（全國通用）2020版高考數(shù)學二輪復習 第四層熱身篇 專題檢測（六）三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、專題檢測（六） 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) A組——“6＋3＋3”考點落實練 一、選擇題 1.(2019·合肥市第一次質(zhì)檢)已知cos α－sin α＝，則cos＝(　　) A.－　　　　　　　　　 B.－ C. D. 解析：選C　由cos α－sin α＝，得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝，所以cos＝sin 2α＝，故選C. 2.(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋1，則(　　) A.f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B.f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C.f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D.

2、f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 解析：選B　f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＋2＝2sin＋2，則f(x)的最小正周期為＝π，最大值為2＋2＝4.故選B. 3.(2019·四川攀枝花模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，現(xiàn)將此圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的解析式為(　　) A.g(x)＝2sin 2x B.g(x)＝2sin C.g(x)＝2sin D.g(x)＝2sin 解析：選D　根據(jù)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象可得A＝2，·＝＋，∴ω＝2. 再根據(jù)五

3、點法作圖可得2×＋φ＝，∴φ＝－， ∴函數(shù)f(x)＝2sin＝2sin 2. 把f(x)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)＝2sin 2＝2sin的圖象，故選D. 4.(2019·昆明市質(zhì)量檢測)將函數(shù)y＝sin的圖象向左平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)在區(qū)間[－m，m]上單調(diào)遞增，則m的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　函數(shù)y＝sin的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象對應的函數(shù)解析式為y＝sin＝cos，由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以當k＝0時函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是，所以m的最大值為.故選A.

4、 5.(2019·全國卷Ⅰ)關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四個結(jié)論： ①f(x)是偶函數(shù)；②f(x)在區(qū)間單調(diào)遞增； ③f(x)在[－π，π]有4個零點；④f(x)的最大值為2. 其中所有正確結(jié)論的編號是(　　) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 解析：選C?、僦校琭(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，①正確. ②中，當x∈時，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，函數(shù)單調(diào)遞減，②錯誤. ③中，當x＝0時，f(x)＝0， 當x∈(0，π]時，f(x)＝2sin

5、 x，令f(x)＝0，得x＝π. 又∵f(x)是偶函數(shù)， ∴函數(shù)f(x)在[－π，π]上有3個零點，③錯誤. ④中，∵sin |x|≤|sin x|，∴f(x)≤2|sin x|≤2， 當x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)時， f(x)能取得最大值2，故④正確. 綜上，①④正確. 故選C. 6.(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋θ)的部分圖象如圖所示，f(a)＝f(b)＝0，f(a＋b)＝，則(　　) A.f(x)在上是減函數(shù) B.f(x)在上是增函數(shù) C.f(x)在上是減函數(shù) D.f(x)在上是增函數(shù) 解析：選B　由題圖

6、可知A＝2，則f(x)＝2sin(2x＋θ). 因為f(a)＝f(b)＝0，所以f＝2， 則sin(a＋b＋θ)＝1，a＋b＋θ＝＋2kπ，k∈Z. 由f(a＋b)＝得sin[2(a＋b)＋θ]＝， 2(a＋b)＋θ＝＋2kπ，k∈Z，或2(a＋b)＋θ＝＋2kπ，k∈Z， 所以θ＝＋2kπ或θ＝＋2kπ，k∈Z，又|θ|＜，所以θ＝， f(x)＝2sin.當x∈時，2x＋∈， 所以f(x)在上是增函數(shù).當x∈時，2x＋∈(π，2π)， 所以f(x)在上先減后增.故選B. 二、填空題 7.(2019·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝sin－3cos x的最小值為________.

7、 解析：∵ f(x)＝sin－3cos x ＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1， 令t＝cos x，則t∈[－1，1]， ∴ f(x)＝－2t2－3t＋1. 又函數(shù)f(x)圖象的對稱軸t＝－∈[－1，1]，且開口向下，∴ 當t＝1時，f(x)有最小值－4. 答案：－4 8.(2019·福建省質(zhì)量檢查)在平面直角坐標系xOy中，角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，終邊交單位圓O于點P(a，b)，且a＋b＝，則cos的值是________. 解析：由三角函數(shù)的定義知cos α＝a，sin α＝b，∴cos α＋sin α＝a＋b＝，∴(cos

8、α＋sin α)2＝1＋sin 2α＝， ∴sin 2α＝－1＝，∴cos＝－sin 2α＝－. 答案：－ 9.已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)在區(qū)間[2，4]上單調(diào)，且f(2)＝1，f(4)＝－1，則ω＝________，f(x)在區(qū)間上的值域是________. 解析：由題意知f(x)的最小正周期T＝4，∴ω＝， ∴f(x)＝sin.又f(2)＝sin(π＋φ)＝1， ∴π＋φ＝＋2kπ，k∈Z. 又|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝sin. 由x∈，得x－∈， ∴sin∈， 即f(x)在區(qū)間上的值域為. 答案：　 三、解答題 10.已知函數(shù)

9、f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示. (1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式； (2)說明函數(shù)y＝f(x)的圖象可由函數(shù)y＝sin 2x－cos 2x的圖象經(jīng)過怎樣的平移變換得到. 解：(1)由題圖可知，A＝2，T＝4＝π， ∴＝π，ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，∵f＝0， ∴sin＝0，∴φ＋＝kπ，k∈Z， 即φ＝－＋kπ，k∈Z. ∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin. (2)y＝sin 2x－cos 2x ＝2sin ＝2sin， 故將函數(shù)y＝sin 2x－cos 2x的圖象向左平移個單位長度就得到函數(shù)y＝f(x)的圖象. 11.已知m＝

10、，n＝(cos x，1). (1)若m∥n，求tan x的值； (2)若函數(shù)f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解：(1)由m∥n得，sin－cos x＝0，展開變形可得，sin x＝cos x，即tan x＝. (2)f(x)＝m·n＝sincos x＋1 ＝sin xcos x－cos2x＋1 ＝sin 2x－＋1 ＝＋ ＝sin＋， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 又x∈[0，π]，所以當x∈[0，π]時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和. 12.已知函數(shù)f(x)＝cos x(2sin x＋cos x

11、)－sin2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若當x∈時，不等式f(x)≥m有解，求實數(shù)m的取值范圍. 解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋cos2x－sin2x ＝sin 2x＋cos 2x ＝2 ＝2sin， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π. (2)由題意可知，不等式f(x)≥m有解， 即m≤f(x)max， 因為x∈，所以2x＋∈， 故當2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最大值， 且最大值為f＝2. 從而可得m≤2. 所以實數(shù)m的取值范圍為(－∞，2]. B組——大題專攻強化練 1.已知函數(shù)f(x)＝sin24x＋sin 4xc

12、os 4x. (1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程； (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值. 解：(1)f(x)＝sin24x＋sin 4xcos 4x ＝×＋sin 8x ＝sin 8x－cos 8x＋ ＝sin＋. 令8x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z). (2)由(1)得f(x)＝sin＋. 因為x∈，所以∈.故sin∈. 所以－1＋≤sin＋≤， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為－1＋. 2.已知向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2sin ωx)(ω>0)，函

13、數(shù)f(x)＝m·n＋，直線x＝x1，x＝x2是函數(shù)y＝f(x)的圖象的任意兩條對稱軸，且|x1－x2|的最小值為. (1)求ω的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解：(1)因為向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2sin ωx)(ω>0)，所以函數(shù)f(x)＝m·n＋＝2sin ωxcos ωx＋sin ωx(－2sin ωx)＋＝sin 2ωx－2sin2ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin. 因為直線x＝x1，x＝x2是函數(shù)y＝f(x)的圖象的任意兩條對稱軸，且|x1－x2|的最小值為，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為×2＝π，即＝π，

14、得ω＝1. (2)由(1)知，f(x)＝2sin， 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). 3.已知函數(shù)f(x)＝sin 2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(0<ω<1)，若點是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心. (1)求f(x)的解析式，并求距y軸最近的一條對稱軸的方程； (2)先列表，再作出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－π，π]上的圖象. 解：(1)f(x)＝sin 2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)·(cos2ωx＋sin2ωx)＋1 ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1 ＝2sin

15、＋1. ∵點是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心， ∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋，k∈Z. ∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝，∴f(x)＝2sin＋1. 由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z， 令k＝0，得距y軸最近的一條對稱軸方程為x＝. (2)由(1)知，f(x)＝2sin＋1，當x∈[－π，π]時，列表如下： x＋ － － 0 π x －π － － π f(x) 0 －1 1 3 1 0 則函數(shù)f(x)在區(qū)間[－π，π]上的圖象如圖所示. 4.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離

16、為，且在x＝時取得最大值1. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)當x∈時，若方程f(x)＝a恰好有三個根，分別為x1，x2，x3，求x1＋x2＋x3的取值范圍. 解：(1)由題意，T＝2×＝π，故ω＝＝2， 所以sin＝sin＝1， 所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 所以φ＝2kπ＋，k∈Z. 因為0≤φ≤，所以φ＝， 所以f(x)＝sin. (2)畫出該函數(shù)的圖象如圖，當≤a<1時，方程f(x)＝a恰好有三個根，且點(x1，a)和(x2，a)關(guān)于直線x＝對稱，點(x2，a)和(x3，a)關(guān)于直線x＝對稱，所以x1＋x2＝，π≤x3<，所以≤x1＋x2＋x3<， 故x1＋x2＋x3的取值范圍為. - 10 -