2020版高考數(shù)學新設(shè)計大一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第1節(jié) 函數(shù)及其表示習題 理（含解析）新人教A版

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1、第1節(jié)　函數(shù)及其表示 最新考綱　1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單地應用(函數(shù)分段不超過三段). 知 識 梳 理 1.函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩個集合 A，B 設(shè)A，B是兩個非空數(shù)集 設(shè)A，B是兩個非空集合 對應關(guān)系 f：A→B 如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應 如果按某一個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B

2、中都有唯一確定的元素y與之對應 名稱 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 函數(shù)y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 2.函數(shù)的定義域、值域 (1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域. (2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù). 3.函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法. 4.分段函數(shù) (1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P(guān)系不同而分別

3、用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù). (2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù). [微點提醒] 1.函數(shù)是特殊的映射，是定義在非空數(shù)集上的映射. 2.直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象有0個或1個交點. 基 礎(chǔ) 自 測 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個函數(shù).(　　) (2)對于函數(shù)f：A→B，其值域是集合B.(　　) (3)f(x)＝＋是一個函數(shù).(　　) (4)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等.

4、(　　) 解析　(1)錯誤.函數(shù)y＝1的定義域為R，而y＝x0的定義域為{x|x≠0}，其定義域不同，故不是同一函數(shù). (2)錯誤.值域C?B，不一定有C＝B. (3)錯誤.f(x)＝＋中x不存在. (4)錯誤.若兩個函數(shù)的定義域、對應法則均對應相同時，才是相等函數(shù). 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(必修1P25B2改編)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(　　) 解析　A中函數(shù)定義域不是[－2，2]；C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是[0，2]. 答案　B 3.(必

5、修1P18例2改編)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是(　　) A.y＝()2 B.y＝＋1 C.y＝＋1 D.y＝＋1 解析　對于A，函數(shù)y＝()2的定義域為{x|x≥－1}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于B，定義域和對應法則分別對應相同，是相等函數(shù)；對于C，函數(shù)y＝＋1的定義域為{x|x≠0}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域x∈R不同，不是相等函數(shù)；對于D，定義域相同，但對應法則不同，不是相等函數(shù). 答案　B 4.(2019·珠海期中)已知f(x5)＝lg x，則f(2)＝(　　) A.lg 2 B.lg 5 C.lg 2 D.l

6、g 3 解析　令x5＝2，則x＝2， ∴f(2)＝lg 2＝lg 2. 答案　A 5.(2019·河南、河北兩省重點高中聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝＋ln(x＋4)的定義域為________. 解析　要使f(x)有意義，則解得－4

7、域為________. (2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，2]，則函數(shù)g(x)＝的定義域為________. 解析　(1)要使函數(shù)y＝＋log2(tan x－1)有意義，則1－x2≥0，tan x－1>0，且x≠kπ＋(k∈Z). ∴－1≤x≤1且＋kπ

8、所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義. 2.求抽象函數(shù)定義域的方法 (1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域. 【訓練1】 (1)(2019·深圳模擬)函數(shù)y＝的定義域為(　　) A.(－2，1) B.[－2，1] C.(0，1) D.(0，1] (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝lg(1－x)，則函數(shù)f[f(x)]的定義域為(　　) A.(－9，

9、＋∞) B.(－9，1) C.[－9，＋∞) D.[－9，1) 解析　(1)要使函數(shù)有意義，則 解得 ∴函數(shù)的定義域是(0，1). (2)易知f[f(x)]＝f[lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]， 則解得－9

10、1，則f(x)＝________. 解析　(1)令t＝＋1(t>1)，則x＝， ∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x>1). (2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1， 所以即∴f(x)＝x2－x＋2. (3)在f(x)＝2f ·－1中， 將x換成，則換成x， 得f ＝2f(x)·－1， 由解得f(x)＝＋. 答案　(1)lg(x>1)　(2)x2－x＋2　(3)＋ 規(guī)律方法　求函數(shù)解析式的常用方法 (1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的

11、類型，可用待定系數(shù)法. (2)換元法：已知復合函數(shù)f[g(x)]的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍. (3)構(gòu)造法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式，通過解方程組求出f(x). 【訓練2】 (1)(2018·成都檢測)已知函數(shù)f(x)＝ax－b(a>0)，且f[f(x)]＝4x－3，則f(2)＝________. (2)若f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，則f(x)＝________. 解析　(1)易知f[f(x)]＝a(ax－b)－b＝a2x－ab－b， ∴a2x－ab－b＝4x－3(a>0)， 因此解得 所以f

12、(x)＝2x－1，則f(2)＝3. (2)因為2f(x)＋f(－x)＝3x，① 所以將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 答案　(1)3　(2)3x 考點三　分段函數(shù)　多維探究 角度1　分段函數(shù)求值 【例3－1】 (2018·江蘇卷)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝則f[f(15)]的值為________. 解析　因為函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是4.因為在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝ 所以f(15)＝f(－1)＝， 因此f[f

13、(15)]＝f＝cos ＝. 答案　 角度2　分段函數(shù)與方程、不等式問題 【例3－2】 (1)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f ＝4，則b＝(　　) A.1 B. C. D. (2)(2017·全國Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f >1的x的取值范圍是________. 解析　(1)f ＝3×－b＝－b， 若－b<1，即b>時， 則f ＝f ＝3－b＝4， 解得b＝，不合題意舍去. 若－b≥1，即b≤，則2－b＝4，解得b＝. (2)當x≤0時，f(x)＋f ＝(x＋1)＋， 原不等式化為2x＋>1，解得－

14、原不等式化為2x＋x＋>1，該不等式恒成立， 當x>時，f(x)＋f ＝2x＋2x－， 又x>時，2x＋2x－>2＋20＝1＋>1恒成立， 綜上可知，不等式的解集為. 答案　(1)D　(2) 規(guī)律方法　1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值.首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應的解析式代入求解. 2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍. 提醒　當分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應分類討論. 【訓練3】 (1)(2019·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝則f[f(1)]＝(　　)

15、 A.－ B.2 C.4 D.11 (2)已知函數(shù)f(x)＝的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析　(1)由題意知f(1)＝12＋2＝3， 因此f[f(1)]＝f(3)＝3＋＝4. (2)當x≥1時，f(x)＝2x－1≥1， ∵函數(shù)f(x)＝的值域為R， ∴當x<1時，(1－2a)x＋3a必須取遍(－∞，1)內(nèi)的所有實數(shù)，則解得0≤a<. 答案　(1)C　(2) [思維升華] 1.在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，要緊扣兩點：一是定義域是否相同；二是對應關(guān)系是否相同. 2.函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質(zhì)和

16、圖象的基礎(chǔ).因此，我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先意識. 3.函數(shù)解析式的幾種常用求法：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、構(gòu)造解方程組法. 4.分段函數(shù)問題要用分類討論思想分段求解. [易錯防范] 1.復合函數(shù)f[g(x)]的定義域也是解析式中x的范圍，不要和f(x)的定義域相混. 2.易混“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個映射，A，B若不是數(shù)集，則這個映射便不是函數(shù). 3.分段函數(shù)無論分成幾段，都是一個函數(shù)，求分段函數(shù)的函數(shù)值，如果自變量的范圍不確定，要分類討論. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：35分鐘) 一、選擇題 1.函數(shù)f(x)＝＋的

17、定義域為(　　) A.[0，2) B.(2，＋∞) C.[0，2)∪(2，＋∞) D.(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析　由題意知得所以函數(shù)的定義域為[0，2)∪(2，＋∞). 答案　C 2.(2019·鄭州調(diào)研)如圖是張大爺晨練時離家距離(y)與行走時間(x)之間的函數(shù)關(guān)系的圖象.若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是(　　) 解析　由y與x的關(guān)系知，在中間時間段y值不變，只有D符合題意. 答案　D 3.(2016·全國Ⅱ卷)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lg x的定義域和值域相同的是(　　) A.y＝x B.y＝lg

18、 x C.y＝2x D.y＝ 解析　函數(shù)y＝10lg x的定義域、值域均為(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定義域均為R，排除A，C；y＝lg x的值域為R，排除B；D中y＝的定義域、值域均為(0，＋∞). 答案　D 4.設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝(　　) A.3 B.6 C.9 D.12 解析　根據(jù)分段函數(shù)的意義，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1， ∴f(log212)＝2(log212)－1＝2log26＝6， 因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9. 答案　C 5.(2019·西安聯(lián)考

19、)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.(－∞，－1) B.(－1，2] C.[－1，2] D.[2，5] 解析　f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4. 當x＝2時，f(2)＝4. 由f(x)＝－x2＋4x＝－5，得x＝5或x＝－1. ∴要使f(x)在[m，5]上的值域是[－5，4]，則－1≤m≤2. 答案　C 6.某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]([x]

20、表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為(　　) A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝ 解析　代表人數(shù)與該班人數(shù)的關(guān)系是除以10的余數(shù)大于6，即大于等于7時要增加一名，故y＝. 答案　B 7.設(shè)f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，則f＝(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析　由已知得00，則實數(shù)a的取值范圍為(　　) A.(1，＋∞)

21、 　 B.(2，＋∞) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 　 D.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析　當a＝0時，顯然不成立. 當a>0時，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等價于a2－2a>0，解得a>2. 當a<0時，不等式a[f(a)－f(－a)]>0等價于－a2－2a<0，解得a<－2. 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2)∪(2，＋∞). 答案　D 二、填空題 9.函數(shù)f(x)＝ln＋的定義域為________. 解析　要使函數(shù)f(x)有意義， 則??0

22、f(－x)＝2x(x≠0)，則f(－2)＝________. 解析　令x＝2，可得f＋f(－2)＝4，① 令x＝－，可得f(－2)－2f＝－1② 聯(lián)立①②解得f(－2)＝. 答案　 11.下列四個結(jié)論中，正確的命題序號是________. ①f(x)＝與g(x)＝表示同一函數(shù)； ②函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點最多有1個； ③f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數(shù)； ④若f(x)＝|x－1|－|x|，則f＝0. 解析　對于①，由于函數(shù)f(x)＝的定義域為{x|x∈R且x≠0}，而函數(shù)g(x)＝的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于②，若x＝

23、1不是y＝f(x)定義域內(nèi)的值，則直線x＝1與y＝f(x)的圖象沒有交點，若x＝1是y＝f(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)的定義可知，直線x＝1與y＝f(x)的圖象只有一個交點，即y＝f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個交點；對于③，f(x)與g(t)的定義域和對應關(guān)系均分別對應相同，所以f(x)與g(t)表示同一函數(shù)；對于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1. 答案?、冖? 12.設(shè)函數(shù)f(x)＝則使f(x)＝的x的集合為________. 解析　由題意知，若x≤0，則2x＝，解得x＝－1； 若x>0，則|log2x|＝，解得x＝2或x＝2－. 故x的集合為. 答案　 能力提升題組

24、 (建議用時：15分鐘) 13.具有性質(zhì)：f ＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù).下列函數(shù)： ①y＝x－；②y＝ln ；③y＝ 其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.① 解析　對于①，f(x)＝x－，f＝－x＝－f(x)，滿足題意；對于②，f(x)＝ln ，則f＝ln ≠－f(x)，不滿足； 對于③，f＝ 即f＝ 則f＝－f(x). 所以滿足“倒負”變換的函數(shù)是①③. 答案　B 14.(2019·河南八市聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ 若對任意的a∈R都有f[f(a)]＝2f(a)成立，則λ的取值范圍是(　　)

25、A.(0，2] B.[0，2] C.[2，＋∞) D.(－∞，2) 解析　當a≥1時，2a≥2. ∴f[f(a)]＝f(2a)＝22a＝2f(a)恒成立. 當a<1時，f[f(a)]＝f(－a＋λ)＝2f(a)＝2λ－a ∴λ－a≥1，即λ≥a＋1恒成立， 由題意λ≥(a＋1)max，∴λ≥2， 綜上，λ的取值范圍是[2，＋∞). 答案　C 15.已知函數(shù)f(x)滿足f＝log2，則f(x)的解析式是________. 解析　根據(jù)題意知x>0，所以f＝log2x，則f(x)＝log2＝－log2x. 答案　f(x)＝－log2 x 16.已知函數(shù)f(x)＝則f[f(x)]<2的解集是________. 解析　當x≥1時，f(x)＝x3＋x≥2，則f[f(x)]<2解集為?. 當x<1時，f(x)＝2ex－1<2. 所以f[f(x)]<2等價于f(x)<1，則2ex－1<1，得x<1－ln 2. 故f[f(x)]<2的解集為(－∞，1－ln 2). 答案　(－∞，1－ln 2) 13