（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 專題一 三角函數(shù)、平面向量與解三角形 第5講 三角函數(shù)的實際應(yīng)用練習

《（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 專題一 三角函數(shù)、平面向量與解三角形 第5講 三角函數(shù)的實際應(yīng)用練習》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 專題一 三角函數(shù)、平面向量與解三角形 第5講 三角函數(shù)的實際應(yīng)用練習（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第5講 三角函數(shù)的實際應(yīng)用 1．一船自西向東勻速航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°，距燈塔68 n mile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則此船航行的速度為________n mile/h. 解析：如圖，由題意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°. 在△PMN中，＝， ∴MN＝68×＝34 n mile. 又由M到N所用的時間為14－10＝4小時， ∴此船的航行速度v＝＝ n mile/h. 答案： 2．在200米高的山頂上，測得山下一塔塔頂和塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為________米． 解析：如圖所示，設(shè)AB為山高

2、，CD為塔高，則AB＝200，∠ADM＝30°，∠ACB＝60°，所以BC＝＝，AM＝DMtan 30°＝BCtan 30°＝. 所以CD＝AB－AM＝. 答案： 3.為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標系，設(shè)秒針位置為P(x，y)．若初始位置為P0，當秒針從P0(注：此時t＝0)開始走時，點P的縱坐標y與時間t的函數(shù)解析式為________． 解析：由題意知，函數(shù)的周期為T＝60， ∴|ω|＝＝. 設(shè)函數(shù)解析式為y＝sin. ∵初始位置為P0， ∴t＝0時，y＝，∴sin φ＝，∴φ可取， ∴函數(shù)解析式可以是y＝sin. 又由秒針順時針轉(zhuǎn)動可知，y的值從t＝0

3、開始要先逐漸減小， 故y＝sin. 答案：y＝sin 4．已知某海濱浴場海浪的高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，記作：y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)： t(時) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 經(jīng)過長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acos ωt＋b的圖象． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式； (2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高

4、于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00時至晚上20：00時之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？ 解：(1)由表中數(shù)據(jù)知最小正周期T＝12. 所以ω＝＝＝. 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.① 由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.② 聯(lián)立①②，可得A＝0.5，b＝1， 所以振幅A為，y＝cost＋1. (2)由cost＋1>1，得cost>0. 所以2kπ－

5、：00至晚上20：00之間有6個小時時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00. 5．(2019·南京、鹽城二模)某公園內(nèi)有一塊以O(shè)為圓心、半徑為20米的圓形區(qū)域．為豐富市民的業(yè)余文化生活，現(xiàn)提出如下設(shè)計方案：如圖，在圓形區(qū)域內(nèi)搭建露天舞臺，舞臺為扇形OAB區(qū)域，其中兩個端點A，B分別在圓周上；觀眾席為梯形ABQP內(nèi)且在圓O外的區(qū)域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝，且AB，PQ在點O的同側(cè)，為保證視聽效果，要求觀眾席內(nèi)每一個觀眾到舞臺O處的距離都不超過60米．設(shè)∠OAB＝α，α∈.問：對于任意α，上述設(shè)計方案是否均能符合要求？ 解：過O作OH垂直于AB，垂足為H(圖

6、略)． 在Rt△OHA中，OA＝20，∠OAH＝α， 所以AH＝20cos α，因此AB＝2AH＝40cos α. 由圖可知，點P處觀眾離點O處最遠． 在△OAP中，由余弦定理可知 OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos ＝400＋(40cos α)2－1 600cos α· ＝400(6cos2α＋2sin αcos α＋1) ＝400(3cos 2α＋sin 2α＋4) ＝800sin＋1 600. 因為α∈，所以當2α＝時，即α＝時， (OP2)max＝800＋1 600，即(OP)max＝20＋20. 因為20＋20<60，所以觀眾席內(nèi)每一個觀眾到舞臺O

7、處的距離都不超過60米， 答：對于任意α，上述設(shè)計方案均能符合要求． 6．(2019·啟東期末)如圖，某公園內(nèi)有一塊矩形綠地區(qū)域ABCD，已知AB＝100米，BC＝80米，以AD，BC為直徑的兩個半圓內(nèi)種花草，其他區(qū)域種植苗木．現(xiàn)決定在綠地區(qū)域內(nèi)修建由直路BN，MN和弧形路MD三部分組成的觀賞道路，其中直路MN與綠地區(qū)域邊界AB平行，直路為水泥路面，其工程造價為每米2a元，弧形路為鵝卵石路面，其工程造價為每米3a元，修建的總造價為W元，設(shè)∠NBC＝θ. (1)求W關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式； (2)如何修建道路，可使修建的總造價最少？并求最少總造價． 解：(1) 連結(jié)NC，AM，設(shè)

8、AD的中點為O，連結(jié)MO，過N作EN⊥BC，垂足為E. 由BC為直徑知，∠BNC＝90°， 又BC＝80米，∠NBC＝θ， 所以BN＝80cos θ米，NE＝BN sin θ＝80sin θcos θ， 因為MN∥AB，AB＝100米， 所以MN＝AB－2NE＝100－160sin θcos θ米， 由于∠DOM＝2∠MAD＝2θ，OM＝40米． 所以＝40×2θ＝80θ米， 因為直路的工程造價為每米2a元，弧形路的工程造價為每米3a元，所以總造價為 W＝2a(BN＋MN)＋3a ＝2a(80cos θ＋100－160sin θcos θ)＋3a·80θ ＝40a(4co

9、s θ－8sin θcos θ＋6θ＋5). 所以W關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為W＝40a(4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5). (2)設(shè)f(θ)＝4cos θ－8sin θcos θ＋6θ＋5,0<θ<. 則f′(θ)＝－4sin θ－8cos2θ＋8sin2θ＋6＝16sin2θ－4sin θ－2＝2(4sin θ＋1)(2sin θ－1)． 令f′(θ)＝0，得θ＝. 列表如下： θ f′(θ) － 0 ＋ f(θ) 極小值 所以，當θ＝時，f(θ)取得最小值． 此時，總造價W最少，最少總造價為(200＋40π)a元． 答：(1)W

10、關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為 W＝40a(4cos θ－8sin θcos θ＋60＋5)； (2)當θ＝時，修建的總造價最少，最少總造價為(200＋40π)a元． 7.某避暑山莊擬對一半徑為1百米的圓形地塊(如圖)進行改造，擬在該地塊上修建一個等腰梯形的游泳池ABCD，其中AB∥CD，∠DAB＝60°，圓心O在梯形內(nèi)部，設(shè)∠DAO＝θ.當該游泳池的面積與周長之比最大時為“最佳游泳池”． (1)求梯形游泳池的面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并指明定義域； (2)求當該游泳池為“最佳游泳池”時tan θ的值． 解：(1)如圖，分別取AB，CD的中點E，F(xiàn)，連結(jié)EF，OD，由平面幾何知識可得E，

11、O，F(xiàn)三點共線，且EF⊥AB，EF⊥CD. 易知AB＝2AE＝2cos(60°－θ)，DC＝2DF＝2cos(120°－θ)， EF＝OE＋OF＝sin(60°－θ)＋sin(120°－θ)＝cos θ， 且得30°＜θ＜60°. 則梯形ABCD的面積 S＝(AB＋CD)×EF ＝[2cos(60°－θ)＋2cos(120°－θ)]×cos θ ＝3sin θcos θ(百米2)，30°＜θ＜60°. (2)易知AD＝2cos θ， 由(1)可得梯形ABCD的周長 l＝AB＋CD＋2AD＝2sin θ＋4cos θ(百米)． 設(shè)y＝，30°＜θ＜60°， 則y′＝. 由y′＝0得tan3θ＝. 令tan θ0＝ ，則當30°＜θ＜θ0時，y′＞0，y單調(diào)遞增，當θ0＜θ＜60°時，y′＜0，y單調(diào)遞減， 所以當θ＝θ0，即tan θ＝ 時，該游泳池為“最佳游泳池”． - 6 -