱為等參單元。,(5-3),即：,第五章 等參元,124,5.2 平面八結(jié)點(diǎn)等參元,類似地可以推廣到具有更多結(jié)點(diǎn)的單元，如圖5-2所示,(a) 直角坐標(biāo)系與實(shí)際單元 (b) 自然坐標(biāo)系與基本單元,圖5-2 八結(jié)點(diǎn)等參單元,該基本單元的位移函數(shù)可取為,(5-4),第五章 等參元,125,其中在頂角結(jié)點(diǎn)與邊中點(diǎn)上的形函數(shù)分別為,(5-6),(5-5),第五章 等參元,126,5.3 單元?jiǎng)偠染仃?首先給出單元內(nèi)的應(yīng)變列

61、向量，對平面問題，應(yīng)有,(5-7),按坐標(biāo)變換關(guān)系式(5-1)，有,第五章 等參元,127,寫成矩陣表達(dá)式為：,(5-8),由式(5-8)可解出,其中,稱為坐標(biāo)變換的雅可比（Jacabian）矩陣，其中,(5-9),第五章 等參元,128,合寫成矩陣形式有,(5-10),將式(5-3)代入式(5-7)中，則有,為應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣，按結(jié)點(diǎn)分塊表示，有,第五章 等參元,129,而 i=1,2,3,4,(5-11),將式(5-9)代入式(5-11)，即可得出此單元的應(yīng)變轉(zhuǎn)換 矩陣 ，進(jìn)而求出 。,同上，單元內(nèi)的應(yīng)力可表示為,單元?jiǎng)偠染仃囉商摴υ砬蟮?，?第五章 等參元,130,(5-12),上述積分在

62、自然坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行，得,剛度矩陣,(5-13),一般參數(shù)單元的計(jì)算都采用數(shù)值積分求式(5-13)的近似值，同時(shí)，為了減少計(jì)算點(diǎn)的數(shù)目和便于編寫程序，多采用高斯數(shù)值積分方法。二維積分法的高斯求積公式為,(5-14),第五章 等參元,131,式中， 為對應(yīng)的坐標(biāo)位置 、 值， 、 為權(quán)重系數(shù)，L、M為沿 、 方向的積分點(diǎn)數(shù)目。,5.4 ANSYS平面結(jié)構(gòu)計(jì)算示例,5.4.1 問題描述,一個(gè)長方形面板，如圖5-3所示，其高AB=1m，寬BC=1.5m，板厚b=0.04，孔半徑R0.2m，長方形面板的彈性模量E=210GPa，泊松比=0.3，約束條件：在長方形底邊約束全部自由度。載荷：BC邊施加垂直向下

63、均布載荷F10000000N/m。,圖5-3 長方形板結(jié)構(gòu),第五章 等參元,132,5.4.2 ANSYS求解操作過程,打開Ansys軟件，在Ansys環(huán)境下做如下操作。 （1）選擇單元類型 運(yùn)行PreprocessorElement Type Add/Edit/Delete，彈出Element Type對話框，如圖5-4所示。單擊Add，彈出 Library of Element Type窗口，如圖5-5所 示，選擇PLANE82。,圖5-4 單元類型 對話框,圖5-5單元類型庫對話框,第五章 等參元,133,在Element Types對話框中單擊Options對話框，彈出如圖5-6所示對

64、話框，設(shè)置K3選項(xiàng)欄為Plane strs w/thk，設(shè)置K5選項(xiàng)欄為Nodal stress，設(shè)置K6選項(xiàng)欄為No extra output。表示單元是應(yīng)用于平面應(yīng)力問題，且單元是有 厚度的。,圖5-6 PLANE82 單元類型選項(xiàng)對話框,運(yùn)行PreprocessorReal Constants Add/Edit/Delete。彈出如圖5-7所示對話框，點(diǎn)擊Add，彈出如圖5-8所示對話框，點(diǎn)擊OK，彈出如圖5-9所示對話框。在THK選項(xiàng)欄中設(shè)置板厚度為0.04m。設(shè)置完畢單擊OK按鈕完 成設(shè)置。,第五章 等參元,134,（2）設(shè)置材料屬性 運(yùn)行PreprocessorMaterial Props Material Models，彈出如圖5-10所示對