數(shù)學(xué)備考高考真題模擬新題分類匯編數(shù)列.doc

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1、 數(shù)列(高考真題+模擬新題) 課標(biāo)文數(shù)17.D1[2011浙江卷] 若數(shù)列中的最大項是第k項,則k=________. 課標(biāo)文數(shù)17.D1[2011浙江卷] 4 【解析】 設(shè)最大項為第k項,則有 ∴ ? ?k=4. 課標(biāo)文數(shù)20.D2,A2[2011北京卷] 若數(shù)列An:a1,a2,…,an(n≥2)滿足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1),則稱An為E數(shù)列.記S(An)=a1+a2+…+an. (1)寫出一個E數(shù)列A5滿足a1=a3=0; (2)若a1=12,n=2000,證明:E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2011; (3)在a1=4的E數(shù)列A

2、n中,求使得S(An)=0成立的n的最小值. 課標(biāo)文數(shù)20.D2,A2[2011北京卷] 【解答】 (1)0,1,0,1,0是一個滿足條件的E數(shù)列A5. (答案不唯一,0,-1,0,1,0;0,1,0,1,2;0,1,0,-1,-2;0,1,0,-1,0都是滿足條件的E數(shù)列A5) (2)必要性:因為E數(shù)列An是遞增數(shù)列, 所以ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999). 所以An是首項為12,公差為1的等差數(shù)列. 所以a2000=12+(2000-1)1=2011, 充分性:由于a2000-a1999≤1. a1999-a1998≤1. …… a2-a1≤1. 所以a

3、2000-a1≤1999,即a2000≤a1+1999. 又因為a1=12,a2000=2011. 所以a2000=a1+1999. 故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999),即E數(shù)列An是遞增數(shù)列. 綜上,結(jié)論得證. (3)對首項為4的E數(shù)列An,由于 a2≥a1-1=3, a3≥a2-1≥2, …… a8≥a7-1≥-3, …… 所以a1+a2+…+ak>0(k=2,3,…,8). 所以對任意的首項為4的E數(shù)列An,若S(An)=0,則必有n≥9. 又a1=4的E數(shù)列A9:4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4滿足S(A9)=0, 所以n的最小值

4、是9. 大綱理數(shù)4.D2[2011全國卷] 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,則k=(  ) A.8 B.7 C.6 D.5 大綱理數(shù)4.D2[2011全國卷] D 【解析】 ∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2a1+(2k+1)d=4k+4,∴4k+4=24,可得k=5,故選D. 大綱理數(shù)20.D2,D4[2011全國卷] 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0且-=1. (1)求{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=,記Sn=k,證明:Sn<1. 大綱理數(shù)20.D2,D4[2011全國卷] 【解答】 (1)由題設(shè)-=1

5、, 即是公差為1的等差數(shù)列. 又=1,故=n. 所以an=1-. (2)證明:由(1)得 bn===-, ∴Sn=bk==1-<1. 大綱文數(shù)6.D2[2011全國卷] 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,則k=(  ) A.8 B.7 C.6 D.5 大綱文數(shù)6.D2[2011全國卷] D 【解析】 ∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2a1+(2k+1)d=4k+4,∴4k+4=24,可得k=5,故選D. 課標(biāo)理數(shù)10.M1,D2,B11[2011福建卷] 已知函數(shù)f(x)=ex+x.對于曲線y=f(x)

6、上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個點A、B、C,給出以下判斷: ①△ABC一定是鈍角三角形; ②△ABC可能是直角三角形; ③△ABC可能是等腰三角形; ④△ABC不可能是等腰三角形. 其中,正確的判斷是(  ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 課標(biāo)理數(shù)10.M1,D2,B11[2011福建卷] B 【解析】 解法一:(1)設(shè)A、B、C三點的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3(x10, ∴ f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù), ∴ f(x1)

7、(x3-x2,f(x3)-f(x2)), ∴ =(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))<0, ∴ ∠ABC為鈍角,判斷①正確,②錯; (2)若△ABC為等腰三角形,則只需AB=BC,即 (x1-x2)2+(f(x1)-f(x2))2=(x3-x2)2+(f(x3)-f(x2))2, ∵ x1,x2,x3成等差數(shù)列,即2x2=x1+x3, 且f(x1)

8、③錯誤,④正確,故選B. 解法二:(1)設(shè)A、B、C三點的橫坐標(biāo)為x1,x2,x3(x1

9、進(jìn)而由Sk=-35可得2k-k2=-35. 即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5. 又k∈N*,故k=7為所求. 課標(biāo)理數(shù)11.D2[2011廣東卷] 等差數(shù)列{an}前9項的和等于前4項的和.若a1=1,ak+a4=0,則k=________. 課標(biāo)理數(shù)11.D2[2011廣東卷] 10 【解析】 由S9=S4,所以a5+a6+a7+a8+a9=0,即5a7=0,所以a7=0, 由a7=a1+6d得d=-,又ak+a4=0, 即a1+(k-1)+a1+3=0, 即(k-1)=-,所以k-1=9,所以k=10. 課標(biāo)理數(shù)13.D2[2011湖北卷] 《九章算

10、術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為________升. 課標(biāo)理數(shù)13.D2[2011湖北卷]  【解析】 設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,由 得 解得 所以a5=a1+4d=. 課標(biāo)理數(shù)19.D2[2011湖北卷] 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足:a1=a(a≠0),an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1).  (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數(shù)列,試判斷:對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1amam+

11、2是否成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論. 課標(biāo)理數(shù)19.D2[2011湖北卷] 【解答】 (1)由已知an+1=rSn,可得an+2=rSn+1,兩式相減可得 an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1,即an+2=(r+1)an+1, 又a2=ra1=ra,所以 當(dāng)r=0時,數(shù)列{an}為:a,0,…,0,…; 當(dāng)r≠0,r≠-1時,由已知a≠0,所以an≠0(n∈N*), 于是由an+2=(r+1)an+1,可得=r+1(n∈N*), ∴a2,a3,…,an,…成等比數(shù)列, ∴當(dāng)n≥2時,an=r(r+1)n-2a. 綜上,數(shù)列{an}的通項公式為an= (2)對于

12、任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列,證明如下: 當(dāng)r=0時,由(1)知,an= ∴對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列; 當(dāng)r≠0,r≠-1時,∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1,  若存在k∈N*,使得Sk+1,Sk,Sk+2成等差數(shù)列,則Sk+1+Sk+2=2Sk, ∴2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk,即ak+2=-2ak+1, 由(1)知,a2,a3,…,an,…的公比r+1=-2,于是對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1=-2am,從而am+2=4am, ∴am+1+am+2=2am,

13、即am+1,am,am+2成等差數(shù)列. 綜上,對于任意的m∈N*,且m≥2,am+1,am,am+2成等差數(shù)列. 課標(biāo)文數(shù)9.D2[2011湖北卷] 《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為(  ) A.1升 B.升 C.升 D.升 課標(biāo)文數(shù)9.D2[2011湖北卷] B 【解析】 設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,由 得 解得 所以a5=a1+4d=. 課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011湖北卷] 成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后

14、成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求證:數(shù)列是等比數(shù)列. 課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011湖北卷] 【解答】 (1)設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d,a,a+d. 依題意,得a-d+a+a+d=15.解得a=5. 所以{bn}中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d. 依題意,有(7-d)(18+d)=100, 解得d=2或d=-13(舍去). 故{bn}的第3項為5,公比為2. 由b3=b122,即5=b122,解得b1=. 所以{bn}是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,其通項公式為

15、bn=2n-1=52n-3. (2)證明:由(1)得數(shù)列{bn}的前n項和Sn==52n-2-,即Sn+=52n-2. 所以S1+=,==2. 因此是以為首項,公比為2的等比數(shù)列. 課標(biāo)理數(shù)12.D2[2011湖南卷] 設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和,且a1=1,a4=7,則S5=________. 課標(biāo)理數(shù)12.D2[2011湖南卷] 25 【解析】 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,因為a1=1,a4=7,所以a4=a1+3d?d=2,  故S5=5a1+10d=25. 課標(biāo)文數(shù)5.D2[2011江西卷] 設(shè){an}為等差數(shù)列,公差d=-2,Sn為其前n項

16、和.若S10=S11,則a1=(  ) A.18 B.20 C.22 D.24 課標(biāo)文數(shù)5.D2[2011江西卷] B 【解析】 由S10=S11,得a11=S11-S10=0, ∴a1=a11+(1-11)d=0+(-10)(-2)=20.故選B. 課標(biāo)文數(shù)15.D2[2011遼寧卷] Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S2=S6,a4=1,則a5=________. 課標(biāo)文數(shù)15.D2[2011遼寧卷] -1 【解析】 由S2=S6,得2a1+d=6a1+d解得4(a1+3d)+2d=0,即2a4+d=0,所以a4+(a4+d)=0,即a5=-a4=-1. 課標(biāo)文

17、數(shù)17.D2,D3[2011課標(biāo)全國卷] 已知等比數(shù)列{an}中,a1=,公比q=. (1)Sn為{an}的前n項和,證明:Sn=; (2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列{bn}的通項公式. 課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011課標(biāo)全國卷] 【解答】 (1)因為an=n-1=, Sn==, 所以Sn=. (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an =-(1+2+…+n) =-. 所以{bn}的通項公式為bn=-. 大綱理數(shù)8.D2[2011四川卷] 數(shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N*),若

18、b3=-2,b10=12,則a8=(  ) A.0 B.3 C.8 D.11 大綱理數(shù)8.D2[2011四川卷] B 【解析】 由數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且b3=-2,b10=12可知數(shù)列公差d=2,所以通項bn=-2+(n-3)2=2n-8=an+1-an,所以a8-a1=2(1+2+3+…+7)-87=0,所以a8=a1=3. 課標(biāo)理數(shù)4.D2[2011天津卷] 已知{an}為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項,Sn為{an}的前n項和,n∈N*,則S10的值為(  ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 課標(biāo)理數(shù)4.D2[201

19、1天津卷] D 【解析】 由a=a3a9,d=-2,得(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解之得a1=20,∴S10=1020+(-2)=110. 課標(biāo)文數(shù)11.D2[2011天津卷] 已知{an}是等差數(shù)列,Sn為其前n項和,n∈N*.若a3=16,S20=20,則S10的值為________. 課標(biāo)文數(shù)11.D2[2011天津卷] 110 【解析】 設(shè)等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,由題意得,解之得a1=20, d=-2,∴S10=1020+(-2)=110. 課標(biāo)理數(shù)19.D2[2011浙江卷] 已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項a1為a(a∈R).設(shè)數(shù)列的

20、前n項和為Sn,且,,成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式及Sn; (2)記An=+++…+,Bn=+++…+.當(dāng)n≥2時,試比較An與Bn的大?。? 課標(biāo)理數(shù)19.D2[2011浙江卷] 【解答】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由2=, 得(a1+d)2=a1(a1+3d).因為d≠0,所以d=a1=a, 所以an=na,Sn=. (2)因為=,所以 An=+++…+=. 因為a2n-1=2n-1a,所以 Bn=+++…+=. 當(dāng)n≥2時,2n=C+C+C+…+C>n+1, 即1-<1-, 所以,當(dāng)a>0時,An<Bn;當(dāng)a<0時,An>Bn.

21、大綱文數(shù)1.D2[2011重慶卷] 在等差數(shù)列{an}中,a2=2,a3=4,則a10=(  ) A.12 B.14 C.16 D.18 大綱文數(shù)1.D2[2011重慶卷] D 【解析】 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 由a2=2,a3=4,得解得 ∴a10=a1+(10-1)d=9d=18.故選D. 課標(biāo)文數(shù)21.D3,D4[2011安徽卷] 在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù),使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這n+2個數(shù)的乘積記作Tn,再令an=lgTn,n≥1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=tanantanan+1,求數(shù)列{bn}的前n項和S

22、n. 課標(biāo)文數(shù)21.D3,D4[2011安徽卷] 本題考查等比和等差數(shù)列,指數(shù)和對數(shù)的運算,兩角差的正切公式等基本知識,考查靈活運用知識解決問題的能力,綜合運算能力和創(chuàng)新思維能力. 【解答】 (1)設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等比數(shù)列,其中t1=1,tn+2=100,則 Tn=t1t2…tn+1tn+2,① Tn=tn+2tn+1…t2t1.② ①②并利用titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2),得 T=(t1tn+2)(t2tn+1)…(tn+1t2)(tn+2t1)=102(n+2), ∴an=lgTn=n+2,n≥1. (2)由題意和(1)中計算結(jié)果,知

23、 bn=tan(n+2)tan(n+3),n≥1. 另一方面,利用tan1=tan[(k+1)-k]=. 得tan(k+1)tank=-1. 所以Sn=bk=tan(k+1)tank = =-n. 課標(biāo)理數(shù)18.D3,D4[2011安徽卷] 在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù),使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這n+2個數(shù)的乘積記作Tn,再令an=lgTn,n≥1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=tanantanan+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 課標(biāo)理數(shù)18.D3,D4[2011安徽卷] 【解析】 本題考查等比和等差數(shù)列,對數(shù)和指數(shù)的運算,兩

24、角差的正切公式等基本知識,考查靈活運用基本知識解決問題的能力,運算求解能力和創(chuàng)新思維能力. 【解答】 (1)設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等比數(shù)列,其中t1=1,tn+2=100,則 Tn=t1t2…tn+1tn+2,① Tn=tn+2tn+1…t2t1,② ①②并利用titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2),得 T=(t1tn+2)(t2tn+1)…(tn+1t2)(tn+2t1)=102(n+2). ∴an=lgTn=n+2,n≥1. (2)由題意和(1)中計算結(jié)果,知 bn=tan(n+2)tan(n+3),n≥1, 另一方面,利用 tan1=tan[

25、(k+1)-k]=, 得tan(k+1)tank=-1. 所以Sn=k=an(k+1)tank = =-n. 課標(biāo)理數(shù)11.D3[2011北京卷] 在等比數(shù)列{an}中,若a1=,a4=-4,則公比q=________;|a1|+|a2|+…+|an|=________. 課標(biāo)理數(shù)11.D3[2011北京卷] -2 2n-1- 【解析】 由a4=a1q3=q3=-4,可得q=-2;因此,數(shù)列{|an|}是首項為,公比為2的等比數(shù)列,所以|a1|+|a2|+…+|an|==2n-1-. 課標(biāo)文數(shù)12.D3[2011北京卷] 在等比數(shù)列{an}中,若a1=,a4=4,則公比q

26、=________;a1+a2+…+an=________.  課標(biāo)文數(shù)12.D3[2011北京卷] 2 2n-1- 【解析】 由題意可知a4=a1q3=q3=4,可得q=2, 所以a1+a2+…+an==2n-1-. 大綱文數(shù)17.D3[2011全國卷] 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn. 大綱文數(shù)17.D3[2011全國卷] 【解答】 設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得 解得或 當(dāng)a1=3,q=2時,an=32n-1,Sn=3(2n-1); 當(dāng)a1=2,q=3時,an=23n-1,Sn=3n-1. 課標(biāo)理數(shù)16.D3,

27、C4[2011福建卷] 已知等比數(shù)列{an}的公比q=3,前3項和S3=. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若函數(shù)f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在x=處取得最大值,且最大值為a3,求函數(shù)f(x)的解析式. 課標(biāo)數(shù)學(xué)16.D3,C4[2011福建卷] 【解答】 (1)由q=3,S3=得=,解得a1=. 所以an=3n-1=3n-2. (2)由(1)可知an=3n-2,所以a3=3. 因為函數(shù)f(x)的最大值為3,所以A=3; 因為當(dāng)x=時f(x)取得最大值, 所以sin=1. 又0<φ<π,故φ=. 所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=3sin

28、. 課標(biāo)文數(shù)16.D3[2011福建卷] 商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格,即根據(jù)商品的最低銷售限價a,最高銷售限價b(b>a)以及實數(shù)x(0

29、](b-a),即x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2, ∵b>a,b-a≠0, ∴x2=1-x,即x2+x-1=0, 解得 x=, 因為0

30、成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式; (2)數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,求證:數(shù)列是等比數(shù)列. 課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011湖北卷] 【解答】 (1)設(shè)成等差數(shù)列的三個正數(shù)分別為a-d,a,a+d. 依題意,得a-d+a+a+d=15.解得a=5. 所以{bn}中的b3,b4,b5依次為7-d,10,18+d. 依題意,有(7-d)(18+d)=100, 解得d=2或d=-13(舍去). 故{bn}的第3項為5,公比為2. 由b3=b122,即5=b122,解得

31、b1=. 所以{bn}是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,其通項公式為bn=2n-1=52n-3. (2)證明:由(1)得數(shù)列{bn}的前n項和Sn==52n-2-,即Sn+=52n-2. 所以S1+=,==2. 因此是以為首項,公比為2的等比數(shù)列. 課標(biāo)理數(shù)18.D3[2011江西卷] 已知兩個等比數(shù)列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若a=1,求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{an}唯一,求a的值. 課標(biāo)理數(shù)18.D3[2011江西卷] 【解答】 (1)設(shè){an}的公比為q,則b1=1+a=2,b2=

32、2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2, 由b1,b2,b3成等比數(shù)列得(2+q)2=2(3+q2), 即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-, 所以{an}的通項公式為an=(2+)n-1或an=(2-)n-1. (2)設(shè){an}的公比為q,則由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0,(*) 由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有兩個不同的實根, 由{an}唯一,知方程(*)必有一根為0,代入(*)得a=. 課標(biāo)文數(shù)5.D3[2011遼寧卷] 若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n,則公比為(  ) A.2

33、 B.4 C.8 D.16 課標(biāo)文數(shù)5.D3[2011遼寧卷] B 【解析】 由于anan+1=16n,又an-1an=16n-1,所以=q2=16,又由anan+1=16n知an>0,所以q=4. 課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011課標(biāo)全國卷] 已知等比數(shù)列{an}中,a1=,公比q=. (1)Sn為{an}的前n項和,證明:Sn=; (2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列{bn}的通項公式. 課標(biāo)文數(shù)17.D2,D3[2011課標(biāo)全國卷] 【解答】 (1)因為an=n-1=, Sn==, 所以Sn=. (2)bn=log3a1+log3

34、a2+…+log3an =-(1+2+…+n) =-. 所以{bn}的通項公式為bn=-. 大綱文數(shù)9.D3[2011四川卷] 數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則a6=(  ) A.344 B.344+1 C.44 D.44+1 大綱文數(shù)9.D3[2011四川卷] A 【解析】 由an+1=3Sn?Sn+1-Sn=3Sn?Sn+1=4Sn,所以數(shù)列{Sn}是首項為1,公比為4的等比數(shù)列,所以Sn=4n-1,所以a6=S6-S5=45-44=344,所以選擇A. 大綱理數(shù)11.D2[2011重慶卷] 在等差數(shù)列{an}中,a3+a

35、7=37,則a2+a4+a6+a8=________. 大綱理數(shù)11.D2[2011重慶卷] 74 【解析】 由a3+a7=37,得(a1+2d)+(a1+6d)=37,即2a1+8d=37.∴a2+a4+a6+a8=(a1+d)+(a1+3d)+(a1+5d)+(a1+7d)=2(2a1+8d)=74. 課標(biāo)文數(shù)7.D4[2011安徽卷] 若數(shù)列{an}的通項公式是an=(-1)n(3n-2),則a1+a2+…+a10=(  ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 課標(biāo)文數(shù)7.D4[2011安徽卷] A 【解析】 a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-

36、1)10(310-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9(39-2)+(-1)10(310-2)]=35=15. 課標(biāo)文數(shù)21.D3,D4[2011安徽卷] 在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù),使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這n+2個數(shù)的乘積記作Tn,再令an=lgTn,n≥1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=tanantanan+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 課標(biāo)文數(shù)21.D3,D4[2011安徽卷] 本題考查等比和等差數(shù)列,指數(shù)和對數(shù)的運算,兩角差的正切公式等基本知識,考查靈活運用知識解決問題的能力,綜合運算能力和創(chuàng)新思維能力. 【解

37、答】 (1)設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等比數(shù)列,其中t1=1,tn+2=100,則 Tn=t1t2…tn+1tn+2,① Tn=tn+2tn+1…t2t1.② ①②并利用titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2),得 T=(t1tn+2)(t2tn+1)…(tn+1t2)(tn+2t1)=102(n+2), ∴an=lgTn=n+2,n≥1. (2)由題意和(1)中計算結(jié)果,知 bn=tan(n+2)tan(n+3),n≥1. 另一方面,利用tan1=tan[(k+1)-k]=. 得tan(k+1)tank=-1. 所以Sn=bk=tan(k+1)tank

38、 = =-n. 課標(biāo)理數(shù)18.D3,D4[2011安徽卷] 在數(shù)1和100之間插入n個實數(shù),使得這n+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這n+2個數(shù)的乘積記作Tn,再令an=lgTn,n≥1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=tanantanan+1,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 課標(biāo)理數(shù)18.D3,D4[2011安徽卷] 【解析】 本題考查等比和等差數(shù)列,對數(shù)和指數(shù)的運算,兩角差的正切公式等基本知識,考查靈活運用基本知識解決問題的能力,運算求解能力和創(chuàng)新思維能力. 【解答】 (1)設(shè)t1,t2,…,tn+2構(gòu)成等比數(shù)列,其中t1=1,tn+2=100,則

39、 Tn=t1t2…tn+1tn+2,① Tn=tn+2tn+1…t2t1,② ①②并利用titn+3-i=t1tn+2=102(1≤i≤n+2),得 T=(t1tn+2)(t2tn+1)…(tn+1t2)(tn+2t1)=102(n+2). ∴an=lgTn=n+2,n≥1. (2)由題意和(1)中計算結(jié)果,知 bn=tan(n+2)tan(n+3),n≥1, 另一方面,利用 tan1=tan[(k+1)-k]=, 得tan(k+1)tank=-1. 所以Sn=k=an(k+1)tank = =-n. 大綱理數(shù)20.D2,D4[2011全國卷] 設(shè)數(shù)列{an}滿足

40、a1=0且-=1. (1)求{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=,記Sn=k,證明:Sn<1. 大綱理數(shù)20.D2,D4[2011全國卷] 【解答】 (1)由題設(shè)-=1, 即是公差為1的等差數(shù)列. 又=1,故=n. 所以an=1-. (2)證明:由(1)得 bn===-, ∴Sn=bk==1-<1. 課標(biāo)文數(shù)20.D4[2011湖南卷] 某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M,M的價值在使用過程中逐年減少,從第2年到第6年,每年初M的價值比上年初減少10萬元;從第7年開始,每年初M的價值為上年初的75%. (1)求第n年初M的價值an的表達(dá)式; (2)

41、設(shè)An=.若An大于80萬元,則M繼續(xù)使用,否則須在第n年初對M更新.證明:須在第9年初對M更新. 課標(biāo)文數(shù)20.D4[2011湖南卷] 【解答】 (1)當(dāng)n≤6時,數(shù)列{an}是首項為120,公差為-10的等差數(shù)列. an=120-10(n-1)=130-10n; 當(dāng)n≥6時,數(shù)列{an}是以a6為首項,公比為的等比數(shù)列,又a6=70,所以an=70n-6. 因此,第n年初,M的價值an的表達(dá)式為 an= (2)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,由等差及等比數(shù)列的求和公式得 當(dāng)1≤n≤6時,Sn=120n-5n(n-1), An=120-5(n-1)=125-5n; 當(dāng)n≥

42、7時,由于S6=570,故 Sn=S6+(a7+a8+…+an)=570+704=780-210n-6, An=, 因為{an}是遞減數(shù)列,所以{An}是遞減數(shù)列.又 A8==82>80, A9==76<80, 所以須在第9年初對M更新. 課標(biāo)理數(shù)5.D4[2011江西卷] 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1.那么a10=(  ) A.1 B.9 C.10 D.55 課標(biāo)理數(shù)5.D4[2011江西卷] A 【解析】 方法一:由Sn+Sm=Sn+m,得S1+S9=S10, ∴a10=S10-S9=S1=a1=1,故選A. 方法二:

43、 ∵S2=a1+a2=2S1,∴a2=1, ∵S3=S1+S2=3,∴a3=1, ∵S4=S1+S3=4,∴a4=1, 由此歸納a10=1,故選A. 課標(biāo)理數(shù)17.D4[2011遼寧卷] 已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)求數(shù)列的前n項和. 課標(biāo)理數(shù)17.D4[2011遼寧卷] 【解答】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由已知條件可得解得 故數(shù)列{an}的通項公式為an=2-n. (2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn,即Sn=a1++…+,故S1=1, =++…+. 所以,當(dāng)n>1時, =a1++…+-

44、 =1-- =1-- =, 所以Sn=. 綜上,數(shù)列的前n項和Sn=. 課標(biāo)理數(shù)14.D4[2011陜西卷] 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米,開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小,這個最小值為________(米). 課標(biāo)理數(shù)14.D4[2011陜西卷] 2000 【解析】 樹苗放在10或11號坑,則其余的十九人一次走過的路程為90,80,70,60,…,80,90,100,則和為s=2=2000,若放在11號坑,結(jié)果一樣. 課標(biāo)理數(shù)19.B11,D4[2011

45、陜西卷] 圖1-11 如圖1-11,從點P1(0,0)作x軸的垂線交曲線y=ex于點Q1(0,1),曲線在Q1點處的切線與x軸交于點P2.現(xiàn)從P2作x軸的垂線交曲線于點Q2,依次重復(fù)上述過程得到一系列點:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,記Pk點的坐標(biāo)為(xk,0)(k=1,2,…,n). (1)試求xk與xk-1的關(guān)系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|. 課標(biāo)理數(shù)19.B11,D4[2011陜西卷] 【解答】 (1)設(shè)Pk-1(xk-1,0),由y′=ex得Qk-1(xk-1,exk-1)點處切線方程為y-exk-1

46、=exk-1(x-xk-1), 由y=0得xk=xk-1-1(2≤k≤n). (2)由x1=0,xk-xk-1=-1,得xk=-(k-1), 所以|PkQk|=exk=e-(k-1),于是 Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn| =1+e-1+e-2+…+e-(n-1)==. 課標(biāo)文數(shù)10.D4[2011陜西卷] 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米,開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號,為使各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小,樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為(  ) A

47、.①和? B.⑨和⑩ C.⑨和? D.⑩和? 課標(biāo)文數(shù)10.D4[2011陜西卷] D 【解析】 從實際問題中考慮將樹苗放在最中間的坑旁邊,則每個人所走的路程和最小,一共20個坑,為偶數(shù),在中間的有兩個坑為10和11號坑,故答案選D. 課標(biāo)文數(shù)19.B11,D4[2011陜西卷] 【解答】 (1)設(shè)Pk-1(xk-1,0),由y′=ex得Qk-1(xk-1,exk-1)點處切線方程為y-exk-1=exk-1(x-xk-1), 由y=0得xk=xk-1-1(2≤k≤n). (2)由x1=0,xk-xk-1=-1,得xk=-(k-1), 所以|PkQk|=exk=e-(k-

48、1),于是 Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn| =1+e-1+e-2+…+e-(n-1)==. 大綱文數(shù)16.D4[2011重慶卷] 設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通項公式; (2)設(shè){bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn. 大綱文數(shù)16.D4[2011重慶卷] 【解答】 (1)設(shè)q為等比數(shù)列{an}的公比,則由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因此q=2. 所以{an}的通項為an=22n-1=2

49、n(n∈N*). (2)Sn=+n1+2 =2n+1+n2-2. 課標(biāo)理數(shù)20.D5,A3[2011北京卷] 若數(shù)列An:a1,a2,…,an(n≥2)滿足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1),則稱An為E數(shù)列.記S(An)=a1+a2+…+an. (1)寫出一個滿足a1=a5=0,且S(A5)>0的E數(shù)列A5; (2)若a1=12,n=2000.證明:E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2011; (3)對任意給定的整數(shù)n(n≥2),是否存在首項為0的E數(shù)列An,使得S(An)=0?如果存在,寫出一個滿足條件的E數(shù)列An;如果不存在,說明理由. 課標(biāo)理數(shù)20.

50、D5,A3[2011北京卷] 【解答】 (1)0,1,2,1,0是一個滿足條件的E數(shù)列A5. (答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個滿足條件的E數(shù)列A5) (2)必要性:因為E數(shù)列An是遞增數(shù)列, 所以ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999). 所以An是首項為12,公差為1的等差數(shù)列. 所以a2000=12+(2000-1)1=2011. 充分性:由于a2000-a1999≤1, a1999-a1998≤1, …… a2-a1≤1, 所以a2000-a1≤1999,即a2000≤a1+1999. 又因為a1=12,a2000=2011, 所以a2000=a1+

51、1999, 故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999),即E數(shù)列An是遞增數(shù)列. 綜上,結(jié)論得證. (3)令ck=ak+1-ak(k=1,2,…,n-1),則ck=1, 因為a2=a1+c1, a3=a1+c1+c2, …… an=a1+c1+c2+…+cn-1, 所以S(An)=na1+(n-1)c1+(n-2)c2+(n-3)c3+…+cn-1 =(n-1)+(n-2)+…+1-[(1-c1)(n-1)+(1-c2)(n-2)+…+(1-cn-1)] =-[(1-c1)(n-1)+(1-c2)(n-2)+…+(1-cn-1)].  因為ck=1,所以1-ck

52、為偶數(shù)(k=1,2,…,n-1), 所以(1-c1)(n-1)+(1-c2)(n-2)+…+(1-cn-1)為偶數(shù), 所以要使S(An)=0,必須使為偶數(shù), 即4整除n(n-1),亦即n=4m或n=4m+1(m∈N*). 當(dāng)n=4m(m∈N*)時,E數(shù)列An的項滿足a4k-1=a4k-3=0,a4k-2=-1,a4k=1(k=1,2,…,m)時,有a1=0,S(An)=0; 當(dāng)n=4m+1(m∈N*)時,E數(shù)列An的項滿足a4k-1=a4k-3=0,a4k-2=-1,a4k=1(k=1,2,…,m),a4m+1=0時,有a1=0,S(An)=0; 當(dāng)n=4m+2或n=4m+3(m∈

53、N*)時,n(n-1)不能被4整除,此時不存在E數(shù)列An,使得a1=0,S(An)=0. 課標(biāo)理數(shù)20.D5[2011廣東卷] 設(shè)b>0,數(shù)列{an}滿足a1=b,an=(n≥2). (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)證明:對于一切正整數(shù)n,an≤+1. 課標(biāo)理數(shù)20.D5[2011廣東卷] 【解答】 (1)由a1=b>0,知an=>0,=+. 令A(yù)n=,A1=, 當(dāng)n≥2時,An=+An-1 =++…++A1 =++…++. ①當(dāng)b≠2時, An==; ②當(dāng)b=2時,An=. ∴an= (2)證明:當(dāng)b≠2時,欲證an=≤+1,只需證nbn≤,即證(2n+

54、1+bn+1)≥n2n+1bn. 而(2n+1+bn+1)=(2n+1+bn+1)(bn-1+2bn-2+…+2n-1) =2n+1bn-1+2n+2bn-2+…+22n+b2n+2b2n-1+…+2n-1bn+1 =2nbn >2nbn(2+2+…+2)=2n2nbn=n2n+1bn, ∴an=<1+. 當(dāng)b=2時,an=2=+1. 綜上所述,an≤+1. 課標(biāo)文數(shù)20.D5,E7[2011廣東卷] 設(shè)b>0,數(shù)列{an}滿足a1=b,an=(n≥2). (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)證明:對于一切正整數(shù)n,2an≤bn+1+1. 課標(biāo)文數(shù)20.D

55、5,E7[2011廣東卷] 【解答】 (1)由a1=b>0,知an=>0, =+. 令A(yù)n=,A1=, 當(dāng)n≥2時,An=+An-1 =+…++A1 =+…++. ①當(dāng)b≠1時,An==, ②當(dāng)b=1時,An=n. ∴an= (2)證明:當(dāng)b≠1時,欲證2an=≤bn+1+1,只需證2nbn≤(bn+1+1). ∵(bn+1+1)=b2n+b2n-1+…+bn+1+bn-1+bn-2+…+1 =bn >bn(2+2+…+2) =2nbn, ∴2an=<1+bn+1. 當(dāng)b=1時,2an=2=bn+1+1. 綜上所述2an≤bn+1+1. 課標(biāo)文數(shù)21.D5

56、[2011江西卷] (1)已知兩個等比數(shù)列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3,若數(shù)列{an}唯一,求a的值; (2)是否存在兩個等比數(shù)列{an},{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數(shù)列?若存在,求{an},{bn}的通項公式;若不存在,說明理由. 課標(biāo)文數(shù)21.D5[2011江西卷] 【解答】 (1)設(shè){an}的公比為q,則b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2, 由b1,b2,b3成等比數(shù)列得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2), 即aq2-4aq+3a-1=0. 由a>

57、0得Δ=4a2+4a>0,故方程有兩個不同的實根, 再由{an}唯一,知方程必有一根為0, 將q=0代入方程得a=. (2)假設(shè)存在兩個等比數(shù)列{an},{bn}使b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數(shù)列,設(shè){an}的公比為q1,{bn}的公比為q2, 則b2-a2=b1q2-a1q1, b3-a3=b1q-a1q, b4-a4=b1q-a1q, 由b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成等差數(shù)列得 即 ①q2-②得a1(q1-q2)(q1-1)2=0. 由a1≠0得q1=q2或q1=1, i)當(dāng)q1=q2時,由①②得b1=a1或q

58、1=q2=1,這時(b2-a2)-(b1-a1)=0,與公差不為0矛盾; ii)當(dāng)q1=1時,由①②得b1=0或q2=1,這時(b2-a2)-(b1-a1)=0,與公差不為0矛盾. 綜上所述,不存在兩個等比數(shù)列{an},{bn}使b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數(shù)列. 課標(biāo)理數(shù)17.D5[2011課標(biāo)全國卷] 等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a=9a2a6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數(shù)列的前n項和. 課標(biāo)理數(shù)17.D5[2011課標(biāo)全國卷] 【解答】 (

59、1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由a=9a2a6得a=9a,所以q2=. 由條件可知q>0,故q=. 由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=. 故數(shù)列{an}的通項公式為an=. (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an =-(1+2+…+n) =-. 故=-=-2, ++…+=-2++…+=-. 所以數(shù)列的前n項和為-. 課標(biāo)理數(shù)20.D5[2011山東卷] 等比數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3

60、2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足:bn=an+(-1)nlnan,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 課標(biāo)理數(shù)20.D5[2011山東卷] 【解答】 (1)當(dāng)a1=3時,不合題意; 當(dāng)a1=2時,當(dāng)且僅當(dāng)a2=6,a3=18時,符合題意; 當(dāng)a1=10時,不合題意. 因此a1=2,a2=6,a3=18, 所以公比q=3, 故an=23n-1. (2)因為bn=an+(-1)nlnan =23n-1+(-1)nln(23n-1) =23n-1+(-1)n[ln2+(n-1)ln3]

61、 =23n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3, 所以 Sn=2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)nn]ln3. 所以 當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn=2+ln3 =3n+ln3-1; 當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn=2-(ln2-ln3)+ln3 =3n-ln3-ln2-1. 綜上所述,Sn= 課標(biāo)文數(shù)20.D5[2011山東卷] 等比數(shù)列{an}中,a1,a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且a1,a2,a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3

62、 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足:bn=an+(-1)nlnan,求數(shù)列{bn}的前2n項和S2n. 課標(biāo)文數(shù)20.D5[2011山東卷] 【解答】 (1)當(dāng)a1=3時,不合題意; 當(dāng)a1=2時,當(dāng)且僅當(dāng)a2=6,a3=18時,符合題意; 當(dāng)a1=10時,不合題意. 因此a1=2,a2=6,a3=18,所以公比q=3. 故an=23n-1. (2)因為bn=an+(-1)nlnan =23n-1+(-1)nln(23n-1) =23n-1+(-1)n[ln2+(n-1)ln

63、3] =23n-1+(-1)n(ln2-ln3)+(-1)nnln3, 所以S2n=b1+b2+…+b2n =2(1+3+…+32n-1)+[-1+1-1+…+(-1)2n](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)2n2n]ln3 =2+nln3 =32n+nln3-1. 課標(biāo)數(shù)學(xué)13.D5[2011江蘇卷] 設(shè)1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比為q的等比數(shù)列,a2,a4,a6成公差為1的等差數(shù)列,則q的最小值是________. 課標(biāo)數(shù)學(xué)13.D5[2011江蘇卷]  【解析】 記a2=m,則1≤m≤q≤m+1≤q2≤m+2≤q3, 要q取

64、最小值,則m必定為1,于是有1≤q≤2,2≤q2≤3,3≤q3,所以q≥. 課標(biāo)數(shù)學(xué)20.D5[2011江蘇卷] 設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合,數(shù)列{an}的首項a1=1,前n項的和為Sn,已知對任意的整數(shù)k∈M,當(dāng)整數(shù)n>k時,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立. (1)設(shè)M={1},a2=2,求a5的值; (2)設(shè)M={3,4},求數(shù)列{an}的通項公式. 課標(biāo)數(shù)學(xué)20.D5[2011江蘇卷] 本題考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查考生分析探究及邏輯推理的能力. 【解答】 (1)由題設(shè)知,當(dāng)n≥2時,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),

65、即(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1. 從而an+1-an=2a1=2. 又a2=2,故當(dāng)n≥2時,an=a2+2(n-2)=2n-2. 所以a5的值為8. (2)由題設(shè)知,當(dāng)k∈M={3,4}且n>k時,Sn+k+Sn-k=2Sn+2Sk且Sn+1+k+Sn+1-k=2Sn+1+2Sk,兩式相減得an+1+k+an+1-k=2an+1,即an+1+k-an+1=an+1-an+1-k.所以當(dāng)n≥8時,an-6,an-3,an,an+3,an+6成等差數(shù)列,且an-6,an-2,an+2,an+6也成等差數(shù)列. 從而當(dāng)n≥8時,2an=an+3+an-3=an+6+an-6,(*) 且an+6+an-6=an+2+an-2,所以當(dāng)n≥8時,2an=an+2+an-2,即an+2-an=an-an-2,于是當(dāng)n≥9時,an-3,an-1,an+1,an+3成等差數(shù)列,從而an+3+an-3=an+1+an-1,故由(*)式知2an=an+1+an-1,即an+1-an=an-an-1. 當(dāng)n≥9時,設(shè)d=an-an-1. 當(dāng)2≤m≤8時,m+6≥8,從而由(*)式知2am+6=am+am+12,故2am+7=am+1+am+13. 從而

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