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1、瘋狂專練19 平面向量
一、選擇題
1．下列說法正確的是（）
A．零向量沒有方向，沒有模長
B．，為實數，若，則與共線
C．兩相等向量，若起點相同，則終點在相同
D．單位向量都相等
2．若，，共線，則的值為（）
A． B． C． D．
3．若是非零向量，是單位向量，①，②，③，④，⑤，
其中正確的有（）
A．①②③ B．①②⑤ C．①②④ D．①②
4．已知，，，若，則向量與向量的夾角為（）
A． B． C． D．
5．已知等邊內接于，為線段的靠近點的三等分點，則（）
A． B． C． D．
6．設，不共線，，，，若，，三點共線，則實數的值是（）
2、A． B． C． D．
7．已知向量與的夾角為，且，，則等于（）
A． B． C． D．
8．已知菱形的邊長為，，點，分別在，邊上，
且，，若，，則（）
A． B． C． D．
9．已知內部的一點，恰使，則，與的面積之比為（）
A． B． C． D．
10．已知的點滿足，點為邊上離最近的一個四等分點，若存在一個實數，使得成立，則等于（）
A． B． C． D．
11．已知，，且存在實數和（，），使得，，，則的最小值為（）
A． B． C． D．
12．已知，，，，若是所在平面內一點，且，則的取值范圍是（）
A． B． C． D．
二、填空題
13．
3、已知，，若與垂直，則．
14．已知，，與的夾角為，當向量與的夾角為銳角時，實數的取值范圍為．
15．如圖，在矩形中，，，點在邊上，且，點為上一點，若，則．
16．如圖所示，在等腰三角形中，已知，，，分別是，上的點，且，（其中，），且，若線段、的中點分別為，，則的最小值為．
答 案 與解析
一、選擇題
1．【答案】C
【解析】零向量的方向是任意的，模長為，故A選項錯誤；
若，則與有可能不共線，故B選項錯誤；
兩相等向量起點相同時終點也相同，故C選項正確；
單位向量模長相等，單位向量若方向不同，則不是相等向量，故D選項錯誤．
2．【答案】B
4、【解析】依題可知，，
∵，，三點共線，∴與共線，
因此，解得．
3．【答案】D
【解析】∵，∴，①正確；
為單位向量，故，②正確；
表示與方向相同的單位向量，不一定與方向相同，故③錯誤；
若，則與共線，這不一定，故④錯誤；
若與垂直，則有，故⑤錯誤．
4．【答案】C
【解析】，∵，∴，得，
∴，，
設向量與向量的夾角設為，
，∴．
5．【答案】D
【解析】如圖所示，
延長交線段于，可知為中點，
則，故選D．
6．【答案】B
【解析】∵，，，
∴，
∵，，三點共線，∴，即，
∴．
7．【答案】A
【解析】∵向量與的夾角為，且，，∴，
即，
5、∴，，
即，解得．
8．【答案】C
【解析】∵，∴，
∵，∴，，
∵，∴，即，①
同理由，可得，②
①②得，故選C．
9．【答案】B
【解析】∵，∴．
如圖所示，，分別為，的中點，根據平行四邊形法則可知，，，∴，即，
∴，，三點共線，且為線段靠近點的四等分點，，，，
∴，，的面積之比為，應選B．
10．【答案】B
【解析】∵，可知為中線交點，延長交于，則為中點，
∵為邊上離最近的一個四等分點，∴為中點，
∵成立，
，
∴．
11．【答案】A
【解析】∵，，∴，，，
∴，
∵，∴，即，
∴，
將，，代入上式得，則，
∴，
當時，有最
6、小值為．
12．【答案】D
【解析】由題意建立如圖所示的坐標系，可得，，，
∴，∴，
∴，，
∴
，
令，，根據對勾函數單調性可知，
當時，取得最小值為，則的最大值為；
當時，取最大值為，則的最小值為，
∴的取值范圍是．
二、填空題
13．【答案】或
【解析】，，
∵與垂直，∴，
即，解得或．
14．【答案】
【解析】，
∵向量與的夾角為銳角，∴，
由，得．
當向量與方向相同時，，
即當時，雖然，但是向量與的夾角為，不合題意，
∴的取值范圍是．
15．【答案】
【解析】由題意可得，
∴，
∴，得，∴，
又∵，，
∴
，
∴．
16．【答案】
【解析】連接，，∵等腰三角形中，，，
∴，
∵是的中線，∴，
同理可得，
則，
∴
，①
∵，可得代入①中得，，
∵，，∴，
當時，的最小值為，此時最小值為．
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2020屆高考數學二輪復習 瘋狂專練19 平面向量（理）
