高中數(shù)學(xué)第二章 2_2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 課件

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1、第二章 變化率與導(dǎo)數(shù)2.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.1.平均變化率平均變化率2.2.瞬時變化率瞬時變化率.)()()(0 x000的瞬時變化率的瞬時變化率在點在點則這個常數(shù)稱為函數(shù)則這個常數(shù)稱為函數(shù)常數(shù)，常數(shù)，時，平均變化率時，平均變化率當(dāng)當(dāng)xxfxxfxxf .,)()()(0)(00000的平均變化率的平均變化率在在為函數(shù)為函數(shù)稱稱時，比值時，比值當(dāng)當(dāng)及其附近有定義，及其附近有定義，在點在點已知函數(shù)已知函數(shù)xxxxfxxfxxfxyxxxxfy 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 回回 顧顧3.3.導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義4.4.點斜式直線方程點斜式直線方程：)(00 xxkyy.)()(lim)(|)()(0000000

2、0 xxfxxfxfyxfxxxfxxxx ，故，故或或記作記作處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在在為為的瞬時變化率，就定義的瞬時變化率，就定義函數(shù)在函數(shù)在復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 回回 顧顧xoyy=f(x)曲線的切線曲線的切線P(x0,y0)Q(x1,y1)當(dāng)自變量從當(dāng)自變量從x0變化到變化到x1時，時，相應(yīng)的函數(shù)值從相應(yīng)的函數(shù)值從f(x0)變化到變化到f(x1)y=f(x1)-f(x0)函數(shù)值的增量函數(shù)值的增量x=x1-x0自變量的增量自變量的增量Mxyy0=f(x0)，y1=f(x1)Q(x0+x,y0+y)y=f(x0+x)-f(x0)xoyy=f(x)設(shè)曲線設(shè)曲線C是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的圖象，的圖象，在曲線

3、在曲線C上取一點上取一點(x0,y0)及鄰近一及鄰近一點點(x0+x,y0+y),過過P,Q兩點作兩點作割割線線，當(dāng)點當(dāng)點Q沿著曲線沿著曲線無限接近無限接近于點于點P點點P處的處的切線切線。即即x0時時,如果割線如果割線PQ有一個有一個極極限位置限位置PT,那么直線那么直線PT叫做曲線在叫做曲線在曲線在某一點處的切線的定義曲線在某一點處的切線的定義xyPQT 設(shè)割線設(shè)割線PQ的傾斜角為的傾斜角為，切線切線PT的傾斜角為的傾斜角為 當(dāng)當(dāng)x0時，割線時，割線PQ的的斜率的極限斜率的極限，就是曲線在點，就是曲線在點P處的處的切線的斜率切線的斜率，即，即tan=Mxyxxfxxfxyxx)()(000

4、0limlim曲線曲線在某一點處在某一點處的切線的斜率公式的切線的斜率公式x oyy=f(x)PQtan=xyxxfxxf)()(00求曲線求曲線L：y=f(x)在在點點M(x0,y0)處切線的斜率。處切線的斜率。割線割線 MN 的極限位置的極限位置 MT 稱稱為曲線為曲線 L 在點在點 M 處的切線。處的切線。割線割線 MN 的斜率為：的斜率為：tanxxfxxf )()(00 時時，當(dāng)當(dāng)0 xxy LMxyo0 x T1xN0yx 切線斜率切線斜率 1yy tanlimtan n切線切線 MT 的斜率為的斜率為：xyx 0lim xxfxxfx )()(lim000 tan k（3 3）這

5、個概念）這個概念:提供了求曲線上某點切線的斜提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在函數(shù)在x=xx=x0 0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).（1 1）割線趨近于確定的位置的直線定義為）割線趨近于確定的位置的直線定義為切線切線.（2 2）曲線與直線相切，并不一定只有一個公共點）曲線與直線相切，并不一定只有一個公共點.說明：說明：（4 4）若曲線）若曲線y=f(x)在點在點P(P(x0，f(x0)處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)f(x0)不存在，就是切線與不存在，就是切線與y軸平行軸平行.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù) y=f(x)在在點點 x0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) f (x

6、0)就就 是曲線是曲線 y=f(x)在點在點 M(x0,y0)處的切線的斜率，即：處的切線的斜率，即：)2(tan)(0 xf由直線的點斜式方程可知，曲線由直線的點斜式方程可知，曲線 y=f(x)在點在點 M(x0,y0)處的切線方程與法線方程分別為：處的切線方程與法線方程分別為：當(dāng)當(dāng)0()0fx時，時，切線方程切線方程000()()yyfxxx,當(dāng)當(dāng)0()0fx時，時，切線方程為切線方程為 0yy或或0()yf x.例例1:1:求拋物線求拋物線y=f(x)=xy=f(x)=x2 2在在點點P(1,1)P(1,1)處的切線的斜率處的切線的斜率.02020:(1)(1)1lim(1)1lim2(

7、)lim2.xxxfxffxxxxxx 解 過點(1,1)切線的斜率是（）2112.x因此，拋物線y=f=x 在點P，處的切線斜率為2yxyxo1,1P.)21,2(1.2的切線方程的切線方程在點在點求雙曲線求雙曲線例例xy 00112222.limlimxxfxfxxx 解因為011lim2 24xx 112.24所以，這條雙曲線過點，的切線的斜率為-112,24x 由直線方程的點斜式，得切線方程為 y-11.4x即 y=-xyo12,2P253.6.2例 求拋物線 y=x 過點，的切線方程200,.xx解：設(shè)此切線過拋物線上的點01.由例 及導(dǎo)數(shù)的意義知此切線的斜率為2x20056x,2x

8、又因為此切線過點，和點200062,52xxx其斜率滿足2000560,2,3.xx解得x 22 439.yx即切線過拋物線上的點，所以切線方程分別為：442,963.yxyx化簡得 y=4x-4,y=6x-9.2yxyxo5,62P2,43,9200,xx過過求函數(shù)圖象切線需要注意的問題求函數(shù)圖象切線需要注意的問題（1 1）已知切點）已知切點(x0 0,f(x0 0)，求切線：，求切線：求切線的斜率求切線的斜率:k=f(x0 0)；確定切點確定切點(x0 0,f(x0 0)；寫切線方程：寫切線方程：y-f(x0 0)=)=f(x0 0)()(x-x0 0).).（2 2）已知切線過點）已知切

9、線過點(a，b)，求切線方程，求切線方程點點(a，b)可以在曲線上，也可以不再曲線上可以在曲線上，也可以不再曲線上A A、設(shè)切點、設(shè)切點(x0，f(x0)；B B、求斜率、求斜率k=f(x0)；C C、寫切線方程、寫切線方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0)；D D、代入已知點、代入已知點(a,b)，列方程組求得，列方程組求得x0 0；E E、代入求得切線方程、代入求得切線方程.例例4.4.如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，根據(jù)圖像，請描的圖像，根據(jù)圖像，請描述、比較曲線述、比較曲線h h(t

10、t)在在t t0 0，t t1 1，t t2 2附近的變化情況附近的變化情況.解：如圖各處的切線，我們用此來刻畫此三個時刻附近解：如圖各處的切線，我們用此來刻畫此三個時刻附近的變化情況的變化情況(1)當(dāng)當(dāng)t=t0時，曲線時，曲線h(t)在在t0處的切線處的切線l0平行于平行于x軸軸在在t=t0附近曲線附近曲線h(t)比較平坦，幾乎沒有升降比較平坦，幾乎沒有升降.(2)當(dāng)當(dāng)t=t1時，曲線時，曲線h(t)在在t1處的切線處的切線l1的斜率的斜率h(t1)0，在在t=t1附近曲線附近曲線h(t)下降，即函數(shù)下降，即函數(shù)h(t)在在t=t1附近單附近單調(diào)遞減調(diào)遞減.(3)當(dāng)當(dāng)t=t2時，曲線時，曲線

11、h(t)在在t2處的切線處的切線l2的斜率的斜率h(t2)0，在在t=t2附近曲線附近曲線h(t)下降，即下降，即函數(shù)函數(shù)h(t)在在t=t2附近單調(diào)遞減附近單調(diào)遞減.由圖形可知，直線由圖形可知，直線l l1 1的傾斜程度的傾斜程度小于直線小于直線l l2 2的傾斜程度，說明曲的傾斜程度，說明曲線線h(t)h(t)在在t t1 1附近比在附近比在t t2 2附近下降附近下降緩慢緩慢.)382(3113處的切線方程處的切線方程求：在點求：在點，上一點上一點：如圖已知曲線：如圖已知曲線練習(xí)練習(xí)PPxy yx-2-112-2-11234OP313yx.)474(4122的切線方程的切線方程，過點過點

12、：求拋物線：求拋物線練習(xí)練習(xí)Pxy 7177444242yxyx解：切線方程為或解：在點解：在點P P處的切線方程是處的切線方程是 12x-3y-16=012x-3y-16=0練習(xí)練習(xí)3:如圖已知曲線如圖已知曲線 ,求求:點點P處的切線方程處的切線方程.)38,2(313Pxy上上一一點點 3320011(2)233|limlimxxxxyyxx 即即點點P處的切線的斜率等于處的切線的斜率等于4.(2).在點在點P處的切線方程是處的切線方程是 ,即即8423yx12316 0 xy yx-2-112-2-11234OP313yx2301126()()lim3xxxxx 201lim12 6()43xxx 31(1),3yx解：（1）求出函數(shù)在點）求出函數(shù)在點x0處的變化率處的變化率 ，得到曲線，得到曲線 在點在點(x0,f(x0)的切線的斜率。的切線的斜率。)(0 xf （2）根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即）根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即).)()(000 xxxfxfy 求切線方程的步驟：求切線方程的步驟：小結(jié)小結(jié):無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)無限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)概念、用導(dǎo)數(shù)定義求概念、用導(dǎo)數(shù)定義求 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無法理解基本思想，丟掉極限思想就無法理解導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)概念。數(shù)概念。