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1、導(dǎo)數(shù)是微分學的核心概念, 是研究函數(shù),1 導(dǎo)數(shù)的概念,一、導(dǎo)數(shù)的概念,化率”, 就離不開導(dǎo)數(shù).,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,二、導(dǎo)函數(shù),態(tài)的有力工具. 無論何種學科, 只要涉及“變,與自變量關(guān)系的產(chǎn)物, 又是深刻研究函數(shù)性,返回,一、導(dǎo)數(shù)的概念,一般認為, 求變速運動的瞬時速度，求已知曲線,別在研究瞬時速度和曲線的,牛頓 ( 16421727, 英國 ),兩個關(guān)于導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典例子.,切線時發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的. 下面是,微分學產(chǎn)生的三個源頭. 牛頓和萊布尼茨就是分,上一點處的切線，求函數(shù)的最大、最小值，這是,1. 瞬時速度 設(shè)一質(zhì)點作直線運動, 質(zhì)點的位置 s 是,當 t 越來越接近 t0 時，平均速度就越來越接
2、近 t0,時間 t 的函數(shù), 即其運動規(guī)律是 則在某,(1),時刻的瞬時速度. 嚴格地說, 當極限,時刻 t0 及鄰近時刻 t 之間的平均速度是,2. 切線的斜率 如圖所示,,存在時, 這個極限就是質(zhì)點在 t0 時刻的瞬時速度.,其上一點 P( x0, y0 ) 處的切線,點擊上圖動畫演示,,點 Q , 作曲線的割線 PQ ，這,PT. 為此我們在 P 的鄰近取一,需要尋找曲線 y = f (x) 在,條割線的斜率為,答: 它就是曲線在點 P 的切線 PT 的斜率.,的極限若存在，則這個極限,會是什么呢？,設(shè)想一下,當動點 Q 沿此曲線無限接近點 P 時，,(2),上面兩個問題雖然出發(fā)
3、點相異，但都可歸結(jié)為同,x0 處關(guān)于 x 的瞬時變化率(或簡稱變化率).,均變化率，增量比的極限 (如果存在) 稱為 f 在點,的極限. 這個增量比稱為函數(shù) f 關(guān)于自變量的平,D y = f (x) f (x0) 與自變量增量 D x = x xo 之比,一類型的數(shù)學問題： 求函數(shù) f 在點 x0 處的增量,定義1 設(shè)函數(shù) y =f (x) 在點 x0 的某鄰域內(nèi)有定,義，如果極限,存在, 則稱函數(shù) f 在點 x0 可導(dǎo), 該極限稱為 f 在,如果令 Dx = x x0, Dy = f (x0 +Dx) f (x0), 導(dǎo)數(shù)就,x0 的導(dǎo)數(shù)，記作,可以寫成,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù)
4、,在點,,存在,,并稱此極限為,記作:,即,則稱函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義 ,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,這說明導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量 D y 與自變量增量 D x之比,的極限,即就是 f (x) 關(guān)于 x 在 x0 處的變化,點 x0 不可導(dǎo).,率. 如果 (3) 或 (4) 式的極限不存在, 則稱 在,在點,的某個右 鄰域內(nèi),五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù),若極限,則稱此極限值為,在 處的右 導(dǎo)數(shù),,記作,即,(左),(左),,,,,定義2 . 設(shè)函數(shù),有定義,,存在,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理2. 函數(shù),在點,且,,存在,,,簡寫為,可導(dǎo)的充分必要條件,是,機動 目錄 上頁
5、下頁 返回 結(jié)束,例3 證明函數(shù) f (x) = | x | 在 x = 0 處不可導(dǎo).,證 因為,處不可導(dǎo).,例4 證明函數(shù),在 x = 0 處不可導(dǎo).,不存在極限,所以 f 在 x = 0 處不可導(dǎo).,證 因為當 時,,四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理1.,證:,設(shè),在點 x 處可導(dǎo),,存在 ,,因此必有,其中,故,,所以函數(shù),在點 x 連續(xù) .,注意: 函數(shù)在點 x 連續(xù)未必可導(dǎo).,反例:,,,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).,即,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理5.1 如果函數(shù) f 在點 x0 可導(dǎo), 則 f 在點 x0,連續(xù).,值得注意的是函數(shù)在某點連續(xù)僅
6、是函數(shù)在該點可,其中 D(x) 是熟知的狄利克雷函數(shù).,例5 證明函數(shù) 僅在 x = 0 處可導(dǎo),,處連續(xù)，卻不可導(dǎo).,導(dǎo)的必要條件. 如例3、例4 中的函數(shù)均在 x = 0,不連續(xù), 由定理 5.1, f (x) 在點 x0 不可導(dǎo).,由于導(dǎo)數(shù)是一種極限, 因此如同左、右極限那樣,,證 當時,用歸結(jié)原理容易證明 f (x) 在點 x0,可以定義左、右導(dǎo)數(shù) ( 單側(cè)導(dǎo)數(shù) ).,二、導(dǎo)函數(shù),如果函數(shù) f 在區(qū)間 I 上的每一點都可導(dǎo) (對于區(qū)間,(7),定義了一個在區(qū)間 I 上的函數(shù)，稱為 f 在 I 上的,則稱 f 為區(qū)間 I 上的可導(dǎo)函數(shù). 此時, 對 I 上的任,端點考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù), 如左端點考慮右導(dǎo)數(shù)) ,,三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,若,曲線過,上升;,若,曲線過,下降;,若,切線與 x 軸平行,,稱為駐點;,若,切線與 x 軸垂直 .,切線方程:,法線方程:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,例1. 求函數(shù),(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù).,解:,即,例2. 求函數(shù),解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,說明：,對一般冪函數(shù),( 為常數(shù)),例如，,（以后將證明）,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解:,則,即,類似可證得,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,
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