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1、重點難點 重點：用向量方法討論空間中的平行、垂直關系和求空間的角、距離 難點：將立體幾何問題轉化為向量問題,知識歸納 一、空間的角 空間中的角包括兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等這些角都是通過兩條射線所成的角來定義的，因而這些角的計算方法，都是轉化為平面內線與線所成的角來計算的確切地說，是“化歸”到一個三角形中，通過解三角形求其大小,3二面角的平面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖形叫做二面角以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角的二面角叫做直二面角 作二面角的平面角的常用方法有： (1)定義法：
2、根據(jù)定義，以棱上任一點為端點，分別在兩個半平面內作垂直于棱的兩條射線，則形成二面角的平面角,(2)三垂線法：從二面角一個面內某個特殊點P作另一個面的垂線，過垂足A作二面角棱的垂線，垂足為B，連結PB，由三垂線定理得PB與棱垂直，于是PBA是二面角的平面角(或其補角) (3)垂面法：過二面角的棱上一點作平面與棱垂直，分別與兩個面的交線，構成二面角的平面角,二、空間的距離 1(1)兩點間的距離連結兩點的線段的長度 (2)點到直線的距離從直線外一點向直線引垂直相交的直線，點到垂足之間線段的長度 (3)點到平面的距離從平面外一點向平面引垂線，點到垂足間線段的長度 連接平面外一點與平面內任一點的線段中，
3、垂線段最短 (4)平行直線間的距離從兩條平行線中一條上任意取一點向另一條直線引垂線，這點到垂足間線段的長度,(5)異面直線間的距離兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段的長度 (6)直線與平面間的距離如果一條直線和一個平面平行，從直線上任意一點向平面引垂線，這點到垂足間線段的長度 (7)兩平行平面間的距離兩個平面的公垂線段的長度,2求距離的一般方法和步驟 求距離的思想方法和步驟與求角相似，其基本步驟是： 找出或作出有關距離的圖形； 證明它符合定義； 在平面圖形內計算 空間中各種距離的計算，最終都要轉化為線段長度，特殊情況也可以利用等積法,四、平面的法向量與平面的向量表示 1如果向量a的
4、基線與平面垂直，則a稱作平面的法向量,五、其它有關問題 1在求立體幾何中線段的長度時，利用aa|a|2. 2求平面的法向量的方法,誤區(qū)警示 1建立坐標系一定要符合右手系原則 2注意一個向量在另一個向量上的投影的數(shù)量的求法及與距離的關系 3平面的法向量與直線的方向向量在求空間的角中起著關鍵作用，要注意向量的夾角與各種角的聯(lián)系與區(qū)別,一、向量在研究空間直線與平面位置關系中的應用 運用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題時，一般步驟為：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；求出相關點的坐標；寫出向量的坐標；結合公式進行論證，計算；轉化為幾何結論 借助空間向量可將立體幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題轉化為向量的
5、坐標運算，如： 1用向量方法研究兩直線間的有關位置關系 設直線l1、l2的方向向量分別為a、b. (1)l1l2或l1與l2重合ab存在實數(shù)t，使atb. (2)l1l2abab0.,2用向量方法研究直線與平面的有關位置關系 設直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，v1、v2是與平行的兩個不共線向量 (1)l或l存在兩個實數(shù)、，使av1v2an0. (2)lan存在實數(shù)t，使atn.,3用向量方法研究兩個平面的位置關系 設平面、的法向量分別為n1、n2. (1)或與重合n1n2存在實數(shù)t，使n1tn2. (2)n1n2n1n20. 若v1、v2是與平行的兩個不共線向量，n是平面的法向量 則或
6、與重合v1且v2存在實數(shù)、，對內任一向量a，有av1v2.,二、用向量法求空間角 1求異面直線所成的角 設l1與l2是兩異面直線，a、b分別為l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角為，則a，b與相等或互補，,三、用向量法求空間距離 1求點到平面的距離,例1如圖，兩個邊長為1的正方形ABCD與正方形ABEF有公共邊AB，EBC90，M、N分別是BD、AE上的點，且ANDM.求證：MN平面EBC.,(2)證明直線l平面時， 可取直線l的方向向量a與平面的法向量n，證明an0； 可在平面內取基向量e1，e2，證明直線l的方向向量a1e12e2，然后說明l不在平面內即可；,多面體的直觀圖及三視圖分別
7、如圖所示已知點M在AC上，點N在DE上，且AMMCDNNEa. 求證：MN平面BCEF.,MN平面BCEF，MN平面BCEF. 自己再建立空間直角坐標系，用坐標法證明.,例2在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AB和BC的中點，試在棱B1B上找一點M，使得D1M平面EFB1.,證明：分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Dxyz，,點評：證明直線 l1與l2垂直時，取l1、l2的方向向量a、b，證明ab0. 證明直線l與平面垂直時，取的法向量n，l的方向向量a，證明an. 或取平面內的兩相交直線的方向向量a、b與直線l的方向向量e，證明ae
8、0，be0. 證明平面與垂直時，取、的法向量n1、n2，證明n1n20.或取一個平面的法向量n，在另一個平面內取基向量e1，e2，證明ne1e2.,已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E、F、G分別是BB1、DD1、DC的中點， (1)求證：平面ADE平面B1C1F； (2)求證：平面ADE平面A1D1G； (3)在AE上求一點M，使得A1M平面DAE.,取y11，z12，n1(0,1，2) 同理可求n2(0,1，2) n1n2，平面ADE平面B1C1F.,例3如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(),分析：正四棱柱容易建立
9、坐標系，求出點的坐標，故用坐標法求解,答案：D,(2010衡水市?？?正四棱錐PABCD的所有棱長相等，E為PC的中點，那么異面直線BE與PA所成角的余弦值等于(),答案：D,可連結AC，取AC中點O，則EOPA，BEO為所求角，通過解BEO求得.,例4(2010湖南理)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點 (1)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F平面A1BE？證明你的結論,這說明在棱C1D1上存在一點F(F為C1D1的中點)，使B1F平面A1BE.,解法2：(1)如圖(a)所示，取AA1的中點M，連結EM，
10、BM. 因為E是DD1的中點，四邊形ADD1A1為正方形，所以EMAD. 又在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1， 所以EMABB1A1，從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影， EBM直線BE與平面ABB1A1所成的角 設正方體的棱長為2，則,(2)在棱C1D1上存在點F，使B1F平面A1BE. 事實上，如圖(b)所示，分別取C1D1和CD的中點F，G，連結EG，BG，CD1，F(xiàn)G. 因為A1D1B1C1BC，且A1D1BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，因此D1CA1B. 又E，G分別為D1D，CD的中點，所以EGD1C，從而EGA1B. 這說明A1，B，G
11、，E共面所以BG平面A1BE.,因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點，所以FGC1CB1B，且FGC1CB1B，因此四邊形B1BGF為平行四邊形，所以B1FBG. 而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F平面A1BE. 點評：直線與平面斜交時，直線的方向向量與平面的法向量所成的角，不等于直線與平面所成的角，應弄清它們之間的關系，即sin|cos|.,所以直線CA1與平面A1ABB1所成的角為45. 答案：45,(1)證明：M是側棱SC的中點； (2)求二面角SAMB的余弦值,分析：由條件知AD、CD、SD兩兩垂直，SD與底面矩形的邊長已知，故建
12、立坐標系用坐標法求解比較簡便 (2)可分別求出平面SAM和MAB的一個法向量，利用法向量的夾角與二面角的關系求解,解析：解法1：(1)如圖，以A為坐標原點AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，,(2)PA平面ABCD，PABC， 又ABCD是矩形，ABBC， BC平面BAP，BCPB， 又由(1)知PC平面BEF，直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的夾角， 在PBC中，PBBC，PBC90，PCB45. 所以平面BEF與平面BAP的夾角為45.,例6已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1.求異面直線DA1與AC的距離,例7在正方體ABCDA1B1C1D
13、1中，E、F、G分別為C1D1、B1C1、CC1的中點 (1)求證：平面A1DB平面EFG. (2)求平面A1DB與平面EFG之間的距離 分析：(1)證面面平行，只需證其中一個平面內的兩條相交直線平行于另一個平面 (2)計算面面距離，找公垂線段，求其中一個平面內任一點到另一平面的距離，用“體積法”計算，用空間向量求,解析：(1)證明：以D為原點，直線DA、DC、DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱長均為1，則點B1到平面ABC1的距離為_,1(2010山東濟南)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2，D為AA
14、1上一點,(1)若D為AA1的中點，求證：平面B1CD平面B1C1D； (2)若二面角B1DCC1的大小為60，求AD的長 解析解法一：(1)A1C1B1ACB90， B1C1A1C1， 又由直三棱柱的性質知B1C1CC1， B1C1平面ACC1A1. B1C1CD,由可知CD平面B1C1D， 又CD平面B1CD，故平面B1CD平面B1C1D. (2)由(1)可知B1C1平面ACC1A1，在平面ACC1A1內過C1作C1ECD，交CD或其延長線于E，連接EB1， 由三垂線定理可知B1EC1為二面角B1DCC1的平面角，B1EC160.,解法二：(1)如圖，以C為坐標原點，CA、CB、CC1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1),又DC1C1B1C1，CD平面B1C1D. 又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D.,點評解法二中建立空間直角坐標系后，要證平面B1CD平面B1C1D，可先求出兩個平面的法向量p、q，驗證pq0.,請同學們認真完成課后強化作業(yè),
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