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1、考點規(guī)范練17 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)
一、基礎鞏固
1.若sin α<0,且tan α>0,則α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案C
解析∵sinα<0,∴α的終邊落在第三、第四象限或y軸的負半軸.
又tanα>0,∴α在第一象限或第三象限.
綜上可知,α在第三象限.
2.將表的分針撥慢10分鐘,則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是( )
A.π3 B.π6 C.-π3 D.-π6
答案A
解析將表的分針撥慢應按逆時針方向旋轉(zhuǎn),故選項C,D不正確.
∵撥慢10分鐘,∴轉(zhuǎn)過的角度應為
2、圓周的212=16,
即為16×2π=π3.
3.若角α是第二象限角,則點P(sin α,cos α)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案D
解析∵α是第二象限角,∴sinα>0,cosα<0,
∴點P(sinα,cosα)在第四象限,故選D.
4.如果1弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個圓心角所對的弧長為( )
A.1sin0.5 B.sin 0.5 C.2sin 0.5 D.tan 0.5
答案A
解析連接圓心與弦的中點,則由弦心距、弦長的一半、半徑構成一個直角三角形,弦長的一半為1,其所對的圓心角為0.5,故半徑為1sin0.5
3、,這個圓心角所對的弧長為1sin0.5.故選A.
5.已知α是第二象限角,P(x,5)為其終邊上一點,且cos α=24x,則x=( )
A.3 B.±3 C.-2 D.-3
答案D
解析依題意得cosα=xx2+5=24x<0,由此解得x=-3,故選D.
6.已知角α的終邊經(jīng)過點(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3]
答案A
解析由cosα≤0,sinα>0可知,角α的終邊在第二象限或y軸的正半軸上,所以有3a-9≤0,a+2>0,解得-2
4、已知角α的終邊上一點P的坐標為sin2π3,cos2π3,則角α的最小正值為( )
A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π6
答案D
解析由題意知點P在第四象限,根據(jù)三角函數(shù)的定義得cosα=sin2π3=32,故α=2kπ-π6(k∈Z),所以α的最小正值為11π6.
8.已知點A的坐標為(43,1),將OA繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)π3至OB,則點B的縱坐標為( )
A.332 B.532 C.112 D.132
答案D
解析由點A的坐標為(43,1),可知OA繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)π3至OB,則OB邊仍在第一象限.
故可設直線OA的傾斜角為α,B(m,n)(m>0
5、,n>0),則直線OB的傾斜角為π3+α.
因為A(43,1),所以tanα=143,tanπ3+α=nm,nm=3+1431-3·143=1333,即m2=27169n2,因為m2+n2=(43)2+12=49,所以n2+27169n2=49,所以n=132或n=-132(舍去),所以點B的縱坐標為132.
9.在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以Ox為始邊,它們的終邊關于y軸對稱.若sin α=13,則sin β= .?
答案13
解析由角α與角β的終邊關于y軸對稱,得α+β=2kπ+π,k∈Z,即β=2kπ+π-α,k∈Z,
故sinβ=sin(2kπ+π-α)=s
6、inα=13.
10.已知角α的終邊在直線y=-3x上,則10sin α+3cosα的值為 .?
答案0
解析設角α終邊上任一點為P(k,-3k),
則r=k2+(-3k)2=10|k|.
當k>0時,r=10k,
∴sinα=-3k10k=-310,1cosα=10kk=10,
∴10sinα+3cosα=-310+310=0;
當k<0時,r=-10k,
∴sinα=-3k-10k=310,1cosα=-10kk=-10,
∴10sinα+3cosα=310-310=0.
綜上,10sinα+3cosα=0.
11.設角α是第三象限角,且sinα2=-sin
7、 α2,則角α2是第 象限角.?
答案四
解析由α是第三象限角,可知2kπ+π<α<2kπ+3π2(k∈Z).
故kπ+π2<α2
8、θ+20=40,θ=2.
∴當r=10,θ=2時,扇形的面積最大.
二、能力提升
13.已知角α=2kπ-π5(k∈Z),若角θ與角α的終邊相同,則y=sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|+tanθ|tanθ|的值為( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
答案B
解析由α=2kπ-π5(k∈Z)及終邊相同的角的概念知,角α的終邊在第四象限.
又角θ與角α的終邊相同,所以角θ是第四象限角.
所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0.
所以y=-1+1-1=-1.
14.下列結論錯誤的是( )
A.若0<α<π2,則sin α
9、限角,則α2為第一象限或第三象限角
C.若角α的終邊過點P(3k,4k)(k≠0),則sin α=45
D.若扇形的周長為6,半徑為2,則其圓心角的大小為1弧度
答案C
解析若0<α<π2,則sinα
10、同的角中,絕對值最小的角的弧度數(shù)為 .?
答案-5π6
解析∵2010°=67π6=12π-5π6,∴與2010°終邊相同的角中絕對值最小的角的弧度數(shù)為-5π6.
16.函數(shù)y=sinx+12-cosx的定義域是?
.?
答案π3+2kπ,π+2kπ(k∈Z)
解析由題意知sinx≥0,12-cosx≥0,即sinx≥0,cosx≤12.
由滿足上述不等式組的三角函數(shù)線,得x的取值范圍為π3+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.
17.(2018河北唐山質(zhì)檢)頂點在原點,始邊在x軸的正半軸上的角α,β的終邊與單位圓交于A,B兩點,若α=30°,β=60°,則弦AB的長為 .?
答案6-22
解析由三角函數(shù)的定義得A(cos30°,sin30°),B(cos60°,sin60°),即A32,12,B12,32.
所以|AB|=12-322+32-122=232-12=6-22.
三、高考預測
18.若點P(3,y)是角α終邊上的一點,且滿足y<0,cos α=35,則tan α= .?
答案-43
解析由三角函數(shù)定義,知cosα=39+y2=35,且y<0,
可解得y=-4.
故tanα=yx=-43.
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