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1、(理)第5節(jié)數學歸納法,.了解數學歸納法的原理.能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題,,,整合主干知識,數學歸納法 一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行： (1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0 (n0N*)時命題成立； (2)(歸納遞推)假設當nk (kN*，kn0)時命題成立，推出當________時命題也成立 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對n取第一個值后面的所有正整數都成立上述證明方法叫做數學歸納法,nk1,質疑探究2：數學歸納法兩個步驟有什么關系？ 提示：數學歸納法證明中的兩個步驟體現了遞推思想，第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據，兩個步驟缺一不可，否則就
2、會導致錯誤 (1)第一步中， 驗算nn0中的n0不一定為1，根據題目要求，有時可為2或3等 (2)第二步中，證明nk1時命題成立的過程中，一定要用到歸納假設，掌握“一湊假設，二湊結論”的技巧,解析：觀察等式左邊的特征易知選C. 答案：C,解析：因為假設nk(k2且k為偶數)，故下一個偶數為k2. 答案：B,解析：從n到n2共有n2n1個數， 所以f(n)中共有n2n1項 答案：D,4凸k邊形內角和為f(k)，則凸k1邊形的內角和為f(k1)f(k)________. 解析：易得f(k1)f(k). 答案：,答案：2k,,聚集熱點題型,用數學歸納法證明等式,拓展提高(1)用數學歸納法證明等式問題
3、是常見題型，其關鍵點在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是幾； (2)由nk到nk1時，除等式兩邊變化的項外還要充分利用nk時的式子，即充分利用假設，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明,,用數學歸納法證明不等式,拓展提高(1)用數學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結論，常用數學歸納法證明 (2)用數學歸納法證明不等式的關鍵是由nk時成立得nk1時成立，主要方法有放縮法；利用均
4、值不等式法；作差比較法等,,典例賞析3 用數學歸納法證明42n13n2能被13整除，其中n為正整數 思路索引當nk1時，把42(k1)13k3配湊成42k13k2的形式是解題的關鍵 證明(1)當n1時，421131291能被13整除(2)假設當nk時，42k13k2能被13整除，則當nk1時，,用數學歸納法證明整除性問題,方法一42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)， 42k113能被13整除，42k13k2能被13整除42(k1)13k3能被13整除 方法二因為42(k1)13k33(42k13k2) (42k1423k23)3(42k1
5、3k2) 42k113， 42k113能被13整除， 42(k1)13k33(42k13k2)能被13整除，因而42(k1)13k3能被13整除， 當nk1時命題也成立， 由(1)(2)知，當nN*時，42n13n2能被13整除,拓展提高用數學歸納法證明整除問題，P(k)P(k1)的整式變形是個難點，找出它們之間的差異，然后將P(k1)進行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運用結論：“P(k)能被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除”,變式訓練 3已知n為正整數，aZ，用數學歸納法證明：an1(a1)2n1能被a2a1整除 證明：(1)當n1時，an1(a1)2n1a2a1，
6、能被a2a1整除 (2)假設nk時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么當nk1時，ak2(a1)2k1 (a1)2ak1(a1)2k1ak2ak1(a1)2 (a1)2ak1(a1)2k1ak1(a2a1)能被a2a1整除,即當nk1時命題也成立 根據(1)(2)可知，對于任意nN*，an1(a1)2n1能被a2a1整除,思路索引關鍵是搞清nk到nk1時對角線增加的條數，看頂點的變化可知對角線的變化從而可解 證明因為三角形沒有對角線， 所以n3時，f(3)0，命題成立,用數學歸納法證明幾何問題,拓展提高用數學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k1個時，所證的幾何量
7、將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析；事實 上，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數學歸納法證明幾何問題的一大技巧.,,變式訓練 4平面上有n個圓，每兩圓交于兩點，每三圓不過同一點，求證這n個圓分平面為n2n2個部分 證明：(1)當n1時，n2n21122，而一圓把平面分成兩部分，所以n1命題成立 (2)設nk時，k個圓分平面為k2k2個部分，則nk1時，第k1個圓與前k個圓有2k個交點，這2k個交點分第k1個圓為2k段，每一段都將原來所在的平面一分為二，故增加了2k個平面塊，共有(k2k2)2k(k1)2(k1)2個部分對nk1也成立,由(1)
8、(2)可知，這n個圓分割平面為n2n2個部分,備課札記 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________,,提升學科素養(yǎng),(理)歸納、猜想、證明,,審題視角(1)將n1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，從而可猜想an，并用數學歸納法證明 (2)利用分析法，結合x0，y0，xy1，利用基本不等式可證,溫馨提醒(1)利用數學歸納法可以探索與正整數n有關的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現結論，然后經邏輯推理即演繹推理論證結論的正確性 (2)為了正確地猜想an，首先準確求出a1，a2，a3的值,,1一種方法 數學歸納法是一種重要的數學思想方法，主要用于解決與正整數有關的數學命題證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎，步驟(2)是遞推的依據 2兩點注意運用數學歸納法應注意： (1)第一步驗證nn0時，n0不一定為1，要根據題目要求選擇合適的起始值 (2)由nk時命題成立，證明nk1時命題成立的過程中，一定要歸納假設，否則就不是數學歸納法,,
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