高等代數(shù)與解析幾何第七章13習(xí)題線性變換與相似矩陣答案.doc

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1、第七章 線性變換與相似矩陣 習(xí)題7.1 習(xí)題7.1.1判別下列變換是否線性變換？ （1）設(shè)是線性空間中的一個(gè)固定向量， （Ⅰ），， 解：當(dāng)時(shí)，顯然是的線性變換； 當(dāng)時(shí)，有，，則，即此時(shí)不是的線性變換。 （Ⅱ），； 解：當(dāng)時(shí)，顯然是的線性變換； 當(dāng)時(shí)，有，，則，即此時(shí)不是的線性變換。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的線性變換。因?qū)τ?，有，，所以? （Ⅱ）； 解：是的線性變換。設(shè)，其中，，則有 ， 。 （3）在中， （Ⅰ）， 解：是的線性變換：設(shè)，則 ， ，。 （Ⅱ），其中是中的固定數(shù)； 解：是的線性變換：設(shè)，則 ， ，。 （4）把復(fù)數(shù)域

2、看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，，其中是的共軛復(fù)數(shù)； 解：不是線性變換。因?yàn)槿?，時(shí)，有，，即。 （5）在中，設(shè)與是其中的兩個(gè)固定的矩陣，，。 解：是的線性變換。對(duì)，，有 ， 。 習(xí)題7.1.2在中，取直角坐標(biāo)系，以表示空間繞軸由軸向方向旋轉(zhuǎn)900的變換，以表示空間繞軸由軸向方向旋轉(zhuǎn)900的變換，以表示空間繞軸由軸向方向旋轉(zhuǎn)900的變換。證明 （表示恒等變換）， ， ； 并說明是否成立。 證明：在中任取一個(gè)向量，則根據(jù)，及的定義可知：，，；， ，；，，，即，故。 因?yàn)椋? ，所以。 因?yàn)椋? ，所以。 因?yàn)椋? ，所以。 習(xí)題7.1.3在中，，，證明。 證明：在中任取一多項(xiàng)

3、式，有 。所以。 習(xí)題7.1.4設(shè)，是上的線性變換。若，證明 。 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)時(shí)，有 命題成立。假設(shè)等式對(duì)成立，即。下面證明等式對(duì)也成立。因有 ，即等式對(duì)也成立，從而對(duì)任意自然數(shù)都成立。 習(xí)題7.1.5證明（1）若是上的可逆線性變換，則的逆變換唯一；（2）若，是上的可逆線性變換，則也是可逆線性變換，且 。 證明：（1）設(shè)都是的逆變換，則有，。進(jìn)而。即的逆變換唯一。 （2）因，都是上的可逆線性變換，則有 ，同理有 由定義知是可逆線性變換，為逆變換，有唯一性得。 習(xí)題7.1.6設(shè)是上的線性變換，向量，且，，，都不

4、是零向量，但 。證明，，，線性無關(guān)。 證明：設(shè)，依次用可得 ，得，而，故；同理有：，得，即得；依次類推可得，即得，進(jìn)而得。 有定義知，，，線性無關(guān)。 習(xí)題7.1.7設(shè)是上的線性變換，證明是可逆線性變換的充要條件為既是單射線性變換又是滿射線性變換，即是一一變換。 證明：已知是可逆線性變換，即存在。若，則兩端用作用即得，因此是單射線性變換。 若任取，則存在，使得，即是滿射線性變換。 已知既是單射線性變換又是滿射線性變換，即雙射。現(xiàn)定義新的變換：，定有，且有，規(guī)定，有，同時(shí)有，即有。由定義知是可逆線性變換。 習(xí)題7.1.8設(shè)是上的線性變換，證明（1）是單射線性變換的充要條件為

5、；（2）是單射線性變換的充要條件為把線性無關(guān)的向量組變?yōu)榫€性無關(guān)的向量組。 證明：（1）已知是單射線性變換，對(duì)，則有，由單射得，即。 已知，若，則有，得，即得，故是單射。 （2）已知是單射線性變換。設(shè)線性無關(guān)，現(xiàn)證也線性無關(guān)。令，整理有，而是單射，有，已知線性無關(guān)，所以，故也線性無關(guān)。 已知把線性無關(guān)的向量組變?yōu)榫€性無關(guān)的向量組。若，則有，并一定有。否則若，則說明向量線性無關(guān)，而表示把線性無關(guān)的向量組變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組，與條件矛盾。而由可得，即是單射線性變換。 習(xí)題7.1.9設(shè)是中全體可逆線性變換所成的子集，證明關(guān)于線性變換的乘法構(gòu)成一個(gè)群。（超范圍略） 習(xí)題7.1.10設(shè)，是上

6、的線性變換，且證明 （1）若，則； （2）若，則。 證明：（1）因?yàn)?，。所? ， 從而或。又因?yàn)? 。 故。 （2）因?yàn)?，，所? 。 習(xí)題7.1.11設(shè)與分別是數(shù)域上的維與維線性空間，是的一個(gè)有序基，對(duì)于中任意個(gè)向量，證明存在唯一的線性映射，使，。 證明：先證明存在性。對(duì)任意的，有唯一的線性表達(dá)式 我們定義 顯然有 ，。 現(xiàn)驗(yàn)證為到的一個(gè)線性映射。 （1）對(duì)任意的向量，因?yàn)? ，由定義得 。 （2）對(duì)任意的，因?yàn)椋啥x得 。 所以為到的一個(gè)線性映射。 再證唯一性：若另有到的一個(gè)線性映射，也使得 ，。 則對(duì)任意向量，一定有

7、 。 由在中的任意性，可得。 習(xí)題7.1.12設(shè)與分別是數(shù)域上的維與維線性空間，是線性映射。證明是的子空間，是的子空間。又若有限，證明。這時(shí)稱為的零度，稱為的秩。 證明：（1）先證與分別為與的子空間， 對(duì)，，有， 所以，故為的子空間；同理，對(duì)， ，則，使，，所以 所以為的子空間. （2）再證 因有限，不妨設(shè)，，在中取一個(gè)基 ，再把它擴(kuò)充為的一個(gè)基，則 是像空間的一個(gè)基. 事實(shí)上，對(duì)，存在，使得。 設(shè)，則有 即中的任意向量都可由線性表示。 現(xiàn)證向量組線性無關(guān)： 設(shè) ，有，即 ，所以向量可由向量組線性表示，進(jìn)

8、而有 ，整理有 ， 又因線性無關(guān)，所以必有，因此線性無關(guān)，即為的一個(gè)基，故 。 習(xí)題7.1.13證明關(guān)于定義7.1.12中所定義的線性映射的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成上的一個(gè)線性空間。 證明：現(xiàn)證明定義7.1.12中所定義的線性映射的加法與數(shù)量乘法都是從到的線性映射。 事實(shí)上，對(duì)，，有 故為到的線性映射。同理，對(duì)，，有 ， ， 故為到的線性映射。 另外線性映射的加法與數(shù)量乘法顯然滿足： （1） 結(jié)合律：； （2）交換律: ； （3）存在零線性映射，對(duì)，有； （4）對(duì)，有負(fù)線性映射，使得； （5）； （6）； （

9、7）； （8）。其中， 所以關(guān)于定義7.1.12中所定義的線性映射的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成上的一個(gè)線性空間。 習(xí)題7.1.14證明：。 證明：設(shè)為維線性空間，為維線性空間，即，。取定的一組基和的一組基。令為到的如下映射：，其中為在基與基下的矩陣。這樣定義的是到的同構(gòu)映射。 事實(shí)上，（1）若，，且，則有，。由于，對(duì)每一個(gè)都有，故有，即是單射。 （2），令 。 則存在唯一的線性映射使得，并且 由此可見，是滿射。 （3）對(duì)，，有，，其中即有，，所以 ，故有，所以是到的同構(gòu)映射。進(jìn)而有 。 習(xí)題7.2 習(xí)題7.2.1求下列線性變換在所指定的一個(gè)基下的矩陣： （1）

10、的線性變換，，其中 為固定矩陣。求，在這個(gè)基下的矩陣； （2）設(shè)是線性空間的線性變換，求在基下的矩陣； （3）6個(gè)函數(shù)：，，， ，， 的所有實(shí)系數(shù)線性組合構(gòu)成實(shí)數(shù)域上一個(gè)6維線性空間。求微分變換在基下的矩陣。 解：（1）由，的定義直接可得： ， ， ， 。 所以在這個(gè)基下的矩陣為 。 ， ， ， 。 所以在這個(gè)基下的矩陣為 。 （2）由直接可得： ， ， ， ……………………… ， …

11、…………………… 。 所以在基下的矩陣為： 。 （3）由微分運(yùn)算性質(zhì)直接可得： ， ， ， ， ， 。 所以微分變換在基下的矩陣為： 。 習(xí)題7.2.2設(shè)是的一個(gè)基， ，，，。 已知線性無關(guān)。證明： （1） 存在唯一的線性變換，使，； （2）（1）中的在基下的矩陣為； （3）（1）中的在基下的矩陣為。 證明：（1）因?yàn)榫€性無關(guān)，所以也是的一個(gè)基。故對(duì)的一個(gè)基及個(gè)向量，定存在唯一的線性變換，使，。 （2） 由已知條件有 ，， 其中與都是的基，所以可逆，且有，進(jìn)而有。再由（1）得，所以在基下的矩陣為。 （3） 類似有 ，所以在基下的矩陣為。 習(xí)題7

12、.2.3在中，定義線性變換為 ，，， 其中 ，，。 （1）求在基下的矩陣； （2）求在基下的矩陣。 解：（1）由定義知 ，， 所以有 。 故在基下的矩陣為：。 （2）類似有 。 故在基下的矩陣為：。 習(xí)題7.2.4在中，線性變換在基，，下的矩陣是。求在基下的矩陣。 解：已知，， 則有 。 即在基下的矩陣為：。 習(xí)題7.2.5設(shè)數(shù)域上3維線性空間的線性變換在基下的矩陣為 （1）求在基下的矩陣； （2）求在基下的矩陣； （3）求在基下的矩陣。 解：（1）由已知可得 ， ， 。 所以在基下的矩

13、陣為：。 （2）由已知可得 ， ， 。 所以在基下的矩陣為：。 （3）由已知可得 ， ， 。 所以在基下的矩陣為： 。 習(xí)題7.2.6在維線性空間中，設(shè)有線性變換與向量使，但。證明：在中存在一個(gè)基，使在該基下的矩陣為 。 證明：由習(xí)題7.1.6知：維線性空間的向量組，，，線性無關(guān)，且有個(gè)向量，即構(gòu)成的一組基，而線性變換作用此基有：， ， …………… ， 。 故在基，，，下的矩陣為： 。 習(xí)題7.2.7設(shè)是數(shù)域上維線性空間的全體線性變換組成的數(shù)域上的線性空間，試求，并

14、找出中的一個(gè)基。 求證：任取的一組基，令為到的映射：，其中。由引理7.2.6及定理7.2.7知為同構(gòu)映射，即。所以它們的維數(shù)相同，而，故。 現(xiàn)取，，使得，即，。已知，是的一組基，故，為的一組基。 習(xí)題7.2.8證明：與維線性空間的全體線性變換都可交換的線性變換是數(shù)乘變換。 證明：在某組確定的基下，數(shù)域上的維線性空間的線性變換與數(shù)域上的階方陣間建立了一個(gè)雙射，因?yàn)榕c一切階方陣可交換的方陣為數(shù)量矩陣，所以與一切線性變換可交換的線性變換必是數(shù)乘變換。 習(xí)題7.2.9設(shè)是維線性空間的一個(gè)線性變換，如果在的任意一個(gè)基下的矩陣都相同，則是數(shù)乘變換。 證明：設(shè)在基下的矩陣為，只要證明為數(shù)量矩陣即

15、可。設(shè)為任意可逆矩陣，令，則也是的一組基，且在這組基下的矩陣為，依題意有。特別地，當(dāng)取時(shí)，計(jì)算可得 。 再取，由可得，即為數(shù)量矩陣，所以是數(shù)乘變換。 習(xí)題7.2.10證明： 與 相似，其中是的一個(gè)排列。 證明：用依次表示這兩個(gè)矩陣，取一個(gè)維線性空間及其一組基，對(duì)于矩陣，存在的線性變換，使得 ， 由此可得 。 因?yàn)榕c是在不同基下的矩陣，所以與相似。 習(xí)題7.2.11如果可逆，證明與相似。 證明：因?yàn)?，所以與相似。 習(xí)題7.2.12如果與相似，與相似，試判斷下列敘述是否正確？如果不正確，請(qǐng)舉反例，否則給出證明。 （1）與相似； （2）與相似； （3）與相似。 答：

16、（1）正確。證明：由于與相似，與相似，因此存在可逆陣，，使得，，從而有 ， 其中，所以與相似。 （2）不正確。反例：設(shè)，，則有，使，，即，故與相似；再取，則與顯然相似。但，。 設(shè)，且滿足，即， 計(jì)算得，即得，故不可逆。所以與不相似。 （3）不正確。反例：取同（2），有 ，， 兩矩陣秩不同。顯然，與不相似。 習(xí)題7.3 習(xí)題7.3.1設(shè)是數(shù)域上線性空間，是的線性變換。如果是的特征值，則對(duì)任意多項(xiàng)式，是的特征值，且的屬于的特征向量也是的屬于的特征向量。 證明：設(shè)為的屬于的特征向量，即，則對(duì)任意自然數(shù)，有 。 事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，顯然成立。假設(shè)時(shí)，有成立?，F(xiàn)證時(shí)也成

17、立，即 。 故由數(shù)學(xué)歸納法得式對(duì)任意自然數(shù)均成立。 設(shè)，則有 ， 即。 習(xí)題7.3.2對(duì)復(fù)數(shù)域上線性空間上的下述線性變換，求出它的特征值與特征向量，判斷是否可以對(duì)角化，在可對(duì)角化時(shí)，求出過度矩陣，并計(jì)算。已知在的一個(gè)基下的矩陣為 （1）；（2）；（3）；（4）。 解：（1）設(shè)在基下的矩陣為，矩陣的特征多項(xiàng)式為 。 所以的特征值為，。 先求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為； 再求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為。 可以對(duì)角化。取的兩個(gè)線性無

18、關(guān)的特征向量，，即，其中為由基到基的過渡矩陣。且有。 （2）設(shè)在基下的矩陣為，且當(dāng)時(shí)，有，于是矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為。 求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，，因?yàn)榈膶儆谔卣髦档膬蓚€(gè)線性無關(guān)的特征向量為，所以以中任意非零向量為其特征向量。 當(dāng)時(shí)，矩陣的特征多項(xiàng)式為，所以的特征值為。 先求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為； 再求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為。 可以對(duì)角化。取的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，，即，其中為由基到基的過渡矩陣。且

19、有。 （3）設(shè)在基下的矩陣為，矩陣的特征多項(xiàng)式為 。 所以的特征值為。 先求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為； 再求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特征向量為。 由于找不到的三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故不可對(duì)角化。 （4）設(shè)在基下的矩陣為，矩陣的特征多項(xiàng)式為 。 所以的特征值為。 先求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，，，所以的屬于特征值的全部特征向量為 ； 再求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的全部特

20、征向量為。 可以對(duì)角化。取的四個(gè)線性無關(guān)的特征向量，，，，即 ， 其中為由基到基的過渡矩陣。且有。 習(xí)題7.3.3證明：是矩陣的特征值的充要條件是矩陣為奇異陣。 證明：設(shè)非零向量為矩陣的屬于特征值的特征向量，則有，整理得，因，所以齊次線性方程組有非零解，故系數(shù)行列式。反之亦然。 習(xí)題7.3.4設(shè)，求。 解：矩陣的特征多項(xiàng)式為 。 所以的特征值為。 對(duì)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系； 對(duì)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系； 對(duì)，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系。令，有，進(jìn)而有，故 。 習(xí)題7.3.5設(shè)是4維線性空間的一個(gè)基，線性變換在這個(gè)基下的矩陣為 。 （1） 求在一

21、個(gè)基下的矩陣，其中 （2）求的特征值與特征向量； （3）求一可逆陣，使為對(duì)角陣。 解：（1）由條件有， 令，則線性變換在基下的矩陣為 。 （2）因?yàn)榫€性變換的特征多項(xiàng)式為 。 所以線性變換的特征值為。 先求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，，所以的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為，。全部特征向量為 ； 再求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量為 。 全部特征向量為 。 最后求的屬于特征值的特征向量。解齊次線性方程組，求得基礎(chǔ)解系為，所以的屬于特征值的線性無關(guān)

22、的特征向量為 。 全部特征向量為 。 （3）因?yàn)?，所以所求的可逆矩陣為，于是? 。 習(xí)題7.3.6（1）設(shè)是線性變換的兩個(gè)不同特征值，是分別屬于的特征向量。證明：不是的特征向量； （2）證明：如果線性變換以中每個(gè)非零向量作為它的特征向量，則是數(shù)乘變換。 證明：（1）因?yàn)椋?，所? 。 假設(shè)是線性變換的屬于特征值的特征向量，即，且有，整理可得 。 由于線性變換的屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)，因此，于是得，這與題設(shè)矛盾，因而不是的特征向量。 （2）任取的一個(gè)非零向量，設(shè)。再任取的一個(gè)向量，若或，則顯然有；若，則由假設(shè)也是特征向量，設(shè)。如果，則由（1）知

23、，不是的特征向量，這與題意矛盾。故，即仍有。這就說明的任意兩個(gè)特征值都相等，故為數(shù)乘變換。 習(xí)題7.3.7設(shè)是的線性變換。證明： （1）的行列式為零的充要條件是至少有一個(gè)特征值為零； （2）如果是可逆線性變換，則其特征值一定不為零；又如果是的特征值，則必是的特征值。 證明：（1）設(shè)線性變換在一組基下的矩陣為，是的所有特征值，則有，所以的行列式為零至少有一個(gè)。 （2）（反證法）設(shè)可逆線性變換有一個(gè)特征值為，而是它的一個(gè)特征向量，即有。用作用的兩邊得，。這與矛盾，故可逆線性變換的特征值一定不為零。 設(shè)為的屬于特征值的一個(gè)特征向量，即。由于可逆，得，進(jìn)而有，即，也可寫成，故必是的一個(gè)特征

24、值。 習(xí)題7.3.8設(shè)，是階方陣。證明： （1）； （2）如果，則，即相似的矩陣必有相同的跡； （3）設(shè)，。驗(yàn)證：與有相同的特征多項(xiàng)式，但與不相似。 證明：（1）設(shè)，為任意兩個(gè)階方陣，則主對(duì)角線上的元素為 ，，。 它們的和為。 同樣，的主對(duì)角線上的元素的和為 。 故。 （2）根據(jù)（1）可得 。 即相似的矩陣必有相同的跡。 （3）因?yàn)椋云涮卣鞫囗?xiàng)式為；又因?yàn)椋云涮卣鞫囗?xiàng)式為，故與有相同的特征多項(xiàng)式。 現(xiàn)設(shè)矩陣，使得成立，展開有 ，，即得 。解得。所以是不可逆的，故與不相似。 習(xí)題7.3.9設(shè)的線性變換的互不相同的特征值為。如果在每一個(gè)特征值的特征子空間中取基，恰構(gòu)成全空間的一個(gè)基。證明：必可對(duì)角化。 證明：設(shè)特征值的特征子空間的基為，，則有，，，即每一個(gè)，都是的特征向量。 又知,恰構(gòu)成空間的一個(gè)基，即得有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以必可對(duì)角化。