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1、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),1,3 線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性,3.1 能控性和能觀測性的概念 3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性 3.3 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 3.5 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性和能觀測性 3.6 線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系 3.7 能控標準形和能觀測性標準形 3.8 傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控性和能觀 測性的關(guān)系 3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性和能觀測性的分解,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),2,3.1 能控性和能觀測性的概念,能控性 已知系統(tǒng)的當前時刻及其狀態(tài)，研究是否存在一 個容許控制，使得系統(tǒng)在該控制的作用下在有限
2、時間內(nèi)到 達希望的特定狀態(tài)。,能觀測性 已知系統(tǒng)及其在某時間段上的輸出，研究可否 依據(jù)這一時間段上的輸出確定系統(tǒng)這一時間段上的狀態(tài)。,能控性和能觀測性是現(xiàn)代控制理論中兩個基礎(chǔ)性概念，由卡爾曼（R. E. Kalman）于1960年首次提出。,u(t)能否引起x(t)的變化？,y(t)能否反映x(t)的變化？,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),3,3.1 能控性和能觀測性的概念,一個RC網(wǎng)絡(luò)。圖中RC網(wǎng)絡(luò)的輸入端是電流源i，輸出端開路。 取電容C1和C2上的電壓v1和v2為該系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量。,v1是能控的,v2是不能控的,V2是能觀測的,v1是不能觀測的,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),4,3.1 能控性和能觀測性的概念
3、,在最優(yōu)控制問題中，其任務(wù)是尋求輸入u(t)使狀態(tài)軌跡達 到最優(yōu)，則要求狀態(tài)能控。,但狀態(tài)x(t)的值通常是難以直接測量的，往往需要從測得 的輸出y(t)中估計出來。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),5,3.1 能控性和能觀測性的概念,例 分析如下系統(tǒng)的能控性和能觀測性,解 將其表示為標量方程組的形式,表明系統(tǒng)的狀態(tài)是不能控和不能觀測的。,輸入u不能控制狀態(tài)變量x1 ，故x1是不能控的,輸出y不能反映狀態(tài)變量x2，故x2是不能觀測的,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),6,3.1 能控性和能觀測性的概念,例 分析如下系統(tǒng)的能控性和能觀測性,解 將其表示為標量方程組的形式,實際上，系統(tǒng)的狀態(tài)既不是完全能控的，也不是完全能觀測的
4、。,所有狀態(tài)變量都是能控和能觀測的？,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),7,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,如果存在一個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時間區(qū)間 t0, tf內(nèi)使得系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到指定的任一 終端狀態(tài)x(tf)，則稱初始狀態(tài)x(t0)是能控的。若系統(tǒng)的所 有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或 簡稱是能控的。,狀態(tài)平面中點P能在u(t)作用下被驅(qū)動到任一指定狀態(tài)P1, P2, , Pn，則點P是能控的狀態(tài)。假如“能控狀態(tài)”充滿整個狀態(tài)空間,則該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。由此可看出，系統(tǒng)中某一狀態(tài)能控和系統(tǒng)狀態(tài)完全能控在含義上是不同的。,3.2.1狀態(tài)能控性定義,定
5、義 對于連續(xù)時間線性定常系統(tǒng),現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),8,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,能控性和能達性問題,(1) 能控性定義：對于給定連續(xù)時間線性定常系統(tǒng),若存在一個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時間區(qū)間t0, tf 內(nèi)，將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到原點，即x(tf)0， 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。,(2) 能達性定義：對于給定連續(xù)時間線性定常系統(tǒng),若存在一個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時間區(qū)間t0, tf 內(nèi)，將狀態(tài)x(t)從原點轉(zhuǎn)移到任一指定的終端（目標）狀 態(tài)x(tf)，則稱系統(tǒng)是能達的。,對線性定常系統(tǒng)，能控性和能達性是完全等價的。,簡記為,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),9,3.
6、2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,3.2.2 狀態(tài)能控性的判別準則,定理3.1 對于n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, B)，其狀態(tài) 完全能控的充分條件時由A，B陣所構(gòu)成的能控性判別矩陣,滿秩，即,證明,(1) 能控性判別準則一,因為,根據(jù)能控性定義，在終態(tài)時刻t1 ，有x(t1)=0,所以,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),10,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,對于任意給定的x(0) ，能夠唯一解出bi（或u）的條件是：,滿秩，即,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),11,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,例 試判別如下連續(xù)時間 線性定常系統(tǒng)的能控性。,解 構(gòu)造能控性判別矩陣,這是一個奇異陣，即,所以該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全
7、能控的，即系統(tǒng)狀態(tài)不能控。,解 系統(tǒng)的能控性判別矩陣為,所以該系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。,例 試判別如下連續(xù)時間 線性定常系統(tǒng)的能控性。,因為 ，所以,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),12,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,解 該系統(tǒng)的能控性判別矩陣為,因為rankQc = 1 < n，所以該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。,該系統(tǒng)是由兩個結(jié)構(gòu)上完全相 同，且又不是相互獨立的一階 系統(tǒng)組成的。顯然，只有在其 初始狀態(tài)x1(t0)和x2(t0)相同的條 件下，才存在某一u(t)，將x1(t0) 和x2(t0)在有限時間內(nèi)轉(zhuǎn)移到狀 態(tài)空間原點。否則是不可能的。,例 試判別連續(xù)時間線性定常 系統(tǒng)的狀態(tài)能控性
8、。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),13,而|Qc|0表示矩陣Qc=b Ab An-1b有且僅有n個線性無關(guān) 的列，也就是Qc的秩為n，即,必須是非奇異矩陣，換句話說，矩陣Qc的逆存在，即,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,推論 對于單輸入情況，若可求得到相應的控制作用u，使 狀態(tài)變量從任意x0轉(zhuǎn)移到原點，則矩陣,因此，可以把|Qc|0作為單輸入情況下的能控性判據(jù)。,對于多輸入情況，Qc不是方陣，不能用此結(jié)論。但有,因此，可以把|QcQcT|0作為多輸入系統(tǒng)的能控性判據(jù)。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),14,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,例 試判別三階雙輸入 系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。,解 首先構(gòu)造能控性判別矩陣,
9、容易得到,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),15,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性,通過線性變換把矩陣A化成約當標準形，然后根據(jù)這一標準形來判別系統(tǒng)的能控性。,證明,系統(tǒng)(A, B)的能控性判斷陣為,系統(tǒng) 的能控性判斷陣為,因是P-1滿秩的，所以 的秩與Qc的秩相同。,(2) 能控性判別準則二,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),16,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,定理3.2 若系統(tǒng)(A, B)具有互異的特征值，則其狀態(tài)完全 能控的充分必要條件是經(jīng)線性變換后的對角標準形,陣中不包含元素全為零的行。,定理3.3 若系統(tǒng)(A, B)具有互異的重特征值，則系統(tǒng)狀態(tài) 完全能控的充分
10、必要條件，是經(jīng)線性變換的約當標準形,與每個約當塊Ji 對應的 i 的最后一行的元素不全為零。,其中,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),17,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,例 試判別以下連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性。,解 A陣具有互不相同的特征值。系統(tǒng)(I)和(III)是能控的。,其特征值相同，盡管b陣的元素不為零，但系統(tǒng)狀態(tài)不能控。,注意：特征值互不相同條件。 某些具有重特征值的矩陣，也能化成對角線標準形。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),18,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,例 試判斷以下連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性。,解 系統(tǒng)(I)和(III)是狀態(tài)完全能控的，而系統(tǒng)(II)和(IV)因?qū)?約當小塊最后
11、一行存在元素為零的行，故狀態(tài)不完全能控。,注意：特征值互不相同條件,第一行與第三行成比例,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),19,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,定理3.3（附） 若系統(tǒng)(A, B)具有相同的重特征值，則系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控的充分必要條件，是經(jīng)線性變換的約當標準形,相同特征值下的約當塊Ji 對應的 i 的最后一行線性無關(guān)。,其中,例 試判斷以下連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性。,J1,J2,B2,B1,B1和B2的最后一行成比例，不是線性無關(guān)的，所以不能控。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),20,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,具有相同特征值的線性變換舉例,特征值為,l1=2時,任選,l2=1時,任選
12、,任選,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),21,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,若存在一分段連續(xù)的輸入信號u(t)，在有限時間t0, tf內(nèi)，能 把任一給定的初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任意指定的最終輸出y(tf)， 則稱系統(tǒng)輸出是完全能控的。,3.2.3 輸出能控性定義及判別準則,輸出的能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制系統(tǒng)的輸出,定義 對于n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng),定理3.4 對于n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng),輸出完全能控的充要條件，是,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),22,3.2 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性,例 試分析系統(tǒng)的輸出 能控性和狀態(tài)能控性。,解,故輸出能控性判別矩陣為,說明系統(tǒng)是輸出完全能控的。,再來分析系統(tǒng)的狀
13、態(tài)能控性,說明系統(tǒng)狀態(tài)是不完全能控的。,狀態(tài)能控性與輸出能控性無關(guān),現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),23,3.3連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性,問題：能否通過對輸出的有限時間的測量識別出系統(tǒng)的狀態(tài),定義 設(shè)連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程是,如果對任意給定的輸入u，存在一有限觀測時間tf t0，使得 根據(jù)t0, tf期間的輸出y(t)能唯一地確定系統(tǒng)的初態(tài)x(t0)，則 稱狀態(tài)x(t0)是能觀測的。若系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都是能觀測的， 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，或簡稱能觀測的。,,簡記為,(A, C), 如果mn，且C非奇異，則： ，顯然這不需要 觀測時間。但是一般m t0。,簡要說明, 因為
14、能觀測性表示y(t)反映x(t)的能力，不妨令u0。,3.3.1 線性定常系統(tǒng)能觀測性的定義,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),24,3.3連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性,定理3.5 n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, C)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是其能觀測判別矩陣,3.3.2 能觀測性判別準則,同樣有秩判據(jù)和約當標準形判據(jù),滿秩，即 rankQo = n 或,(1) 能觀測性判別準則一,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),25,3.3連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性,證明,對于任意給定的x(0)，有,由上式，根據(jù)得到的y(t)，可以唯一地確定x(0)的條件是,滿秩，即 rankQo = n,現(xiàn)代控制理論
15、基礎(chǔ),26,3.3連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性,例 試判別連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性。,解 構(gòu)造能觀測性判別矩陣,因為rankQo2 = n，所以系統(tǒng)是能觀測的。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),27,3.3連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性,例 試判別系統(tǒng)的能觀測性。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),28,3.3連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性,推論 對單輸出系統(tǒng)，狀態(tài)能觀測的充分必要條件為,Qo是非奇異矩陣。換句話說|Qo|0是系統(tǒng)能觀測的充分必要條件。|Qo|0表示了矩陣Qo有且僅有n個行向量是線性獨立的，即rankQo = n。,對于多輸出系統(tǒng)，Qo是nmn陣不是方陣，但有如下關(guān)系：,因此，可把,作為多輸出系統(tǒng)的
16、能觀測性判據(jù)。,rankQo = rankQToQo,|QToQo |0,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),29,3.3連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性,例 試判斷下列連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性。,顯然，系統(tǒng)(I)是能觀測的，系統(tǒng)(II)是不能觀測的。,(2) 能觀測判別準則二,定理3.6 若n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, C)具有互異的特征值，則其狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對角線標準形 陣中不含有元素全為零的列。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),30,3.3連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性,其中,與每個約當塊Ji 對應的 i 的首列的元素不全為零。,例 試判斷下面兩個連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的
17、狀態(tài)能觀測性。,解 根據(jù)上述定理，(I)是能觀測的，(II)是不能觀測的。,定理3.7 若n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, C)具有互異的重特征值，則系統(tǒng)能觀測的充分必要條件是經(jīng)線性非奇異變換后的約當標準型,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),31,定理3.7（附） 若系統(tǒng)(A, B)具有相同的重特征值，則系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀測的充要條件是經(jīng)線性變換的約當標準形,例 試判斷以下連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性。,J1,J2,C2,C1,C1和C2的首列成比例，不是線性無關(guān)的，所以不能觀測。,3.3連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性,相同特征值下的約當塊Ji 對應的 的首列線性無關(guān)。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),32,3.4 離散時
18、間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性,3.4.1能控性定義與判據(jù),現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),33,3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性,解 利用遞推方法,為檢驗系統(tǒng)能否在第一步使x(0)轉(zhuǎn)移到零，對上式令x(1)=0， 倘若能夠解出u(0)，則表示在第一步就可以把給定初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到零，且控制作用即為u(0)。為此令x(1)=0，則有,計算表明對該系統(tǒng)若取u(0) = -3，則能將x0=2 1 1T在第一步轉(zhuǎn)移到零。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),34,3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性,例 若上例系統(tǒng)初始狀態(tài)為,解 由遞推公式，有,顯然，對于上式若令x(1)=0，解不出u(0)，這說明對于本例
19、初始狀態(tài)是不能在第一步轉(zhuǎn)移到零，再遞推一步。,能否找到控制序列，將其轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),35,3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性,若令x(2)=0，仍無法解出u(0)、u(1)，再遞推一步。,若令x(3)=0，上式是一個含有三個未知量的線性齊次方程,，有唯一解：,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),36,(2) 能控性判別準則,3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性,狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性判別矩陣,滿秩。即,解 構(gòu)造能控性判別矩陣,顯然rankQc1 < n，所以系統(tǒng)是不能控的。,例 試判別系統(tǒng)能控性。已知離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的G、h為,定理3.8 對于n階離散時間線性
20、定常系統(tǒng),現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),37,從前三列可以看出rankQc = 3所以系統(tǒng)是能控的。,3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性,解首先計算,于是,需要指出，多輸入系統(tǒng)能控判別矩陣是一個nnr階矩 陣。有時并不需要對整個Qc陣檢驗其秩，只需要從Qc陣中 構(gòu)成一個nn陣檢驗其秩，就可用于判斷狀態(tài)能控性。,例 試判別系統(tǒng)狀態(tài)的能控性。設(shè)離散系統(tǒng)G、H為,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),38,若能夠根據(jù)在有限個采樣瞬間上測量到的y(k)，即y(0)，y(1)， ，y(l1)，可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)x(0)= x0， 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，或簡稱是能觀測的。,定義 對于n階離散時間線性定常
21、系統(tǒng),3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性,狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是能觀測性判別矩陣,的秩為n，即rankQo = n,定理3.9 對于n階離散時間線性定常系統(tǒng),3.4.2能觀測性定義與判據(jù),(1) 能觀測性定義,(2) 能觀測性判別準則,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),39,3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性,例 設(shè)離散時間線性定常系統(tǒng)的G、C為,解 該系統(tǒng)能觀測性判別矩陣為,所以rankQo = 3，故該系統(tǒng)狀態(tài)是能觀測的。,試判別其狀態(tài)能觀測性。,取前三行,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),40,3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性,顯然，該連續(xù)時間系統(tǒng)是能控且能觀測的。,3.4
22、.3 采樣周期對離散時間線性系統(tǒng)能控性和能觀測性的影響,一個連續(xù)時間線性系統(tǒng)在其離散化后其能控性和能觀測性是否發(fā)生改變？,例 設(shè)連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為,解 其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣分別為,試確定使離散時間線性系統(tǒng)能控、能觀測的采樣周期。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),41,3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性,取采樣周期為T，將上述系統(tǒng)離散化，因,于是離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性判別矩陣,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),42,3.4 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性,若,則有,說明,若欲使離散時間系統(tǒng)是能控及能觀測的，采樣周期應滿足,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),43,3.5 連續(xù)時間線性時變
23、系統(tǒng)的能控性與能觀測性,3.5.1 能控性定義與判別準則,對于初始時刻t0的某給定初始狀態(tài)x(t0)= x0，存在另一個有限時刻tf，tf t0和定義在時間區(qū)間t0, tf上容許控制u，使得系統(tǒng)在這個控制作用下，從x0出發(fā)的軌線在tf時刻達到零狀態(tài)即x(tf)=0，則稱x0在t0時刻是系統(tǒng)的一個能控狀態(tài)。如果狀態(tài)空間上的所有狀態(tài)在t0時刻都是能控的，則稱系統(tǒng)在t0時刻是狀態(tài)完全能控的。,(1) 能控性定義,定義 若連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),可以看出，時變系統(tǒng)的能控性定義和定常系統(tǒng)的能控性定義基本相同，但考慮到A(t)、B(t)是時變矩陣，其狀態(tài)向量的轉(zhuǎn)移與起始時刻t0的選取有關(guān)，所以時變系統(tǒng)的能控
24、性與所選擇的初始時刻t0有關(guān)。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),44,3.5 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性,則系統(tǒng)在時刻 完全能控的充分條件為，存在一個有限 時刻 ，使,定理3.10 對n階連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),設(shè)A(t)和B(t)對t為(n-1)階連續(xù)可微，定義如下一組矩陣：,(2) 能控性判別準則,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),45,對于初始時刻t0，存在另一時刻tf t0,使得根據(jù)時間區(qū)間t0, tf上輸出y(t)的測量值，能夠唯一地確定系統(tǒng)在t0時刻的初始狀態(tài)x(t0)= x0，則稱x0為在t0時刻能觀測狀態(tài)。若系統(tǒng)在t0時刻的所有狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱系統(tǒng)是能
25、觀測的。,3.5 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性,則稱x0為t0時刻不能觀測的狀態(tài)，系統(tǒng)在t0時刻是不能觀測的。,(1) 能觀測性定義 定義 對于連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),3.5.2 能觀測性定義與判據(jù),反之，如果在t0時刻的初始狀態(tài)x(t0)= x0，所引起的系統(tǒng)輸出y(t)恒等于零，即,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),46,3.5 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性,則系統(tǒng)在時刻 完全能觀測的充分條件為，存在一個有限時刻 ，使,定理3.11 對于n階連續(xù)時間線性時變系統(tǒng),設(shè)A(t)和C(t)對t(n-1)階連續(xù)可微，定義如下一組矩陣,(2) 能觀測性判別準則,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),47,
26、3.6 線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系,一個系統(tǒng)的能觀測性等價于其對偶系統(tǒng)的能控性,一個系統(tǒng)的能控性 等價于其對偶系統(tǒng)的能觀測性,定義對于定常系統(tǒng)1和2其狀態(tài)空間描述分別為,則稱系統(tǒng)1和2是互為對偶的。,其中，x與x*為n維狀態(tài)向量，u為r維，y為m維，u*為m維， y*為r維。若系統(tǒng)1和2滿足以下關(guān)系,3.6.1對偶系統(tǒng),現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),48,系統(tǒng)1的傳遞函數(shù)陣為mr矩陣：,3.6 線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系,對 偶 系 統(tǒng) 的 示 意 圖,對偶系統(tǒng)的特征方程相同：,系統(tǒng)2的傳遞函數(shù)陣為：,對偶系統(tǒng) 的傳遞函 數(shù)陣互為 轉(zhuǎn)置,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),49,定理3.12設(shè)1(A, B,
27、 C)和2(A*, B*, C*)是互為對偶的兩個 系統(tǒng)，則1的能控性等價于2的能觀測性；1的能觀測性 等價于2的能控性。,3.6 線性系統(tǒng)能控性與能觀測性的對偶關(guān)系,而系統(tǒng)2的能觀測性判別矩陣為,是完全相同的。同理1的能觀測性判別矩陣為,而系統(tǒng)2的能控性判別矩陣為,也是完全相同的。,3.6.2 對偶定理,證明 系統(tǒng)1的能控性判別矩陣為,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),50,3.7 能控標準形和能觀測標準形,若n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng) (A, B)是完全能控的，則,對多輸入多輸出系統(tǒng)，把(A, B)和(A, C)化為標準形，可以有多種不同的方法。,對于單輸入單輸出系統(tǒng)，其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣只有
28、唯一的一組線性無關(guān)的向量。因此，當(A, B)表為能控標準形和(A, C)表為能觀測標準形時，其表示方法是唯一的。所以僅討論單輸入單輸出系統(tǒng)。,這表明，能控性矩陣中有且僅有n個列向量是線性無關(guān)的。如果取這些線性無關(guān)的列向量以某種線性組合，便可導出狀態(tài)空間描述的能控標準形。能觀測問題同樣。,3.7.1問題的提法,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),51,3.7 能控標準形和能觀測標準形,3.7.2 能控標準形,定理3.13若連續(xù)時間線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)(A, b, c) 是狀態(tài)完全能控的，則使系統(tǒng)為能控標準形的變換陣為,其中，ai為特征多項式 的系數(shù)。,通過線性變換得能控標準形(Ac,
29、 bc, cc)：,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),52,3.7 能控標準形和能觀測標準形,利用 和 ，可得,據(jù)凱萊-哈密頓定理有,據(jù)此，可導出,證明 （1）推證Ac,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),53,3.7 能控標準形和能觀測標準形,于是，有,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),54,3.7 能控標準形和能觀測標準形,(2) 推證bc 由 ，有 ，即,將上式左乘 ，就可證得bc。,(3) 推證cc 由 ，有,展開即可。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),55,3.7 能控標準形和能觀測標準形,由能控標準形可以求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù),現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),56,3.7 能控標準形和能觀測標準形,例 試將如下狀態(tài)空間
30、描 述變換為能控標準形。,解先判別其能控性,rankQc = 3，所以系統(tǒng)是能控的。再計算系統(tǒng)的特征多項式,則a1 = 0，a2 = 9，a3 = 2,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),57,3.7 能控標準形和能觀測標準形,變換為能觀測標準形(Ao, bo, co)：,定理3.14 若n階線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)(A, b, c) 是能觀測的，則存在線性變換,其中是特征多項式 的各項系數(shù)。,3.7.3 能觀測標準形,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),58,3.7 能控標準形和能觀測標準形,則a1 = 0，a2 = 9，a3 = 2,解 首先構(gòu)造能觀測性判別矩陣,因rankQo = 3，所以系統(tǒng)是能觀測
31、的。系統(tǒng)的特征式為,例 試將如下狀態(tài)空間描 述變換為能觀測標準形。,=,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),59,顯然，在這種狀態(tài)變量選擇下系統(tǒng)是不能控但是能觀測的。 從傳遞函數(shù)會發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有零極點對消現(xiàn)象。,3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系,例3-26 試判別系統(tǒng)的狀態(tài) 能控性和能觀測性。,解 定義,于是系統(tǒng)能控性判別矩陣Qc和能觀測性判別矩陣Qo分別為,以下只討論單輸入-單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間的關(guān)系。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),60,證明 假定系統(tǒng)是具有相異特征值的n階單輸入-單輸出系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為(A, b, c) ，利用線性變換可將矩陣A對角化
32、，得到等價系統(tǒng)為,3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系,定理3.15 若線性定常單輸入-單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中有零極點對消，則系統(tǒng)將是狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀測的，其結(jié)果與狀態(tài)變量選擇有關(guān)，反之，若系統(tǒng)中沒有零極點對消，則該系統(tǒng)是完全能控且完全能觀測的。,兩邊取Laplace變換，得,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),61,3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系,將 代入，則,對特征值相異的n階系統(tǒng)，假定傳遞函數(shù)形式是,狀態(tài)能控要求 0，能觀測要求 0,一個即能控又能觀測的系統(tǒng)要求si 0,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),62,3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系,解 組合系統(tǒng)的
33、傳遞函數(shù)G (s)為,由G(s)可以看出，當b =l2時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)發(fā)生零極點對消現(xiàn)象，系統(tǒng)不是即能控又能觀測的。,為了分析這個不確定性，建立該系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖：,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),63,3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系,當b =l2時（即G (s)出現(xiàn)零極點對消）,則該串聯(lián)系統(tǒng)是不能控但能觀測的。,系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,其能控性和能觀測性判別矩陣為,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),64,3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系,例 如果將上例系統(tǒng)中兩個子系統(tǒng)的位置互換一下，如圖。試判斷該系統(tǒng)的能控性和能觀測性。,顯見，當b=l2時rankQo = 1 < 2，系統(tǒng)是能控但不
34、能觀測的。,其能控性和能觀測性判別矩陣為,解 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),65,3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系,從上面討論可知，由傳遞函數(shù)討論系統(tǒng)的能控性和能觀測性時，若有零極點對消，系統(tǒng)是能控不能觀測，還是能觀測而不能控，與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。若被消去的零點與u發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)為不能控的；若被消去的零點與輸出y發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)是不能觀測的。進一步，若該零點既與輸入u發(fā)生聯(lián)系，又與輸出y發(fā)生聯(lián)系，則該系統(tǒng)是既不能控也不能觀測的。,狀態(tài)變量圖,串聯(lián)系統(tǒng)傳遞函數(shù),系統(tǒng)穩(wěn)定,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),66,3.8 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關(guān)系,因此 （不能控
35、）， （能觀測）,該系統(tǒng)的能控性和能觀測性判別矩陣為,建立狀態(tài)空間描述,說明系統(tǒng)有一極點在右半平面，故該系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。,考察該系統(tǒng)的特征多項式,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),67,3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解,能控且能觀測子系統(tǒng),不完全能控和 不完全能觀測系統(tǒng),能控但不能觀測子系統(tǒng),不能控但能觀測子系統(tǒng),不能控且不能觀測子系統(tǒng),則存在線性變換 ，可將(A, B, C)變換為,定理3.16 若n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, B, C)是狀態(tài)不完全能控的，其能控性判別矩陣的秩為,3.9.1 系統(tǒng)按能控性分解,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),68,3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解,非奇
36、異變換陣 中n個列向量構(gòu)成方法：前nc個列向量為能控性判別矩陣Qc中nc個線性無關(guān)的列，另外(n-nc)個列在確保Rc為非奇異的條件下是任意的。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),69,3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解,例 試將該系統(tǒng)按 能控性進行分解。,解 系統(tǒng)的能控性判別矩陣為,因為 ，所以系統(tǒng)是不完全能控的。構(gòu)造Rc：,（任選的）,得：,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),70,3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解,考察R3為任意的情況： 現(xiàn)假設(shè)R3=1 0 1T，即,于是得,由于前兩個列向量沒有改變，所以能控子系統(tǒng)空間的表達式相同，所不同的僅是改變列向量后的不能控部分。,比
37、較,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),71,3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解,3.9.2 系統(tǒng)按能觀測性分解,定理3.17 若n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, B, C)是狀態(tài)不 完全能觀測的，其能觀測性判別矩陣的秩,則存在線性變換 ，可將(A, B, C)變換為,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),72,3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解,能觀測的no維子系統(tǒng),不能觀測的(n-no)維子系統(tǒng),取Qo中的no個線性無關(guān)的行為Ro-1前no個行向量，Ro-1的另外(n-no)個行向量在確保是非奇異的條件下可任意。,構(gòu)造非奇異變換陣：,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),73,為構(gòu)造線性非奇異變換陣 ，取,3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)
38、按能控性能觀測性的分解,因為 ，所以該系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀測的。,例 試按能觀測性對 系統(tǒng)進行結(jié)構(gòu)分解。,解 能觀測判別矩陣Qo為,（任選）,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),74,定理3.18 若n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)(A, B, C)是不完全能控且不完全能觀測的。則,3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解,3.9.3 系統(tǒng)按能控性和能觀測性分解,其中,反映系統(tǒng)輸入輸出特性的傳遞函數(shù)陣G(s)只能由能控且能觀測子系統(tǒng)決定：,根據(jù)給定傳遞函數(shù)陣求對應的狀態(tài)空間描述，其解將有無限多個。其中維數(shù)最小的狀態(tài)空間描述就是最小實現(xiàn)。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),75,3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解,例（手工分解） 給定系統(tǒng)(A, B, C)的約當標準形為,容易判定： 能控且能觀測變量：x1，x2 能控但不能觀測變量：x3，x5 不能控但能觀測變量：x4 不能控不能觀測變量：x6,令,(2)逐步分解：先按能控性分解，再分別將 、c按能觀測性分解。,按能控能觀測進行結(jié)構(gòu)分解方法:,(1)構(gòu)造變換陣R，只需經(jīng)過一次變換即可，但R的構(gòu)造復雜。,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),76,3.9 線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性能觀測性的分解,重新排列A、B、C的行列式，得,現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ),77,作業(yè),3-1(2)、(3) 3-2 3-4 3-8 3-9 3-10 3-11 3-13(2) 3-16 3-17,
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