天津市佳春中學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界問(wèn)題

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1、圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界問(wèn)題一、題型特點(diǎn)1.圖形位置不確定；2.圖形運(yùn)動(dòng)具有連續(xù)性；3.多以求某一變量的取值范圍或最值為主二、涉及的主要知識(shí)點(diǎn)1.幾何作圖或畫(huà)函數(shù)圖象；2.幾何計(jì)算；3.方程或不等式（組）；三、主要解題思路1.通過(guò)畫(huà)圖（或示意圖）或直觀操作把問(wèn)題直觀化；2.確定運(yùn)動(dòng)的起始位置、終止位置或某些特殊位置，化動(dòng)為靜；3.計(jì)算臨界位置的相應(yīng)結(jié)果，得到相應(yīng)變量的取值范圍或最值四、例題講解例1 在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5如圖1所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則BA的取值

2、范圍是 圖3圖2圖1分析：如圖2，解題由畫(huà)圖開(kāi)始點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)，可首先使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖2所示；再使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖3所示，可知均不滿足條件，進(jìn)而可得出，點(diǎn)P、Q的位置決定BA的取值范圍當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖4所示，BA值再大，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖5所示，BA值再小，BA的取值范圍可求圖5圖4 解：如圖4，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)， BA=3如圖5，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)， DA=5，CA=5，BA=1所以BA的取值范圍是1BA3.例2 已知二次函數(shù)y = x2+2x+c（1）當(dāng)c3時(shí)，求出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；圖4圖3圖2（2）若2x1時(shí)，

3、該二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求c的取值范圍圖1解：（1）略（2）分析：從已知入手，畫(huà)出圖形由函數(shù)的解析式y(tǒng) = x2+2x+c可以得出二次項(xiàng)系數(shù)是1，函數(shù)圖象的形狀確定，因?yàn)橐淮雾?xiàng)系數(shù)是2，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸確定是直線x=1,故而可知該函數(shù)的圖象因常數(shù)項(xiàng)的變化而沿直線x=1上下平移又因?yàn)闂l件2x1可知，該二次函數(shù)的圖象如圖1所示確定一種運(yùn)動(dòng)方式，不妨確定為從下向上運(yùn)動(dòng)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況為0、1、2、1、0五種情況確定臨界位置分別如圖2、圖3、圖4所示分別把（1,0）、（2,0）、（1,0）代入函數(shù)的解析式可得出相應(yīng)的c值，c的取值范圍可求解：（2）由（1,0）得，0 = 1

4、2+21+c， c = 3；由（2,0）得，0 = （2）2+2（2）+c， c = 0；由（1,0）得，0 = （1）2+2（1）+c， c =1.所以c的取值范圍是3c0或c =1.圖3例3如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3），動(dòng)圓D經(jīng)過(guò)A、O，分別與兩軸的正半軸交于點(diǎn)E、F，求直徑EF的范圍.圖1圖2 分析：要求直徑EF的范圍，就是求出EF的最大值與最小值因?yàn)閳D形位置不確定，找到圖形運(yùn)動(dòng)的臨界位置，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，化動(dòng)為靜由已知條件“動(dòng)圓D經(jīng)過(guò)A、O，分別與兩軸的正半軸交于點(diǎn)E、F”，可得出點(diǎn)E、F與點(diǎn)O重合是此題的兩個(gè)臨界位置（此時(shí)圓心D分別在x、y軸上）畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，

5、如圖2、圖3所示由已知條件動(dòng)圓D經(jīng)過(guò)A、O，可以確定圓心D在線段OA的垂直平分線上，以DO為半徑依次畫(huà)出規(guī)范的圖形，如圖4所示，觀察EF的變化規(guī)律：當(dāng)點(diǎn)F從圖2中的位置向圖3中的位置連續(xù)變化時(shí)，EF的大小變化是先由大變小，再由小變大，直觀得出圖3時(shí)最大，并猜想最小值在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某處進(jìn)而猜想圓心D在線段OA上時(shí)，F(xiàn)E的值最小，如圖5.此猜想的證明如圖6，連接OD、DA、OA，由EF=OD+DA，當(dāng)OD+DA最小時(shí)，EF的值最小，又OD+DAOA，所以EF得最小值等于OA圖6圖5圖4 解：如圖5，易知OA=5如圖3，求得EF=；如圖4，求得EF=.所以5EF.五、練習(xí)題1如圖，ABC=90，O為

6、射線BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作O，若射線BA繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至，若與O有公共點(diǎn)，則旋轉(zhuǎn)的角度（0 180）的范圍是 2已知二次函數(shù)y2x24x6把二次函數(shù)y2x24x6的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線(bk)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍3已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)間的部分（含點(diǎn)和點(diǎn)）向左平移個(gè)單位后得到的圖象記為，同時(shí)將直線向上平移個(gè)單位請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍ABCDPE4.如圖，已知在矩形ABC

7、D中，AB2，BC3，P是線段AD邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、D），連結(jié)PC， 過(guò)點(diǎn)P作PEPC交AB于E當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E也隨之在AB上運(yùn)動(dòng)，求BE的取值范圍5.在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時(shí)PC的長(zhǎng)；（2）將三角板從（1）中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)停止，在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、探究并解答直接寫(xiě)出從開(kāi)始到停止，線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)備用圖練習(xí)題參考答案: 160 1202 34 B

8、E25(1) (2)說(shuō)明:例2是2012年北京市朝陽(yáng)區(qū)九年級(jí)綜合練習(xí)（二）數(shù)學(xué)試卷第22題 ；22已知二次函數(shù)（1）當(dāng)c3時(shí)，求出該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若2x1時(shí)，該二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求c的取值范圍22. 解：（1）由題意，得.當(dāng)時(shí)，.解得，.該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0），（1，0）. （2）拋物線的對(duì)稱軸為. 若拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則交點(diǎn)為（1，0）. 有，解得. 若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且滿足題意，則有 當(dāng)時(shí)， 0， 0，解得0. 當(dāng)時(shí)，解得. 0. 綜上所述，c的取值范圍是或0.練習(xí)2是由2009年北京市中考數(shù)學(xué)試卷第23題改

9、編原題及答案23已知關(guān)于x的一元二次方程2x24xk10有實(shí)數(shù)根，k為正整數(shù)(1)求k的值；(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y2x24xk1的圖象向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的圖象的解析式；(3)在(2)的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線(bk)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍第23題圖23解：(1)由題意得，168(k1)0k3k為正整數(shù)，k1，2，3(2)當(dāng)k1時(shí)，方程2x24xk10有一個(gè)根為零；當(dāng)k2時(shí)，方程2x24xk10無(wú)整數(shù)根；當(dāng)k3時(shí)，方程2x24xk

10、10有兩個(gè)非零的整數(shù)根綜上所述，k1和k2不合題意，舍去；k3符合題意當(dāng)k3時(shí)，二次函數(shù)為y2x24x2，把它的圖象向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象的解析式為y2x24x6(3)設(shè)二次函數(shù)y2x24x6的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，則A(3，0)，B(1，0)依題意翻折后的圖象如圖所示第23題答圖當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，可得；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，可得由圖象可知，符合題意的b(b3)的取值范圍為練習(xí)3是由2012年北京中考數(shù)學(xué)試卷第23題改編原題及答案23已知二次函數(shù) 在和時(shí)的函數(shù)值相等。（1） 求二次函數(shù)的解析式；（2） 若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求和的值；（3） 設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于

11、點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），將二次函數(shù)的圖象在點(diǎn)間的部分（含點(diǎn)和點(diǎn)）向左平移個(gè)單位后得到的圖象記為，同時(shí)將（2）中得到的直線向上平移個(gè)單位。請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)平移后的直線與圖象有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍。23. 解：（1）由題意得. 解得. 二次函數(shù)的解析式為. （2）點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上， . 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上， . （3）由題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)分別為. 平移后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為 . 將直線平移后得到直線 . 如圖1，當(dāng)直線經(jīng)過(guò) 點(diǎn)時(shí)，圖象（點(diǎn)除外） 在該直線右側(cè)，可得； 如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過(guò) 點(diǎn)時(shí)，圖象（點(diǎn)除外） 在該直線左側(cè)，可得. 由圖象可知，符合題意的的取值范圍是.練習(xí)5是2012

12、年北京市朝陽(yáng)區(qū)九年級(jí)綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)試卷第25題（有改動(dòng)），原題及答案如下:25. 在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時(shí)PC的長(zhǎng)；（2）將三角板從（1）中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)停止，在這個(gè)過(guò)程中，請(qǐng)你觀察、探究并解答： PEF的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由； 直接寫(xiě)出從開(kāi)始到停止，線段EF的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)備用圖25. 解：（1）在矩形ABCD中，AP=1，CD=AB=2，PB= ， ABPDPC，即PC=2 （2） PEF的大小不變理由：過(guò)點(diǎn)F作FGAD于點(diǎn)G四邊形ABFG是矩形GF=AB=2， APEGFP.在RtEPF中，tanPEF=即tanPEF的值不變PEF的大小不變 .