2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時集訓(xùn)2 恒等變換與解三角形 理

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1、專題限時集訓(xùn)(二)　恒等變換與解三角形 [專題通關(guān)練] (建議用時：30分鐘) 1．在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c＝5，b＝3，A＝，則＝(　　) A.　　　 B. C. D. A　[由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7，由正弦定理：＝＝.故選A.] 2．在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，則△ABC的面積等于(　　) A. B. C. D. D　[由sin C＝2sin A及正弦定理得c＝2a. 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 所以22＝a2＋4a2－4

2、a2×＝4a2，解得a＝1，所以c＝2. 又sin B＝＝， 所以S△ABC＝acsin B＝×1×2×＝.故選D.] 3．(2019·唐山市一模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，設(shè)AB邊上的高為h，則h＝(　　) A. B. C. D. D　[∵a＝2，b＝3，c＝4， ∴cos A＝＝＝＝， 則sin A＝＝＝＝， 則h＝ACsin A＝bsin A＝3×＝，故選D.] 4．(2019·全國卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　) A. B. C. D. B　[由2sin 2

3、α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因為α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故選B.] 5．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知cos C＋cos A＝1，則cos B的取值范圍為(　　) A. B. C. D. D　[因為cos C＋cos A＝1，得×＋×＝＝1，所以b2＝ac， 所以cos B＝＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c取等號，且B為三角形內(nèi)角，所以≤cos B＜1.故選D.] 6．[易錯題]在△ABC中，acos A＝bcos B，則這個

4、三角形的形狀為________． 等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， 即A＝B或A＋B＝， 所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形．] 7．(2019·大慶市高三第二次模擬)已知α，β為銳角，且(1－tan α)(1－tan β)＝4，則α＋β＝________. 　[將(1－tan α)(1－tan β)＝4展開得－(tan α＋tan β)＝3(1－tan α·tan β)，即＝tan(α＋β)＝－，由于α，β為銳角，0＜α＋β＜π，故α＋β＝.] 8.某高一學(xué)習(xí)

5、小組為測出一綠化區(qū)域的面積，進(jìn)行了一些測量工作，最后將此綠化區(qū)域近似地看成如圖所示的四邊形，測得的數(shù)據(jù)如圖所示，AB＝2 km，BC＝1 km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，∠BCD＝105°，則該綠化區(qū)域的面積是________km2. 　[如圖，連接AC，由余弦定理可知AC＝＝(km)，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°. 由正弦定理得，＝，即AD＝＝＝(km)， 故S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋××＝(km2)．] [能力提升練] (建議用時：20分鐘) 9．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，則

6、log等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C　[因為sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝， 所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log＝log52＝4.故選C.] 10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a＝3，c＝2，bsin A＝acos，則b＝(　　) A．1 B. C. D. C　[因為bsin A＝acos ，展開得bsin A＝acos B－asin B，由正弦定理化簡得sin Bsin A＝sin Ac

7、os B－sin Asin B，整理得sin B＝cos B， 即tan B＝，而三角形中0＜B＜π，所以B＝. 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，代入得b2＝32＋(2)2－2×3×2cos ，解得b＝，所以選C.] 11．(2018·聊城模擬)已知cos＝，θ∈，則sin＝________. 　[由題意可得，cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－， 即sin 2θ＝.因為cos＝＞0，θ∈，所以0＜θ＜，2θ∈， 根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，可得cos 2θ＝， 由兩角差的正弦公式，可得 sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ＝×－×＝.]

8、 12.(2019·濰坊市一模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點D為AC的中點，已知2sin2－sin C＝1，a＝，b＝4. (1)求角C的大小和BD的長； (2)設(shè)∠ACB的角平分線交BD于E，求△CED的面積． [解](1)由題意可得：sin C＋1－2sin2＝0， ∴sin C＋cos(A＋B)＝0， 又A＋B＝π－C， ∴sin C－cos C＝0，可得tan C＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝， ∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3＋4－2××2×cos ＝1，解得BD＝1. (2)由(1)可知BD2＋BC2＝4＝CD2， ∴∠DB

9、C＝，∴S△DBC＝BD·BC＝， ∵CE是∠BCD的角平分線， ∴∠BCE＝∠DCE， 在△CEB和△CED中，S△BCE＝BC·CE·sin∠BCE， S△CED＝CD·CE·sin∠DCE， 可得：＝＝，∴S△BCE＝S△CED， ∴代入S△BCE＋S△CED＝S△BCD＝，得S△CED＝，∴S△CED＝＝(2－)＝2－3. 題號 內(nèi)容 押題依據(jù) 1 三角恒等變換 恒等變換求值 2 平面向量、正(余)弦定理解決面積問題，不等式求最值 平面向量、不等式與三角函數(shù)的交匯 【押題1】　已知sin＝，則sin＝________，sin 2α＝________.

10、 ?。∵sin＝， ∴sin＝sin＝sin＝， sin 2α＝－cos ＝－1＋2sin2＝－1＋2×＝－.] 【押題2】　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c＝b. (1)若C＝2B，求cos B的值； (2)若·＝·，求cos的值． [解](1)因為c＝b，則由正弦定理，得sin C＝sin B. 又C＝2B，所以sin 2B＝sin B，即4sin Bcos B＝sin B. 又B是△ABC的內(nèi)角，所以sin B＞0，故cos B＝. (2)因為·＝·，所以cbcos A＝bacos C，則由余弦定理，得b2＋c2－a2＝b2＋a2－c2，得a＝c. 從而cos B＝＝＝， 又0＜B＜π，所以sin B＝＝. 從而cos＝cos Bcos －sin Bsin ＝×－×＝－. - 6 -