2013高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 考點專練47 文 新人教A版

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1、考點專練(四十七) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．拋物線y＝－4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：拋物線方程可化為x2＝－，其準(zhǔn)線方程為y＝. 設(shè)M(x0，y0)，則由拋物線的定義，可知－y0＝1?y0＝－. 答案：B 2．拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點與雙曲線－＝1的一個焦點重合，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是 (　　) A．x2＝4y B．x2＝－4y C．y2＝－12x D．x2＝－12y 解析：雙曲線焦點為(0，±3)，故拋物線方程為：x2＝±12y.故選D.

2、 答案：D 3．過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有 (　　) A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 解析：結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0)，選C. 答案：C 4．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點)的面積為4，則拋物線方程為 (　　) A．y2＝±4x B．y2＝4x C．y2＝±8x D．y2＝8x 解析：F，直線方程為y＝2，令x＝0，

3、得 A，S△AOF＝|－|·||＝4， ∴a2＝64，∴a＝±8.故選C. 答案：C 5．(2012年鄭州一模)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準(zhǔn)線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為 (　　) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 解析：如圖，分別過A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由拋物線的定義知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°， ∴∠AFx＝60°，連接A

4、1F，則△AA1F為等邊三角形， 過F作FF1⊥AA1于F1，則F1為AA1的中點，設(shè)l交x軸于K，則|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝， ∴拋物線方程為y2＝3x，故選C. 答案：C 6．(2012年山東)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為 (　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 解析：∵－＝1的離心率為2， ∴＝2，即＝＝4，∴＝. x2＝2py的焦點坐標(biāo)為(0，)，－＝1的漸近線方程為y＝±x， 即

5、y＝±x. 由題意＝2，∴p＝8.故C2：x2＝16y，選D. 答案：D 二、填空題 7．(2012年安徽)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點．若|AF|＝3，則|BF|＝________. 解析：設(shè)直線AB的傾斜角為θ， 則由|AF|＝3，p＝2，得cos θ＝，∴|BF|＝. 答案： 8．設(shè)拋物線y2＝mx的準(zhǔn)線與直線x＝1的距離為3，則拋物線的方程為________． 解析：當(dāng)m>0時，準(zhǔn)線方程為x＝－＝－2，∴m＝8. 此時拋物線方程為y2＝8x； 當(dāng)m<0時，準(zhǔn)線方程為x＝－＝4，∴m＝－16. 此時拋物線方程為y2＝－16x. ∴所求拋

6、物線方程為y2＝8x或y2＝－16x. 答案：y2＝8x或y2＝－16x. 9．過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A，B兩點，A，B在x軸上的正射影分別為D，C.若梯形ABCD的面積為12，則p＝________. 解析：依題意，拋物線的焦點F的坐標(biāo)為，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y－＝x，代入拋物線方程得，y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4p，直角梯形ABCD有一個內(nèi)角為45°. 故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，梯形面積為(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝

7、3p2＝12，解得p＝2. 答案：2 三、解答題 10．已知拋物線y2＝2px(p>0)有一個內(nèi)接直角三角形，直角頂點在原點，斜邊長為2，一直角邊的方程是y＝2x，求拋物線的方程． 解：因為一直角邊的方程是y＝2x， 所以另一直角邊的方程是y＝－x. 由，解得，或(舍去)， 由，解得，或(舍去)， ∴三角形的另兩個頂點為和(8p，－4p)． ∴ ＝2. 解得p＝，故所求拋物線的方程為y2＝x. 11．已知拋物線方程x2＝4y，過點P(t，－4)作拋物線的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B. (1)求證：直線AB過定點(0,4)； (2)求△OAB(O為坐標(biāo)原點)面積

8、的最小值． 解：(1)證明：設(shè)切點為A(x1，y1)、B(x2，y2)． 又y′＝x， 則切線PA的方程為y－y1＝x1(x－x1)，即y＝x1x－y1， 切線PB的方程為y－y2＝x2(x－x2)，即y＝x2x－y2， 由點P(t，－4)是切線PA，PB的交點可知： －4＝x1t－y1，－4＝x2t－y2， ∴過A、B兩點的直線方程為－4＝tx－y，即tx－y＋4＝0. ∴直線AB：tx－y＋4＝0過定點(0,4)． (2)由得x2－2tx－16＝0. 則x1＋x2＝2t，x1x2＝－16. S△OAB＝×4×|x1－x2| ＝2＝2≥16. 當(dāng)且僅當(dāng)t＝0時，△O

9、AB的面積取得最小值16. 12．(2012年黑龍江哈爾濱三模)已知過點A(－4,0)的動直線l與拋物線G：x2＝2py(p>0)相交于B，C兩點．當(dāng)直線l的斜率是時，＝4. (1)求拋物線G的方程； (2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍． 解：(1)B(x1，y1)，C(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率是時，直線l的方程為y＝(x＋4)，即x＝2y－4. 聯(lián)立得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4. 由已知＝4得y2＝4y1. 由韋達(dá)定理可得y1＝1，y2＝4，p＝2，拋物線G的方程為x2＝4y. (2)設(shè)l：y＝k(x＋4)，BC中點坐

10、標(biāo)為(x0，y0)， 得x2－4kx－16k＝0， 由Δ>0得k<－4或k>0， ∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k， BC的中垂線為y－2k2－4k＝－(x－2k)， ∴b＝2(k＋1)2，∴b>2. [熱點預(yù)測] 13．(1)(2012年浙江溫州二模)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左頂點，點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|＝2p，則雙曲線的離心率為 (　　) A. B．2 C. D. (2)已知拋物線y2＝8x的焦點為F，P是其上一點，Q是圓(x－4)2＋(y＋1)2＝1上一點，則|PF|＋|PQ|的最小值為________． 解析：(1)由題意可得，拋物線焦點F，準(zhǔn)線x＝－， 設(shè)點M坐標(biāo)為(xM，yM)． 由拋物線定義可得，xM－＝2p，∴xM＝. 將xM＝代入拋物線方程得yM＝p， ∴點M坐標(biāo)為. 又∵拋物線準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的左頂點， ∴－a＝，即a＝. 將點M，a＝代入雙曲線方程得，b2＝， ∴e＝＝＝. (2)拋物線的準(zhǔn)線為x＝－2，圓心為C(4，－1)，過C作準(zhǔn)線的垂線l，當(dāng)P，Q分別為l與拋物線及圓的交點時，|PF|＋|PQ|取最小值4＋2－1＝5. 答案：(1)A　(2)5