江西省萍鄉(xiāng)市高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.6.1.1 直線與平面垂直的判定課件 北師大版必修2.ppt

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1、6垂直關(guān)系,6.1垂直關(guān)系的判定,第1課時(shí)直線與平面垂直的判定,1.理解直線與平面垂直的概念.2.掌握直線與平面垂直的判定定理.3.能運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直.,直線與平面垂直(1)定義:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直.(2)畫法:當(dāng)直線與平面垂直時(shí),通常把表示直線的線段畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直.如圖所示.,,(3)判定定理:,,,名師點(diǎn)撥1.直線和平面垂直的定義是描述性定義,“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義.2.直線與平面垂直是直線與平面相交的特例.3.由定義可得線面垂直線線垂直,即若a,b,則ab.4.直線與平面垂

2、直的判定定理告訴我們要證線面垂直可通過(guò)線線垂直來(lái)完成.5.由公理4可知平行具有傳遞性,因此兩條平行直線中的一條垂直于這個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.,【做一做1】直線l垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則()A.lB.lC.lD.以上均有可能答案:D【做一做2】如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,PDBC,PD=1,PC=求證:PD平面ABCD.證明:PD=DC=1,PC=PDC是直角三角形.PDCD.又PDBC,BCCD=C,BC平面ABCD,CD平面ABCD,PD平面ABCD.,題型一,題型二,題型三,【例1】有下列說(shuō)法:已知三棱錐P-ABC的高為PO,且PA=PB=PC,則點(diǎn)O

3、為ABC的外心;如果直線l與平面不垂直,那么在內(nèi)不存在與l垂直的直線;過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直;與一個(gè)平面的垂線垂直的直線和這個(gè)平面平行;過(guò)平面外一點(diǎn)和這個(gè)平面垂直的直線有且只有一條.其中正確說(shuō)法的序號(hào)是.,題型一,題型二,題型三,解析:,答案:,題型一,題型二,題型三,反思在平面幾何中,我們有結(jié)論:經(jīng)過(guò)一點(diǎn),有且只有一條直線與已知直線垂直.在立體幾何中,也有類似的重要結(jié)論:結(jié)論1:過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條.結(jié)論2:過(guò)一點(diǎn)和已知直線垂直的平面有且只有一個(gè).,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練1】下列命題正確的是()A.如果一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線,那么這條

4、直線和這個(gè)平面垂直B.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,那么這條直線和這個(gè)平面垂直C.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,那么這條直線和這個(gè)平面垂直D.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線,那么這條直線和這個(gè)平面垂直,題型一,題型二,題型三,解析:本題主要考查直線和平面垂直的概念,解決本題關(guān)鍵是理解概念的本質(zhì).我們以正方體ABCD-A1B1C1D1為例,如圖.直線A1C1BD,且A1C1與平面ABCD內(nèi)的和BD平行的直線都垂直,而A1C1與平面ABCD平行,故選項(xiàng)A,B,C錯(cuò),正確答案是D.答案:D,題型一,題型二,題型三,【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為

5、1,E是BB1的中點(diǎn),O是底面正方形ABCD的中心.求證:OE平面ACD1.分析:只需證OEAC,OED1O即可.其中OEAC易證,通過(guò)計(jì)算可得D1E2=D1O2+OE2,從而得到OEOD1.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,反思要善于利用平面圖形的性質(zhì)構(gòu)造線線垂直關(guān)系,如等腰三角形底邊上的中線、菱形的對(duì)角線、勾股定理的逆定理等,這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ),解題時(shí)要善于挖掘題中隱含條件.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練2】如圖,已知PAO所在的平面,AB是O的直徑,C是O上不同于A和B的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AEPC于點(diǎn)E.求證:AE平面PBC.證明:PA平面ABC,PABC.

6、又AB是O的直徑,BCAC.而PAAC=A,BC平面PAC.又AE平面PAC,BCAE.PCAE且PCBC=C,AE平面PBC.,題型一,題型二,題型三,易錯(cuò)點(diǎn):推理不嚴(yán)密而致誤【例3】如圖所示,已知=l,PA于點(diǎn)A,PB于點(diǎn)B,AQl于點(diǎn)Q,連接BQ.求證:lBQ.錯(cuò)解:=l,l,l,又PA,PAl.PB,PBl.而PAPB=P,l平面PAQB,lBQ.錯(cuò)因分析:PAPB=P,則PA與PB確定一個(gè)平面,此時(shí)還不能確定點(diǎn)Q是否在平面PAB內(nèi),題中不加證明,就認(rèn)為點(diǎn)Q在平面PAB內(nèi).顯然是錯(cuò)誤的.題設(shè)中還有條件AQl,顯然如果沒有AQl,那么BQ就不可能垂直于l.,題型一,題型二,題型三,正解:

7、連接AB,=l,PA,PB,PAl,PBl.又PAPB=P,l平面PAB,lAB.又AQl,而AQAB=A,l平面ABQ,lBQ.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練3】,題型一,題型二,題型三,證明:如圖所示,連接PE,EC,在RtPAE和RtCDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即PEC是等腰三角形.又F是底邊PC的中點(diǎn),所以EFPC.F是PC的中點(diǎn),所以BFPC.又BFEF=F,所以PC平面BEF.,1234,,,,,1.若一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直,則這條直線和這個(gè)三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.不確定解析:如果一條直線垂直于三角形

8、的兩條邊,那么必垂直于這個(gè)三角形所在平面,因而必與第三邊垂直.答案:B,1234,,,,,2.在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)面中,與AA1垂直的面的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.6答案:B,1234,,,,,3.在三棱錐P-ABC中,最多有個(gè)直角三角形.解析:如圖所示,不妨設(shè)PAAB,PAAC,則APB和PAC均為直角三角形.由線面垂直的判定定理知,PA平面ABC,即PABC,若ABC=90,則BCAB,BC面PBA,即PBC=90.ABC,PBC為直角三角形,故直角三角形最多有4個(gè).答案:4,1234,,,,,4.如圖所示,在正方體A1B1C1D1-ABCD中,E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心.求證:EF平面BB1O.,1234,,,,,證明:如圖所示,連接AC,BD,則O為AC和BD的交點(diǎn),OB與OD在一條直線上.四邊形ABCD是正方形,ACBO.又B1B平面ABCD,AC平面ABCD,BB1AC.又BOBB1=B,AC平面BB1O.又E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),在ABC中,EFAC.EF平面BB1O.,