【考點訓(xùn)練】垂徑定理-1

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1、菁優(yōu)網(wǎng) 【考點訓(xùn)練】垂徑定理-1 【考點訓(xùn)練】垂徑定理-1 　 一、選擇題（共11小題） 1．（2008?衢州）如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點，已知AB=5，BC=3，則圓心O到弦BC的距離是（　?。? 　 A． 1.5 B． 2 C． 2.5 D． 3 　 2．（2008?長春）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB=20，CD=16，那么線段OE的長為（　?。? 　 A． 10 B． 8 C． 6 D． 4 　 3．（2010?濰坊）已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且

2、AB=8cm，OC=5cm，則DC的長為（　　） 　 A． 3cm B． 2.5cm C． 2cm D． 1cm 　 4．（2008?河北）如圖，已知⊙O的半徑為5，點O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點有（　　） 　 A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個 　 5．（2008?梅州）如圖所示，圓O的弦AB垂直平分半徑OC，則四邊形OACB（　?。? 　 A． 是正方形 B． 是長方形 C． 是菱形 D． 以上答案都不對 　 6．（2009?慶陽）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，M是弦

3、AB上的動點，則OM不可能為（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 　 7．（2009?臨夏州）如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點，且OM最小值為4，則⊙O的半徑為（　?。? 　 A． 5 B． 4 C． 3 D． 2 　 8．（2010?大田縣）如圖，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，⊙P與x軸相切于點Q，與y軸交于M（0，2），N（0，8）兩點，則點P的坐標是（　?。? 　 A． （5，3） B． （3，5） C． （5，4） D． （4，5） 　 9．（2010?襄陽）圓的半徑為13cm，兩

4、弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB、CD的距離是（　　） 　 A． 7cm B． 17cm C． 12cm D． 7cm或17cm 　 10．（2009?黔南州）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為（　?。? 　 A． 2cm B． cm C． D． 　 11．（2008?荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，⊙A與x軸相切于B，與y軸交于C（0，1），D（0，4）兩點，則點A的坐標是（　　） 　 A． B． C． D． 　 二、填空題（共

5、3小題）（除非特別說明，請?zhí)顪蚀_值） 12．（2010?文山州）如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點，且OM最小值為4，則⊙O的半徑為　_________　． 　 13．（2011?西藏）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點C，若AB=8cm，OC=3cm，則⊙O的半徑為　_________　cm． 　 14．（2009?安順）如圖，⊙O的半徑OA=10cm，設(shè)AB=16cm，P為AB上一動點，則點P到圓心O的最短距離為　_________　cm． 　 三、解答題（共1小題）（選答題，不自動判卷） 15．（2007?雙柏縣）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，O

6、D⊥BC于E，交弧BC于D． （1）請寫出五個不同類型的正確結(jié)論； （2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半徑． 　 【考點訓(xùn)練】垂徑定理-1 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共11小題） 1．（2008?衢州）如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點，已知AB=5，BC=3，則圓心O到弦BC的距離是（　?。? 　 A． 1.5 B． 2 C． 2.5 D． 3 考點： 垂徑定理；三角形中位線定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析： 作OM⊥BC，根據(jù)三角形的中位線定理弦心距等于AC的一半，再利用勾股定理求出AC的長度，本題即可求出． 解答： 解：過

7、圓心O作OM⊥BC于M，又根據(jù)AB直徑，則AC⊥BC ∴OM∥AC 即OM是△ABC的中位線 又AC===4 ∴OM=AC=2． 故選B． 點評： 本題主要考查了垂徑定理的內(nèi)容，過圓心，且垂直于弦的直線，一定平分弦． 　 2．（2008?長春）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB=20，CD=16，那么線段OE的長為（　　） 　 A． 10 B． 8 C． 6 D． 4 考點： 垂徑定理；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析： 先求出DE和圓的半徑，再利用勾股定理即可求出． 解答： 解：∵弦CD⊥AB，垂足為E ∴CE

8、=DE=CD=×16=8 ∴OA是半徑OA=AB=×20=10 連接OD，在Rt△ODA中，OD=OA=10，DE=8 OE===6 故選C． 點評： 此題屬簡單題目，涉及到垂徑定理及勾股定理的運用，需同學(xué)們細心解答． 　 3．（2010?濰坊）已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，且AB=8cm，OC=5cm，則DC的長為（　　） 　 A． 3cm B． 2.5cm C． 2cm D． 1cm 考點： 垂徑定理；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析： 利用勾股定理和垂徑定理即可求解． 解答： 解：連接OA， 則OA2=OD2+

9、AD2， ∴25=（5﹣DC）2+16， ∴DC=2cm． 故選C． 點評： 主要考查了垂徑定理的運用．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條?。獯祟愵}一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個直角三角形里，運用勾股定理求解． 　 4．（2008?河北）如圖，已知⊙O的半徑為5，點O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點有（　　） 　 A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個 考點： 垂徑定理；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 分析： 根據(jù)垂徑定理計算． 解答： 解：如圖OD=OA=OB=5，OE⊥

10、AB，OE=3， ∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2cm， ∴點D是圓上到AB距離為2cm的點， ∵OE=3cm＞2cm， ∴在OD上截取OH=1cm， 過點H作GF∥AB，交圓于點G，F(xiàn)兩點， 則有HE⊥AB，HE=OE﹣OH=2cm， 即GF到AB的距離為2cm， ∴點G，F(xiàn)也是圓上到AB距離為2cm的點． 故選C． 點評： 本題利用了垂徑定理求解，注意圓上的點到AB距離為2cm的點不唯一，有三個． 　 5．（2008?梅州）如圖所示，圓O的弦AB垂直平分半徑OC，則四邊形OACB（　?。? 　 A． 是正方形 B． 是長方形 C． 是菱形 D．

11、 以上答案都不對 考點： 垂徑定理；菱形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 根據(jù)垂徑定理和特殊四邊形的判定方法求解． 解答： 解：由垂徑定理知，OC垂直平分AB，即OC與AB互相垂直平分，所以四邊形OACB是菱形． 故選C． 點評： 本題綜合考查了垂徑定理和菱形的判定方法． 　 6．（2009?慶陽）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，M是弦AB上的動點，則OM不可能為（　?。? 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考點： 垂徑定理；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題；動點型． 分析： OM最長邊應(yīng)是

12、半徑長，根據(jù)垂線段最短，可得弦心距最短，分別求出后即可判斷． 解答： 解：①M與A或B重合時OM最長，等于半徑5； ②∵半徑為5，弦AB=8 ∴∠OMA=90°，OA=5，AM=4 ∴OM最短為=3， ∴3≤OM≤5， 因此OM不可能為2． 故選A． 點評： 解決本題的關(guān)鍵是：知道OM最長應(yīng)是半徑長，最短應(yīng)是點O到AB的距離長．然后根據(jù)范圍來確定不可能的值． 　 7．（2009?臨夏州）如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點，且OM最小值為4，則⊙O的半徑為（　?。? 　 A． 5 B． 4 C． 3 D． 2 考點： 垂徑定理；等邊三角

13、形的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 當OM⊥AB時值最小．根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解． 解答： 解：根據(jù)直線外一點到直線的線段中，垂線段最短，知：當OM⊥AB時，為最小值4， 連接OA， 根據(jù)垂徑定理，得：BM=AB=3， 根據(jù)勾股定理，得：OA==5， 即⊙O的半徑為5． 故選A． 點評： 運用了垂徑定理、勾股定理．特別注意能夠分析出OM的最小值． 　 8．（2010?大田縣）如圖，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，⊙P與x軸相切于點Q，與y軸交于M（0，2），N（0，8）兩點，則點P的坐標是（　　） 　 A． （5，3） B．

14、 （3，5） C． （5，4） D． （4，5） 考點： 坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 根據(jù)已知條件，縱坐標易求；再根據(jù)切割線定理即OQ2=OM?ON求OQ可得橫坐標． 解答： 解：過點P作PD⊥MN于D，連接PQ． ∵⊙P與x軸相切于點Q，與y軸交于M（0，2），N（0，8）兩點， ∴OM=2，NO=8， ∴NM=6， ∵PD⊥NM， ∴DM=3 ∴OD=5， ∴OQ2=OM?ON=2×8=16，OQ=4． ∴PD=4，PQ=OD=3+2=5． 即點P的坐標是（4，5）． 故選D． 點評：

15、 本題綜合考查了圖形的性質(zhì)和坐標的確定，是綜合性較強，難度中等的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理確定點P的縱坐標，利用切割線定理確定橫坐標． 　 9．（2010?襄陽）圓的半徑為13cm，兩弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB、CD的距離是（　?。? 　 A． 7cm B． 17cm C． 12cm D． 7cm或17cm 考點： 垂徑定理；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 此題可以分兩種情況，即兩弦在圓心的一側(cè)時和在兩側(cè)時，所以此題的答案有兩個． 解答： 解：第一種情況：兩弦在圓心的一側(cè)時，已知CD=10cm， ∴

16、DE=5cm． ∵圓的半徑為13cm ∴OD=13cm， ∴利用勾股定理可得：OE=12cm． 同理可求OF=5cm， ∴EF=7cm． 第二種情況：只是EF=OE+OF=17cm．其它和第一種一樣． 故選D． 點評： 本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當已知條件中沒有明確圖時，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點，造成丟解． 　 10．（2009?黔南州）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為（　?。? 　 A． 2cm B． cm C． D． 考點： 垂徑定理；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版

17、權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 在圖中構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)勾股定理得AD的長，再根據(jù)垂徑定理得AB的長． 解答： 解：作OD⊥AB于D，連接OA． 根據(jù)題意得OD=OA=1cm， 再根據(jù)勾股定理得：AD=cm， 根據(jù)垂徑定理得AB=2cm． 故選C． 點評： 注意由題目中的折疊即可發(fā)現(xiàn)OD=OA=1．考查了勾股定理以及垂徑定理． 　 11．（2008?荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，⊙A與x軸相切于B，與y軸交于C（0，1），D（0，4）兩點，則點A的坐標是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點： 坐

18、標與圖形性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 本題可先作一條輔助線：過點A作AM⊥CD．根據(jù)坐標的變換公式可得出DM、CM和AM的長，再根據(jù)圖形即可判斷出A點的坐標． 解答： 解：過點A作AM⊥CD ∵⊙A與x軸相切于點B，與y軸交于C（0，1），D（0，4）兩點 ∴OC=1，CD=3，DM=CM=1.5 ∴OM=AB=2.5， ∴圓的半徑R=2.5， ∴AC=2.5 ∴AM==2， 即點A的坐標是（）． 故選C． 點評： 本題綜合考查了圖形的性質(zhì)和坐標的確定，是綜合性較強，難度中等的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理確定點P的縱坐標，

19、利用勾股定理確定橫坐標． 　 二、填空題（共3小題）（除非特別說明，請?zhí)顪蚀_值） 12．（2010?文山州）如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點，且OM最小值為4，則⊙O的半徑為　5　． 考點： 垂徑定理；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： OM最小值為4，即弦AB的弦心距為4，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)垂徑定理和勾股定理，可求出圓O的半徑為5． 解答： 解：如圖，連接OA， OM⊥AB， ∴OM=4， ∵AB=6， ∴AM=BM=AB=3， 在Rt△AOM中，OA=， 所以⊙O的半徑為5． 點評： 解決與弦有關(guān)的問題時，往往需

20、構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2=d2+（）2成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個． 　 13．（2011?西藏）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點C，若AB=8cm，OC=3cm，則⊙O的半徑為　5　cm． 考點： 垂徑定理；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 壓軸題． 分析： 根據(jù)垂徑定理可將AC的長求出，再根據(jù)勾股定理可將⊙O的半徑求出． 解答： 解：由垂徑定理OC⊥AB，則AC=BC=AB=4cm 在Rt△ACO中，AC=4，OC=3， 由勾股定理可得AO==5（

21、cm）， 即⊙O的半徑為5cm． 點評： 本題綜合考查了圓的垂徑定理與勾股定理． 　 14．（2009?安順）如圖，⊙O的半徑OA=10cm，設(shè)AB=16cm，P為AB上一動點，則點P到圓心O的最短距離為　6　cm． 考點： 垂徑定理；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 動點型． 分析： 根據(jù)垂線段最短，可以得到當OP⊥AB時，點P到圓心O的距離最短．根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解． 解答： 解：根據(jù)垂線段最短知， 當點P運動到OP⊥AB時，點P到到點O的距離最短， 由垂徑定理知，此時點P為AB中點，AP=8cm， 由勾股定理得，此時OP==6cm． 點

22、評： 本題利用了垂線段最短和垂徑定理及勾股定理求解． 　 三、解答題（共1小題）（選答題，不自動判卷） 15．（2007?雙柏縣）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D． （1）請寫出五個不同類型的正確結(jié)論； （2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半徑． 考點： 垂徑定理；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專題： 幾何綜合題；壓軸題． 分析： （1）AB是⊙O的直徑，則AB所對的圓周角是直角，BC是弦，OD⊥BC于E，則滿足垂徑定理的結(jié)論； （2）OD⊥BC，則BE=CE=BC=4，在Rt△OEB中，由勾股定理就可以得到關(guān)于半徑的方程，可以求出半

23、徑． 解答： 解：（1）不同類型的正確結(jié)論有： ①BE=CE； ②弧BD=弧DC； ③∠BED=90°； ④∠BOD=∠A； ⑤AC∥OD； ⑥AC⊥BC； ⑦OE2+BE2=OB2； ⑧S△ABC=BC?OE； ⑨△BOD是等腰三角形； ⑩△BOE∽△BAC… 說明：1、每寫對一條給1分，但最多給5分； 2、結(jié)論與輔助線有關(guān)且正確的，也相應(yīng)給分． （2）∵OD⊥BC， ∴BE=CE=BC=4， 設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=OD﹣DE=R﹣2，（7分） 在Rt△OEB中，由勾股定理得： OE2+BE2=OB2，即（R﹣2）2+42=R2， 解得R=5， ∴⊙O的半徑為5． （10分） 點評： 本題主要考查了垂徑定理，求圓的弦，半徑，弦心距的長問題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題． 　 ?2010-2014 菁優(yōu)網(wǎng)