《2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識點(diǎn) 數(shù)列、函數(shù)的極限》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識點(diǎn) 數(shù)列、函數(shù)的極限（4頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、數(shù)列的極限
我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。
⑴、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個數(shù)a1，第二個數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個正整數(shù)n對應(yīng)著一個確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng).
注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù)
⑵、極限：極限的概念是求實(shí)際問題的精確解答而產(chǎn)生的。
例：我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。
設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為
2、A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2， A3，…，An，…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，An也無限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，…，An，… 當(dāng)n→∞(讀作n趨近于無窮大)的極限。
注：上面這個例子就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))的割圓術(shù)。
⑶、數(shù)列的極限：一般地，對于數(shù)列來說，若存在任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對于n＞N時的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是
3、數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a .
記作：或
注：此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與a無限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)ε是有關(guān)的，它是隨著ε的給定而選定的。
⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列極限為a的一個幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對應(yīng)點(diǎn)表示出來，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的ε鄰域即開區(qū)間(a-ε，a+ε)，如下圖所示：
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?? 因不等式與不等式等價(jià)，故當(dāng)n＞N時，所有的點(diǎn)都落在開區(qū)間(a-ε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(至
4、多只有N個)在此區(qū)間以外。
注：至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。
⑸、數(shù)列的有界性：對于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。
定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。
注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列? 1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…? 是有界的，但它是發(fā)散的。
函數(shù)的極限
前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面
5、我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.
函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點(diǎn)x0，如果在這時，函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢 ?
下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念!
⑴、函數(shù)的極限(分兩種情況)
a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限
定義：設(shè)函數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對于適合不等式 的一切x，所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式
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那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限，記作：
下面我
6、們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下：
數(shù)列的極限的定義
函數(shù)的極限的定義
存在數(shù)列與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正整數(shù)N，對于n＞N的所有都滿足＜ε則稱數(shù)列，當(dāng)x→∞時收斂于A記：。
存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正數(shù)X，對于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當(dāng)x→∞時的極限為A，記：。
從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ？？試思考之
b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限。我們先來看一個例子.
例：函數(shù)，當(dāng)x→1時函數(shù)值的變化趨勢如何？函數(shù)在x=1處無定義.我們知道對實(shí)數(shù)來講，在數(shù)軸上任何一個有限的范圍內(nèi)，都有無窮多個點(diǎn)，為此我們把x→1時函數(shù)值的變化趨勢用表列出
7、,如下圖:
從中我們可以看出x→1時，→2.而且只要x與1有多接近，就與2有多接近.或說：只要與2只差一個微量ε，就一定可以找到一個δ，當(dāng)＜δ時滿足＜δ定義：設(shè)函數(shù)在某點(diǎn)x0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對任意給定的ε(不論其多么小)，總存在正數(shù)δ，當(dāng)0＜＜δ時，＜ε則稱函數(shù)當(dāng)x→x0時存在極限，且極限為A，記：。
注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻搙→x0的過程，與x=x0出的情況無關(guān)。此定義的核心問題是：對給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。
有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？
???? a):先任取ε＞0；
???? b):寫出不等式＜ε；
????c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能；
??? d):則對于任給的ε＞0，總能找出δ，當(dāng)0＜＜δ時，＜ε成立，因此
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