2013高考數(shù)學總復習 考點專練46 文 新人教A版

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1、考點專練(四十六) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．(2011年安徽)雙曲線2x2－y2＝8的實軸長是 (　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：原式可化為：－＝1， ∴a2＝4，∴a＝2,2a＝4. 答案：C 2．(2011年山東)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為 (　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：圓C：標準方程(x－3)2＋y2＝4，圓心(3,0)， ∴雙曲線右焦點(3,0)，

2、令雙曲線漸近線y＝±x與圓相切，則bx－ay＝0 ∴＝2，∴4a2＝5b2，∴選A. 答案：A 3．(2012年山東濰坊二模)已知雙曲線C：－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為C的右支上一點，且|PF2|＝|F1F2|，則·等于 (　　) A．24 B．48 C．50 D．56 解析：如圖所示，|PF2|＝|F1F2|＝6， 由雙曲線定義可得，|PF1|＝10. 在△PF1F2中，由余弦定理可得， cos∠F1PF2＝ ＝ ＝. ∴·＝||||cos∠F1PF2＝10×6×＝50. 答案：C 4．(2012年東北四校高三模擬)過雙曲線的右焦點F作實軸

3、所在直線的垂線，交雙曲線于A，B兩點，設(shè)雙曲線的左頂點為M，若△MAB是直角三角形，則此雙曲線的離心率e的值為 (　　) A. B．2 C. D. 解析：如圖所示，△AMF為等腰直角三角形， |AF|為|AB|的一半，|AF|＝. 而|MF|＝a＋c， 由題意可得，a＋c＝， 即a2＋ac＝b2＝c2－a2，即c2－ac－2a2＝0. 兩邊同時除以a2可得，e2－e－2＝0，解之得，e＝2. 答案：B 5．(2012年大綱全國)已知F1、F2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點，點P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝ (　　) A

4、. B. C. D. 解析：∵a＝b＝，∴c＝2. 由得|PF1|＝4， |PF2|＝2， 由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.故選C. 答案：C 6．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個焦點在拋物線y2＝24x的準線上，則雙曲線的方程為 (　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：∵雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，∴＝.① ∵拋物線y2＝24x的準線方程為x＝－6， ∴－c＝－6. ② 又c2＝a2＋b2. ③ 由①②③得a＝3，b＝3. ∴a2＝9，b2＝2

5、7.∴雙曲線方程為－＝1. 答案：B 二、填空題 7．(2011年上海)設(shè)m是常數(shù)，若點F(0,5)是雙曲線－＝1的一個焦點，則m＝________. 解析：m＋9＝25，∴m＝16. 答案：16 8．(2012年遼寧)已知雙曲線x2－y2＝1，點F1，F(xiàn)2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點．若PF1⊥PF2，則|PF1|＋|PF2|的值為________． 解析：設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n， 則　解得mn＝2， ∴(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn＝8＋4＝12， ∴m＋n＝2，即|PF1|＋|PF2|＝2. 答案：2 9．(2012年甘肅蘭州高三診斷)雙曲線－＝1

6、(a>0，b>0)一條漸近線的傾斜角為，離心率為e，則的最小值為________． 解析：由題意可得，k＝＝tan＝， ∴b＝a，則a2＝，∴e＝ ＝2. ∴＝＝＋≥2 ＝. 答案： 三、解答題 10．設(shè)A，B分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左，右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為. (1)求雙曲線的方程； (2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使＋＝t，求t的值及點D的坐標． 解：(1)由題意知a＝2，∴一條漸近線為y＝x， 即bx－2y＝0，∴＝， ∴b2＝3，∴雙曲線的方程為－＝1. (2)設(shè)M(x1，

7、y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0， 將直線方程代入雙曲線方程得x2－16x＋84＝0， 則x1＋x2＝16，y1＋y2＝12， ∴∴ ∴t＝4，點D的坐標為(4，3)． 11．(2012年合肥聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)．點M(3，m)在雙曲線上． (1)求雙曲線方程； (2)求證：·＝0； (3)求△F1MF2面積． 解：(1)∵e＝，∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ. ∵過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴雙曲線方程為x2－y2＝6. (2)證明

8、：法一：由(1)可知，雙曲線中a＝b＝，∴c＝2， ∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， kMF1·kMF2＝＝－. ∵點(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2. ∴·＝0. 法二：∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)， ∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2 ＝－3＋m2， ∵M點在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴·＝0. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±. ∴△F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6. 12．(2012年河南安陽三

9、模)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為2x＋y＝0，且頂點到漸近線的距離為. (1)求此雙曲線的方程； (2)設(shè)P為雙曲線上一點，A，B兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、第二象限，若＝，求△AOB的面積． 解：(1)依題意得 解得 故雙曲線的方程為－x2＝1. (2)由(1)知雙曲線的漸近線方程為y＝±2x， 設(shè)A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m>0，n>0， 由＝得點P的坐標為， 將點P的坐標代入－x2＝1，整理得mn＝1， 設(shè)∠AOB＝2θ，則tan θ＝，從而sin 2θ＝， 又|OA|＝m，|OB|＝n， ∴S△AOB＝|OA||O

10、B|sin 2θ＝2mn＝2. [熱點預(yù)測] 13．(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－＝1的左、右焦點．若雙曲線上存在點A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，則雙曲線的離心率為 (　　) A. B. C. D. (2)(2012年濟南模擬)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，拋物線C2：y2＝2px(p>0)與雙曲線C1有相同焦點．C1與C2在第一象限相交于點P，且|F1F2|＝|PF1|，則雙曲線的離心率為________． 解析：(1)由雙曲線的定義||AF1|－|AF2||＝2a，由此得|AF2|＝a，|AF1|＝

11、3a，再由三角形F1AF2為直角三角形，得a2＋(3a)2＝(2c)2，由此得＝，故e＝＝. (2)設(shè)點P(x0，y0)、F2(c,0)， 過P作拋物線C2準線的垂線，垂足為A，連接PF2. 由雙曲線的定義及|F1F2|＝|PF1|＝2c，得|PF2|＝2c－2a， 由拋物線的定義得|PA|＝x0＋c＝2c－2a，∴x0＝c－2a. 在Rt△F1AP中，|F1A|2＝(2c)2－(2c－2a)2＝8ac－4a2， 即y＝8ac－4a2， 由題意知＝c，∴y＝2px0＝4c(c－2a)，∴8ac－4a2＝4c(c－2a)， 化簡得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0(e>1)，解得e＝2＋. 答案：(1)B　(2)2＋