2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識(shí)點(diǎn) 數(shù)列、函數(shù)的極限

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1、數(shù)列的極限 我們先來(lái)回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的數(shù)列的概念。 ⑴、數(shù)列：若按照一定的法則，有第一個(gè)數(shù)a1，第二個(gè)數(shù)a2，…，依次排列下去，使得任何一個(gè)正整數(shù)n對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的數(shù)an，那末，我們稱這列有次序的數(shù)a1，a2，…，an，…為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)。第n項(xiàng)an叫做數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng). 注：我們也可以把數(shù)列an看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即：an=，它的定義域是全體正整數(shù) ⑵、極限：極限的概念是求實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的。 例：我們可通過(guò)作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。 設(shè)有一圓，首先作圓內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為

2、A2；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形的面積：A1，A2， A3，…，An，…，它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，An也無(wú)限接近某一確定的數(shù)值(圓的面積)，這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1，A2，A3，…，An，… 當(dāng)n→∞(讀作n趨近于無(wú)窮大)的極限。 注：上面這個(gè)例子就是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))的割圓術(shù)。 ⑶、數(shù)列的極限：一般地，對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō)，若存在任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于n＞N時(shí)的一切不等式都成立，那末就稱常數(shù)a是

3、數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于a . 記作：或 注：此定義中的正數(shù)ε只有任意給定，不等式才能表達(dá)出與a無(wú)限接近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任意給定的正數(shù)ε是有關(guān)的，它是隨著ε的給定而選定的。 ⑷、數(shù)列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個(gè)概念，下面我們?cè)俳o出它的一個(gè)幾何解釋，以使我們能理解它。數(shù)列極限為a的一個(gè)幾何解釋：將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)表示出來(lái)，再在數(shù)軸上作點(diǎn)a的ε鄰域即開(kāi)區(qū)間(a-ε，a+ε)，如下圖所示： ????????????????????????? ?? 因不等式與不等式等價(jià)，故當(dāng)n＞N時(shí)，所有的點(diǎn)都落在開(kāi)區(qū)間(a-ε，a+ε)內(nèi)，而只有有限個(gè)(至

4、多只有N個(gè))在此區(qū)間以外。 注：至于如何求數(shù)列的極限，我們?cè)谝院髸?huì)學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。 ⑸、數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列，若存在著正數(shù)M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數(shù)列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說(shuō)數(shù)列是無(wú)界的。 定理：若數(shù)列收斂，那末數(shù)列一定有界。 注：有界的數(shù)列不一定收斂，即：數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數(shù)列? 1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…? 是有界的，但它是發(fā)散的。 函數(shù)的極限 前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取 1→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面

5、我們來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的極限. 函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無(wú)限增大；b)：自變量無(wú)限接近某一定點(diǎn)x0，如果在這時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于某一常數(shù)A，就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)的極值的情況，那么函數(shù)的極限如何呢 ? 下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念! ⑴、函數(shù)的極限(分兩種情況) a):自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 定義：設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)X，使得對(duì)于適合不等式 的一切x，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式 ????????????????????????????????? 那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，記作： 下面我

6、們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下： 數(shù)列的極限的定義 函數(shù)的極限的定義 存在數(shù)列與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正整數(shù)N，對(duì)于n＞N的所有都滿足＜ε則稱數(shù)列，當(dāng)x→∞時(shí)收斂于A記：。 存在函數(shù)與常數(shù)A，任給一正數(shù)ε＞0，總可找到一正數(shù)X，對(duì)于適合的一切x，都滿足，函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)的極限為A，記：。 從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么 ？？試思考之 b):自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限。我們先來(lái)看一個(gè)例子. 例：函數(shù)，當(dāng)x→1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)如何？函數(shù)在x=1處無(wú)定義.我們知道對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)講，在數(shù)軸上任何一個(gè)有限的范圍內(nèi)，都有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，為此我們把x→1時(shí)函數(shù)值的變化趨勢(shì)用表列出

7、,如下圖: 從中我們可以看出x→1時(shí)，→2.而且只要x與1有多接近，就與2有多接近.或說(shuō)：只要與2只差一個(gè)微量ε，就一定可以找到一個(gè)δ，當(dāng)＜δ時(shí)滿足＜δ定義：設(shè)函數(shù)在某點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，且存在數(shù)A，如果對(duì)任意給定的ε(不論其多么小)，總存在正數(shù)δ，當(dāng)0＜＜δ時(shí)，＜ε則稱函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)存在極限，且極限為A，記：。 注：在定義中為什么是在去心鄰域內(nèi)呢？這是因?yàn)槲覀冎挥懻搙→x0的過(guò)程，與x=x0出的情況無(wú)關(guān)。此定義的核心問(wèn)題是：對(duì)給出的ε，是否存在正數(shù)δ，使其在去心鄰域內(nèi)的x均滿足不等式。 有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來(lái)證明函數(shù)的極限為 A，其證明方法是怎樣的呢？ ???? a):先任取ε＞0； ???? b):寫出不等式＜ε； ????c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能； ??? d):則對(duì)于任給的ε＞0，總能找出δ，當(dāng)0＜＜δ時(shí)，＜ε成立，因此