利用EXCE的規(guī)劃求解進行求解威布爾分布參數【技術專攻】

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1、威布爾分布是瑞典物理學家Weibull W.分析材料強度時在實際經驗的基礎上推導出來 的分布形式1，國內外大量研究表明，用三參數威1專業(yè)課布爾分布比用對數正態(tài)分布往往能更準確 地描述結構疲勞壽命或腐蝕損傷的概率分布2，物理意義更加合理；在以損耗為特征的機械 零件壽命評估中，2專業(yè)課采用三參數威布爾分布比采用二參數威布爾分布擬合精度更高。因此，三 參數威布爾分布在強度與環(huán)境研究領域及機械零件磨損壽命評價中得到越來越廣泛的3專業(yè)課應用。在農業(yè)機械的強度設計中也經常要用到威布爾分布。威布爾分布參數估計方法有很多，國內外一直有人在進行相關研究3-84專業(yè)課，現有幾十種參 數估計方法，但多數只能用于形狀

2、參數和尺度參數的估計。在眾多的估計方法中，能用于三 參數估計的并不多，見諸文獻的有極大似然估5專業(yè)課計法、最大相關系數優(yōu)化法、概率權重矩法、灰色估計法、圖估計法等，除圖估計法外，其他方法大都計算復雜，應用不便，即便是計算 機水平發(fā)達的今天6專業(yè)課，也只能通過Matlab 或其他計算機語言編程計算。EXCEL 提供了超強的 數學運算、統計分析等實用程序，利用它的規(guī)劃求解功能可以快速、7專業(yè)課高效地求解三參數威 布爾分布的參數估計問題。2.三參數威布爾分布模型 威布爾分布的壽命分布函數由下式給出 式中：m 稱為形狀參數8專業(yè)課，m0；η稱為尺度參數，η0；γ稱為位置參數

3、，也稱最小壽 命，表示產品在γ以前不會失效，對9專業(yè)課于產品壽命有γ0,γ=0 時退化為二參數威布爾分布；t 是產品的工作時間，tγ。10專業(yè)課當m1 時，失效率是遞增的，適合于建模磨耗或老化失效。設有n 個產品進行壽命試驗數據，按失效時間先后得到的壽命數據12專業(yè)課失效時間(順序統計 量)為 n t tΛt 1 2，對應的累計失效概率(經驗分布函數)為()()()13專業(yè)課1 2 n F t F tΛF t。其中到第i 個產品失效時的累計失效概率F(ti)可用中位秩算14專業(yè)課法求得：F t i i（2）根據失效時間

4、和累計失效概率即可用各種方法對其參數進行估計。3.最大相關系數優(yōu)化法 對（15專業(yè)課1）式做變形處理，并取兩次自然對數得到：4.用EXCEL 進行參數估計（6）式所表示的方程十分復雜，解該方程一般是通過編程，用數值解法16專業(yè)課求出γ，然后 求再用最小二乘法或其他方法求解形狀參數和尺度參數。MS EXCEL 具有強大的統計和計 算功能，其“規(guī)劃求解”功17專業(yè)課能更是求解最優(yōu)化問題的強有力工具，（6）式所表示的方程利用 EXCEL 的“規(guī)劃求解”功能可很容易解出，然后再利用其散點圖的趨勢線功能即可求18專業(yè)課出形狀 參數和尺度參數。本文通過實例，就相關系數優(yōu)化法，用EXCEL 進行

5、求解。例：選取5 臺某產品進行可靠性試驗，失效時間分別是19專業(yè)課27,32,36,42,49，已知產品壽命 服從威布爾分布，試估計分布參數。1)準備數據表 按圖1 準備數據表 在A2A620專業(yè)課單元格中輸入產品失效的順序號15；在B2B6 單元格中輸入產品的失效時間27、32、36、42、49；在I8 單元21專業(yè)課格中輸入位置參數γ的迭代初值，初值可選擇接近于第一個失效時間，也 可用圖估計法的估計值作為初值；在C2 單元格中輸入公式22專業(yè)課“=LN(B2-$I$8)”，用填充柄填充C3C6 單元格，C2C6 單元格的值為i x，即ln(−γ)23專業(yè)

6、課i t；在D2 單元格中輸入公式“=C2*C2”，用填充柄填充D3D6 單元格，D2D6 單元 格的值為為2 i x；在24專業(yè)課E2 單元格中輸入公式“=(A2-0.3)/5.4”，用填充柄填充E3E6 單元格，E2E6 單 元格的值為為()i F t，這里25專業(yè)課()i F t 采用中位值算法，即F(t)=(i−0.3)(n+0.4)i；在F2 單元格中輸入公式“26專業(yè)課=LN(LN(1/(1-E2)”，用填充柄填充F3F6 單元格，F2 F6 單元格的值為為i y，即 1()ln ln 127專業(yè)課i−F t；在G2 單元格中輸入公式“=C2*F2”，用填充

7、柄填充G3G6 單元格，G2G6 單元格 的值為i28專業(yè)課i x⋅y；在C7 單元格中輸入公式“=AVERAGE(C2:C6)”，C7 單元格的值為x；在C8 單元格中29專業(yè)課輸入公式“=SUM(D2:D6)”，C8 單元格的值為Σ=n i i x 2；在C9 單元格中輸入公式“=AVER30專業(yè)課AGE(F2:F6)”，C9 單元格的值為y；在C10 單元格中輸入公式“=SUM(G2:G6)”，C10 單元格的值為&Sigma31專業(yè)課;=⋅n i i i x y ；在H2 單元格中輸入公式“=($C$7-C2)/(B2-$I$8)”，用填充柄填充H32專

8、業(yè)課3H6 單元格，H2H6 單元格的值為−γ在I2 單元格中輸入公式“=($C$9-F2)/(B2-$I33專業(yè)課$8)”，用填充柄填充I3I6單元格，I2 I6 單元格的值為；在F8 單元格中輸入公式“=SUM(H2:H6)”，F8單元格的34專業(yè)課值為Σ=；在F10 單元格中輸入公式“=SUM(I2:I6)”，F10單元格的值為Σ=在I10 單元格35專業(yè)課中輸入公式“=(C8-5*C72)*F10-(C10-5*C7*C9)*F8”，I10 單元格的值 就是（6）式的左邊。其他文字36專業(yè)課僅用于說明，與求解關系不大，可以不填。2）使用“

9、規(guī)劃求解”功能估計位置參數γ選擇“工具規(guī)劃求解”功能打開規(guī)劃求37專業(yè)課解參數對話框，目標單元格設為$I$10，目 標值設為0，可變單元格設為$I$8:$B$2。對于產品壽命有1 0&gamma38專業(yè)課;t，故單擊約束條件“添加”按鈕，添加約束條件：$I$8=0；單擊“求解”按鈕，即可獲得最大39專業(yè)課相關系數下的位置參數γ=20.2395，如圖2 所示，此時可獲得最大相關系數R(x,y)=0.99950878；3）使用圖40專業(yè)課表功能求形狀參數m 和尺度參數η插圖散點圖，橫坐標為xi，縱坐標為yi；在散點圖上添加趨勢線，回歸模型選擇“線性”，并選41專業(yè)課

10、擇“顯示公式”和“顯示R2值”；EXCEL自動繪制回歸直線，并把結果顯示在圖上，結果如圖3 所示。其中斜率1.8486 即為形狀參數m42專業(yè)課，而5.5088 即為lnηm，故19.69 5.結語（1）三參數威布爾分布的參數估計較二參數威布爾分布的參數估計更為復雜，用43專業(yè)課MS EXCEL 解決三參數威布爾分布的參數估計問題，實用方便。（2）用“規(guī)劃求解”進行位置參數的估計時，要注意選擇好迭代精度和44專業(yè)課初值，若精度和 初值選擇不合適，可能得不到最滿意的解，建議初值盡可能離第一個失效時間近一些，精度 不低于10-7。（3）失效概率有45專業(yè)課中位秩算法、平均秩算法，采用的算法不一樣，估計結果也會稍有不 同。46專業(yè)課http:/ 懷化親子鑒定中心精心發(fā)布，謝謝閱讀收藏，謝謝！47專業(yè)課