2013高考數(shù)學總復習 考點專練48 文 新人教A版

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1、考點專練(四十八)                       一、選擇題 1.直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點,則k的值為(  ) A.1 B.1或3 C.0 D.1或0 解析:由得ky2-8y+16=0,若k=0,則y=2,若k≠0,則Δ=0,即64-64k=0,解得k=1,因此若直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個公共點,則k=0或k=1. 答案:D 2.(2012年銀川模擬)過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于點A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|=7,則AB的中點M到拋物線準線的距離為 (  ) A. B.

2、 C.2 D.3 解析:由題知拋物線的焦點為(1,0),準線方程為x=-1.由拋物線定義知:|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,即x1+x2+2=7,得x1+x2=5,于是弦AB的中點M的橫坐標為,因此M到拋物線準線的距離為+1=. 答案:B 3.直線y=kx+1,當k變化時,此直線被橢圓+y2=1截得的最大弦長是 (  ) A.4 B. C.2 D.不能確定 解析:(篩選法)直線y=kx+1恒過點(0,1),該點恰巧是橢圓+y2=1的上頂點,橢圓的長軸長為4,短軸長為2,而直線不經(jīng)過橢圓的長軸和短軸,因此排除A、C;將直線y=k

3、x+1繞點(0,1)旋轉,與橢圓有無數(shù)條弦,其中必有最大弦長,因此排除D.故選B. 答案:B 4.已知A,B是雙曲線C的兩個頂點,直線L垂直于實軸,與雙曲線C交于P,Q兩點,若·=0,則雙曲線C的離心率e為 (  ) A. B. C.1 D.2 解析:不妨設雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),點P(x,y),設A(-a,0),B(a,0),Q(x,-y),由·=0得x2-y2=a2①,又知點P(x,y)在雙曲線C上,所以有-=1?、?,對比①②得a=b,因此雙曲線C的離心率e=. 答案:A 5.(2012年浙江)如圖,中心均為原點O的雙曲線與橢圓有公共焦點,M,N

4、是雙曲線的兩頂點.若M,O,N將橢圓長軸四等分,則雙曲線與橢圓的離心率的比值是 (  ) A.3 B.2 C. D. 解析:設橢圓長半軸的長為a(a>0),則雙曲線實半軸的長為,由于雙曲線與橢圓共焦點,設焦距為2c,所以雙曲線的離心率e1==,橢圓的離心離e2=,所以==2,故選B. 答案:B 6.過點M(-2,0)的直線m與橢圓+y2=1交于P1,P2兩點,線段P1P2的中點為P,設直線m的斜率為k1(k1≠0)直線OP的斜率為k2,則k1k2的值為 (  ) A.2 B.-2 C. D.- 解析:如圖,設P1(x1,y1),P2(x2,y2)

5、 則P1P2的中點 P, 則k2=kOP=, 又因為P1,P2在橢圓+y2=1上, 所以有+y=1,+y=1, 兩式相減得(x1+x2)(x1-x2)=-(y1+y2)(y1-y2), 即=-·,則k1=-, 即有k1·k2=-,故選D. 答案:D 二、填空題 7.動直線l的傾斜角為60°,若直線l與拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點,且A,B兩點的橫坐標之和為3,則拋物線的方程為________. 解析:設直線l的方程為y=x+b,聯(lián)立,消去y,得x2=2p(x+b),即x2-2px-2pb=0,∴x1+x2=2p=3,∴p=,拋物線的方程為x2=y(tǒng). 答案:

6、x2=y(tǒng) 8.已知拋物線C的頂點在坐標原點,焦點為F(0,-1),直線l與拋物線C相交于A,B兩點,若AB的中點為(2,-2),則直線l的方程為________. 解析:由題意知,拋物線的方程為x2=-4y,設A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,聯(lián)立方程得兩式相減得 x-x=-4(y1-y2), ∴==-1, ∴直線l的方程為y+2=-(x-2),即y=-x. 答案:x+y=0 9.(2012年浙江)定義:曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離.已知曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的

7、距離,則實數(shù)a=________. 解析:x2+(y+4)2=2到直線y=x的距離為-=,所以y=x2+a到y(tǒng)=x的距離為,而與y=x平行且距離為的直線有兩條,分別是y=x+2與y=x-2,而拋物線y=x2+a開口向上,所以y=x2+a與y=x+2相切,可求得a=. 答案: 三、解答題 10.已知F1、F2是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點,A是橢圓上位于第一象限的一點,B也在橢圓上,且滿足+=0(O為坐標原點),·=0,且橢圓的離心率為. (1)求直線AB的方程; (2)若△ABF2的面積為4,求橢圓的方程. 解:(1)由+=0知直線AB過原點, 又·=0, ∴⊥.又e

8、=, ∴c=a,∴b2=a2, ∴橢圓方程為+=1, 即x2+2y2=a2,設A代入 x2+2y2=a2?y=a?A, ∴直線AB的方程為y=x. (2)由對稱性知S△ABF1=S△AF1F2=S△ABF2, ∴·2c·a=4. 又c=a,∴a2=16,∴b2=8, ∴橢圓方程為+=1. 11.(2013屆浙江省重點中學協(xié)作體高三摸底測試)在直角坐標系xOy上取兩個定點A1(-2,0),A2(2,0),再取兩個動點 N1(0,m),N2(0,n),且mn=3, (1)求直線A1N1與A2N2交點的軌跡M的方程; (2)已知點A(1,t)(t>0)是軌跡M上的定點,E,

9、F是軌跡M上的兩個動點,如果直線AE的斜率kAE與直線AF的斜率kAF滿足kAE+kAF=0,試探究直線EF的斜率是否是定值?若是定值,求出這個定值,若不是,說明理由. 解:(1)依題意知直線A1N1的方程為:y=(x+2)  ① 直線A2N2的方程為:y=-(x-2)  ② 設Q(x,y)是直線A1N1與A2N2的交點,由①②得y2=-(x2-4) 由mn=3 整理得+=1 ∵N1,N2不與原點重合,∴點A1(-2,0),A2(2,0)不在軌跡M上 ∴軌跡M的方程為+=1(x≠±2) (2)∵點A(1,t)(t>0)在軌跡M上,∴+=1解得t=, 即點A的坐標為(1,)

10、 設kAE=k,則直線AE方程為:y=k(x-1)+, 代入+=1并整理得 (3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(-k)2-12=0 設E(xE,yE),F(xiàn)(xF,yF),∵點A(1,)在軌跡M上, ∴xE=  ③ yE=kxE+-k  ④ 又kAE+kAF=0得kAF=-k,將③、④式中的k代換成-k,可得 xF=,yF=-kxF++k ∴直線EF的斜率kEF== ∵xE+xF=,xF-xE= ∴kEF=== 即直線EF的斜率為定值,其值為. 12.(2012年北京東城二模)已知拋物線C:x2=4y,M為直線l:y=-1上任意一點,過點M作拋物線C的兩條

11、切線MA,MB,切點分別為A,B. (1)當M的坐標為(0,-1)時,求過M,A,B三點的圓的方程; (2)證明:以AB為直徑的圓恒過點M. 解:(1)當M的坐標為(0,-1)時,設過M點的切線方程為y=kx-1, 由消y得x2-4kx+4=0.① 令Δ=(4k)2-4×4=0,解得k=±1. 代入方程①,解得A(2,1),B(-2,1). 設圓心P的坐標為(0,a),由|PM|=|PB|,解得a=1. 故過M,A,B三點的圓的方程為x2+(y-1)2=4. (2)證明:設M(x0,-1),由已知得y=,y′=x,設切點分別為A,B,所以kMA=,kMB=, 切線MA的方程

12、為y-=(x-x1), 即y=x1x-x, 切線MB的方程為y-=(x-x2), 即y=x2x-x. 又因為切線MA過點M(x0,-1), 所以得-1=x0x1-x. ① 又因為切線MB也過點M(x0,-1), 所以得-1=x0x2-x. ② 由①,②可得x1,x2是方程-1=x0x-x2的兩個實根, 由韋達定理得,x1+x2=2x0,x1x2=-4. 因為=,=, 所以·=(x1-x0)(x2-x0)+ =x1x2-x0(x1+x2)+x++(x+x)+1 =x1x2-x0(x1+x2)+x++[(x1+x2)2-2x1x2]+1. 將x1+x2=2x0,

13、x1x2=-4代入,得·=0. 所以以AB為直徑的圓恒過點M. [熱點預測] 13.(2012年長春調研)橢圓G:+=1(a>b>0)的兩焦點為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),橢圓上存在點M使·=0. (1)求橢圓離心率e的取值范圍; (2)當離心率e取最小值時,點N(0,3)到橢圓上的點的最遠距離為5. ①求此時橢圓G的方程; ②設斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓G交于不同的兩點A,B,Q為AB的中點,問A,B兩點能否關于過P(0,-),Q的直線對稱?若能,求出k的取值范圍;若不能,請說明理由. 解:(1)設M(x,y),由·=0,得x2+y2=c2,將y2=b2-x2代入

14、,得x2=a2-, 因為0≤x2≤a2,所以0≤a2-≤a2,即c2-b2≥0,即2c2-a2≥0,即e2≥,所以≤e≤1. (2)①當e=時,設橢圓方程為+=1,H(x,y)是橢圓上任一點, 則|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18(-b≤y≤b). 若b≥3,則y=-3時,|HN|max==5,所以b=4, 此時橢圓方程為+=1; 若03,矛盾. 綜合,得橢圓方程為+=1. ②設直線l的方程為y=kx+m, 由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0. 根據(jù)題意,知Δ>0,得m2<32k2+16. 根據(jù)根與系數(shù)的關系,得Q,由kPQ=-,得m=, 代入m2<32k2+16,解得k∈∪.

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